精品解析：广东省梅州市梅县东山中学2025届高三上学期9月月考数学试卷

东山中学2024-2025学年度高三第一学期9月月考试卷（数学科） 一、单选题 1. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 2. 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 5. 设f（x）是定义域为R的奇函数，且．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数取值范围值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（ ） A. B. （） C. 的图象关于点（，0）对称 D. 为偶函数 10. 下列说法正确的是（ ）. A. 命题“，”的否定是“，” B. 已知函数为，在R上单调递增，则a的范围是 C. 函数，正数a，b满足，则的最小值为12. D. 设函数，则使得成立的x范围： 11. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 是上的增函数 C. D. 是周期函数 三、填空题 12. 函数的单调递减区间是___________． 13. 已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 14. 若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 16. 已知向量，，函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 18. 已知的内角的对应边分别为，面积为，则公式：叫“三斜求积”公式 （1）若，，，求的面积； （2）用“三斜求积”公式推导以下两个公式：①；②，其中； （3）若，且，求面积的最大值. 19. 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. （1）判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； （3）设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东山中学2024-2025学年度高三第一学期9月月考试卷（数学科） 一、单选题 1. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合​， ​， 所以​． 故选：D． 2. 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以. 所以. 故选：A 4. 函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一种利用函数的奇偶性可排除AB，再由时，，可排除C，得到D正确；法二中由奇函数和偶函数乘积后为奇函数可排除AB；再由时，，可排除C，得到D正确； 【详解】法一： 对于A、B：因为的定义域为， ， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A，B错误. 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 法二： 对于A、B：因为的定义域为， 函数为奇函数，函数为偶函数， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故A、B错误； 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 故选：D. 5. 设f（x）是定义域为R的奇函数，且．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的周期，利用函数周期性即可求解. 【详解】由题知，，，则， ，变形可得， ，的周期为：， ， 故选：. 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用导数几何意义去求切线方程即可. 【详解】由，得， 所以该曲线在点处的切线斜率为， 故所求切线方程为， 即． 故选：C. 7. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较大小，即可求解. 【详解】， 因为， 所以，即， 所以，且， 所以， 又因为， 所以， 综上，， 故选：D. 8. 已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数取值范围值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可求得参数的范围. 【详解】由得， 解得或， 画出函数的图象如下， 由图可知，要使方程有3个不同的实根， 则必有与图象有两个交点或与图象有两个交点， 当，即，，符合题意； 当，即，，符合题意； 则实数取值范围值是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 9. 已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（ ） A. B. （） C. 的图象关于点（，0）对称 D. 为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】因为是的一个极值点，则，所以A错误； 因为，则，可得， 令，解得，所以B正确. 因为， 则，所以C正确； 因为， 则当为奇数时，为偶函数； 当为偶数时，为偶函数，所以D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ）. A. 命题“，”的否定是“，” B. 已知函数为，在R上单调递增，则a的范围是 C. 函数，正数a，b满足，则的最小值为12. D. 设函数，则使得成立的x范围： 【答案】ACD 【解析】 【分析】由命题的否定的定义判断A，根据分段函数单调性的定义判断B，由函数的奇偶性与基本不等式判断C，由函数的奇偶性与单调性判断D． 【详解】选项A，全称命题的否定是特称命题，因此命题“，”的否定是“，”，A正确； 选项B，易知是增函数，而抛物线的对称轴是， 因此，解得，B错； 选项C，，因此函数的定义域是R， 又，即，所以是奇函数， 又设，则， 其中， 又，所以，而， 所以，从而 即，是减函数， 由得，所以，从而， ，，当且仅当时等号成立，所以，最小值是12，C正确； 选项D，，，时， ， 时，，即在上单调递减，在上单调递增， 又满足，即是偶函数，由得 ，解得或，D正确． 故选：ACD． 11. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 是上的增函数 C. D. 是周期函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可 【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或 当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去， 当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去， ∴，令，则，所以，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于C：令，，因为 若,则,又为非常值函数故舍去， 所以，所以所以,故C正确: 对于B: 设任意的且 令所以，又因为为奇函数， 所以， 又因为当时，，所以，，, 即，所以是上的增函数,故B正确; 对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且, 所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误. 故选:ABC. 三、填空题 12. 函数的单调递减区间是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，求解可得单减区间. 【详解】由的定义域为，， 令，解得， 当，则，所以的单调递减区间为． 故答案为： 13. 已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 14. 若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，求得零点，令，零点和在区间内，则且，求得，可得，分别对取值求得结果. 【详解】由得，得． 令，零点和在区间内，则且， 即且，化简得， 由，得，所以为大于1的整数． 易得当时，；当时，； 当时，；当时，， 可得当时，，且当时，， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据题意令，求得函数零点，令，由零点和在区间内，求得，可得，分别对取值将所得结果求并集求得答案. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数，令，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知向量，，函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式并结合三角恒等变换公式化简得，再令，解出该不等式并结合即可得解. （2）由（1）得的单调性，结合和得和 ，再结合即可得解. 【小问1详解】 ， 由，得， 因为，所以或， 所以在上的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，，所以， 由题，，解得. 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可； （3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可. 【小问1详解】 设， ，，， 其对称轴方程为，故函数在上单调递增， 所以， 故所求值域为； 【小问2详解】 ∵函数的最小值为，， 若，在R上单调递增，没有最小值； 若时，可知当时，y取得最小值； 即，解得或舍去， 综上，； 【小问3详解】 由题意，有实数解， 即，可得， 要使此不等式有解，只需即可， （当且仅当时取等号）， ， ，解得， 即实数a的取值范围为. 18. 已知的内角的对应边分别为，面积为，则公式：叫“三斜求积”公式 （1）若，，，求的面积； （2）用“三斜求积”公式推导以下两个公式：①；②，其中； （3）若，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） ①：因为，所以，所以 ； ②： . 记，则； （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入三斜求积公式计算可得答案； （2）①：余弦定理代入三斜求积可得答案；②：三斜求积公式中利用平方差公式计算可得答案； （3）由正弦定理、两角和的正弦展开式化简得代入三斜求积公式，再由三角形性质求出的范围可得答案. 【小问1详解】 因为，，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 由正弦定理边化角得， 所以，即， 由， 解得，所以， 因为 ， 所以当时，取得最大值. 19. 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. （1）判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； （3）设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围. 【答案】（1）函数在上是，函数在上不是 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，令k=1，作差，与0比较大小即可. （2）根据定义，转化为恒成立即可. （3）先求出的范围，再根据二次函数的性质可求的取值范围. 【小问1详解】 由题知，函数，定义域为， 所以， 所以函数在上是“1-利普希兹条件函数”. 函数，所以， 当时，则， 函数在上不是“1-利普希兹条件函数”. 【小问2详解】 若函数是“利普希兹条件函数” 则对于定义域上任意两个，均有成立， 则恒成立 因为，，所以，得， 所以的最小值为1. 【小问3详解】 解：因为函数是“2024-利普希兹条件函数”， 所以在上恒成立，即在上恒成立，由，得 原方程在上有两个不相等实根等价于 ①,在上有两个不相等实根 令，， 则①式等价于关于的方程在上有两个不相等实根， 即，令, 所以问题等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图. 　　 则，所以 又，所以使得以上不等式成立， 所以. 【点睛】本题考查了函数新定义问题，函数与方程的综合应用，零点存在性定理的应用和不等式问题，考查了转化思想和数形结合能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $