上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

七宝中学2024学年第一学期期中练习高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 直线与直线的夹角的大小是_____. 2. 平行直线与之间的距离是_____. 3. 若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是_____. 4. 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则_____. 5. 若圆与轴相切，则实数的值是_____. 6. 已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______． 7. 已知直线，，若，则实数的值为______. 8. 已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________. 9. 直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为______． 10. 等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是______. 11. 若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为_____. 12. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应将正确答案写在答题纸的相应题号的空格上，13，14题每个选对得4分，15，16题每个选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列各组两个方程表示相同曲线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在商场正东3公里处新落成一家商场，其占地面积是面积的，研究表明，在仅考虑和两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度受其面积，及住户家离商场距离的影响，满足关系：，其中是大于0的常数，则相比于商场，商场对周边住户吸引力更强区域的形状为（ ） A. 椭圆的内部 B. 双曲线右支的开口侧 C. 抛物线的开口侧 D. 圆的内部 16. 已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（ ） A. ①②都为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②都为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为. （1）求边的高所在直线的一般式方程； （2）求边的中线所在直线的斜率. 18. 若圆过点，，. （1）求圆的一般方程； （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程. 19. 如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）. （1）试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； （2）若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 20. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 21. 已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. （1）若，，求曲线的方程； （2）若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； （3）若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 七宝中学2024学年第一学期期中练习高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】## 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】4 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应将正确答案写在答题纸的相应题号的空格上，13，14题每个选对得4分，15，16题每个选对得5分，否则一律得零分. 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）即时，，此时点到道路的距离为公里；时，，此时点到道路的距离为公里； 【20题答案】 【答案】（1）； （2）存在，2条； （3）. 【21题答案】 【答案】（1） （2）当时，曲线为椭圆； 当时，曲线为抛物线； 当时，曲线为双曲线； （3）证明：若，，则，由（2）可得曲线的方程为， 设直线的方程为， 由，消去，得， 设，则， 所以， 直线的方程为，由双曲线关于轴对称，可得定点在轴上， 当时， ， 所以直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $