精品解析：新疆维吾尔自治区阿克苏地区拜城县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中质量监测试卷 九年级 数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置． 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的图象的对称轴为，据此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线． 故选：A 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. ，5 C. 3， D. 8， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，为一次项系数，为常数项，由此即可得出答案． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是，5， 故选：B． 4. 如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，理解图示，掌握旋转的性质，找出旋转角，确定角度关系是解题的关键． 根据旋转得到，由旋转的性质得到，由即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得， ∴，， ∴， 故选：B ． 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线为，即， 故选：A． 6. 一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，方程有实数根，可得判别式的值大于或等于零，据此求解即可． 【详解】∵方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：且， 故选：C． 7. 若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（ ） A. B. 9 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数经过点，得出对称轴是直线，再结合抛物线与x轴只有一个交点得出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，代入点的坐标计算即可得解． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴对称轴是直线， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，即， 故选：B． 8. 某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 9. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的其中一个交点在与之间，以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的图象与系数的关系，结合数形结合思想进行判断．由抛物线开口向上判断a的符号；由抛物线与y轴的交点判断c的符号；由抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点情况，判断b的符号；分别观察， ，时的函数值对所得结论进行判断即可． 【详解】解：对称轴为，与轴的其中一个交点在与之间， 与轴的另一个交点在与之间， 由图示得：，，， ， ，，故①②正确； 当时，，故③错误； 当时，有最小值， ， ，故④正确的； 当时，， ， ，故⑤正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知抛物线经过点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求函数二次项系数，将点代入解析式，即可解题． 【详解】解：抛物线经过点， ，解得． 故答案为：． 11. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入一元二次方程得出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中心对称的性质，由直角三角形的性质得出，由中心对称的性质得出，推出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出、，比较大小即可得解，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 把一元二次方程化成的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，先将化成，得出、的值，再代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为3，F为边上一点，． 将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，掌握正方形和旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得、，由勾股定理得，即，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转可得：，， ∵正方形的边长为3， ∴、， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】 解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】略 18. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出BD的长 【小问1详解】 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）x的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与轴、轴的交点，结合函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， 令，则，即抛物线与轴的交点坐标为， ∴由图象可得：当时，x的取值范围为或． 20. 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为． （1）用含x的代数式表示边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据各边之间的关系，可得出的长为； （2）根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵栅栏总长度为，的长为， ∴的长为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴． 21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）请在图中作出绕原点O逆时针旋转得到的； （2）请在图中作出关于原点O对称的． 【答案】（1） 解：如图：即为所作； （2） 解：如图：即为所作； 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，再顺次连接即可； （2）利用中心对称的性质分别作出点、、的对应点、、，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某景区商店销售一种进价为18元/件的纪念品，销售过程中发现，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系为．已知销售单价不低于进价，且不高于30元．设商店每月销售该纪念品获得的利润为w（单位：元）． （1）求利润w与销售单价x之间的函数解析式以及销售单价x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，该商店每月销售该纪念品可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，每月可以获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确得出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据每月销售利润每件销售利润销售量，即可得出利润w与销售单价x之间的函数解析式，结合销售单价不低于进价，且不高于30元即可得出销售单价x的取值范围； （2）将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵销售单价不低于进价，且不高于30元， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价定为元时，每月可以获得最大利润，最大利润为元． 23. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，C，且交x轴负半轴于点B． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）连接，在直线上方的抛物线上是否存在点M，使得四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，四边形面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出的坐标，得出，作轴交于，设，则，表示出，从而得出，结合二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：在中，令，则，即， 令，则，解得，即， 将，代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作轴交于， ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，四边形面积的最大，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中质量监测试卷 九年级 数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置． 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 3. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. ，5 C. 3， D. 8， 4. 如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（ ） A. B. 9 C. 3 D. 6 8. 某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的其中一个交点在与之间，以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知抛物线经过点，则________． 11. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 12. 如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为______． 13. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是______．（填“＞”“＜”或“＝”） 14. 把一元二次方程化成的形式，则的值为______． 15. 如图，正方形的边长为3，F为边上一点，． 将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 17. 关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 18. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标； （2）当时，求x的取值范围． 20. 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为． （1）用含x的代数式表示边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长． 21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）请在图中作出绕原点O逆时针旋转得到的； （2）请在图中作出关于原点O对称的． 22. 某景区商店销售一种进价为18元/件的纪念品，销售过程中发现，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系为．已知销售单价不低于进价，且不高于30元．设商店每月销售该纪念品获得的利润为w（单位：元）． （1）求利润w与销售单价x之间的函数解析式以及销售单价x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，该商店每月销售该纪念品可获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，C，且交x轴负半轴于点B． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）连接，在直线上方的抛物线上是否存在点M，使得四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $