精品解析：上海市曹杨中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市曹杨中学2024学年第一学期 高二数学期中试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：黄海燕 审核人：蒋颖楠 一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则=______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件，利用共轭复数的概念，即可求解． 【详解】因，所以. 故答案为： 2. 已知，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】求导代值即可. 【详解】，. 故答案为：4. 3. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 4. 已知向量，，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】若向量，，且，则当且仅当. 故答案为：. 5. 已知复数，（其中为虚数单位），则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由复数乘法以及模的计算公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 6. 若圆柱的轴截面面积为8，则它的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，母线为，由于圆柱的轴截面面积计算即可. 【详解】设圆柱的底面半径为，母线为， 由于圆柱的轴截面面积为8，所以， 所以它的侧面积为. 故答案为： 7. 函数在处的切线方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得导函数及切点坐标，由点斜式方程的求法即可得切线方程. 【详解】，当时切点为， 且，则由导数几何意义可知 由点斜式可得，即， 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 8. 已知圆锥的母线长为4，底面直径，则沿着侧面从点到点的距离最小值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】将其侧面展开，通过计算得到侧面展开图为半圆，根据图形可得最短距离. 【详解】考虑圆锥的侧面展开图， 由题意可知圆锥的母线长为4，底面直径为，则半径， 所以底面圆的周长为， 所以圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，即半径为4的半圆， 如图所示： 在直角三角形中，，所以， 所以沿着侧面从点到点的距离最小值为. 故答案为：. 9. 已知，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】，因此，. 故答案为：. 10. 已知是边长为2的正六边形上或其内部的一点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】在正六边形中，以点为原点，AB、AE所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图， 因为，则， 设，由题意可知，， 所以，则， 故答案为： 11. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和， 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 12. 已知关于的不等式恰有两个正整数解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数求出函数的单调区间，则不等式变为关于的不等式，再分，和三种情况讨论，结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】令，则， 当或时，，当时，， 所以函数在和上递减，在上递增， ， 当时，，当时，， 不等式变为关于的不等式， 若，则不等式无解， 若时，则，即， 此时，与题意矛盾， 若时，则，即， 因为为正整数，且当时，， 所以恒成立， 则关于的不等式恰有两个正整数解， 由函数在上递减，在上递增， 且， 可得， 即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式问题，考查了分类讨论思想和转化思想，有一定的难度. 二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分） 13. 已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由复数为纯虚数，求出，判断即可. 【详解】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 14. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确. 【详解】在正方体中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除C；记底面ABCD为，BF为m，平面ABFE为，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确. 故选：B 15. 如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线为异面直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线的概念分析即可求出所有符合条件的棱，进而得到结果. 【详解】与直线成异面直线的有，共3条， 故选：C. 16. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在区间(-3，3)内有三个零点 B. 函数是函数的一个极值点 C. 曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D. 函数在区间(-1，1)上是严格减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解. 【详解】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误； 在的左右两侧，故不是极值点，故B错误; 根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误； 在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确. 故选：D 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知向量，. （1）若与的夹角为，求实数的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得； （2）根据求得，再根据投影向量的定义即可求得. 【小问1详解】 因为，则，，， 若与的夹角为，则由， 可得：，解的：或， 则实数的取值为或. 【小问2详解】 ，因为，则， 则，可得：，，， 则在方向上的投影向量为：. 18. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求与底面所成角； （2）求点A到平面的距离 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面角的定义可知即为所求，在中利用三角函数进行求解. （2）在三棱锥中，利用等体积法求点A到平面的距离. 【小问1详解】 由题意得，与底面所成角为， 在中，，， 故与底面所成角为. 【小问2详解】 四棱柱为正四棱柱， ， ，， 设点A到平面的距离为，则， 即，解得：， 所以点A到平面的距离为. 19. 已知 的内角的对边分别为， 已知 . （1）若 ，求 的面积； （2）若 ，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理解得的值，代入三角形面积公式即可的结果. （2）由正弦定理得到的关系，解出的值，分类讨论角是否为锐角，利用和差角公式计算出的值. 【小问1详解】 ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵，由正弦定理可得 ∵，∴， ∵，可能为锐角可能为钝角，为锐角， ∴ 当为锐角， 当为钝角， ∴或 20. 如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，，求二面角的大小. 【答案】（1） 因为分别为棱的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面 （2） 因为为圆的直径，所以 因为平面平面所以 又，平面所以平面 由（1）知，所以平面又平面 所以平面平面 （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得到，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由为圆的直径，得到再利用线面垂直得到从而平面结合（1）中，所以平面得到面面垂直. （3）构建空间直角坐标系，根据空间向量求解二面角大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系， 因为，， 所以 中点即为， 设面的法向量为 则，可得， 令则 又面的法向量可表示为 ， 二面角的大小为. 21. 解答下列问题： （1）求函数的极小值； （2）若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围； （3）已知，，且只有一个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）由题意可知在R上恒成立，即在R上恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可； （3）求导得，，分恒成立，及有两实数根，分别求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值为， 所以函数的极小值为； 【小问2详解】 因为函数为上严格增函数， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 设， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为，， 所以，， 因为函数只有一个极大值，故恒成立或方程有两个不同的根. 若恒成立，即在上恒成立， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 此时函数只有一个极大值点，满足题意，所以此时， 由（1）可知，所以； 令，则， 故当时，单调递减；当时，单调递增； 且时，时；时，如图， 若方程即有两个不同的根，则， 显然，当时，单调递增；当时，单调递减， 所以在处取得极大值， 因为只有一个极大值点，所以只能，即是的一个根，此时， 当时，， 令，解得；令，解得或， 所令在和上单调递增，在上单调递减，满足题意； 综上，. 【点睛】关键点睛：本题的第（3）问的求解关键是分恒成立和有两不相等实数根进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市曹杨中学2024学年第一学期 高二数学期中试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：黄海燕 审核人：蒋颖楠 一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则=______． 2. 已知，则________． 3. 函数的最小正周期为______． 4. 已知向量，，且，则_____. 5. 已知复数，（其中为虚数单位），则_____. 6. 若圆柱的轴截面面积为8，则它的侧面积为______. 7. 函数在处的切线方程为_____________. 8. 已知圆锥的母线长为4，底面直径，则沿着侧面从点到点的距离最小值是_____. 9. 已知，则___________. 10. 已知是边长为2的正六边形上或其内部的一点，则的取值范围为______ 11. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____. 12. 已知关于的不等式恰有两个正整数解，则实数的取值范围是______. 二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分） 13. 已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线为异面直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在区间(-3，3)内有三个零点 B. 函数是函数的一个极值点 C. 曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D. 函数在区间(-1，1)上是严格减函数 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知向量，. （1）若与的夹角为，求实数的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量坐标. 18. 如图，在正四棱柱中，，． （1）求与底面所成角； （2）求点A到平面的距离 19. 已知 的内角的对边分别为， 已知 . （1）若 ，求 的面积； （2）若 ，求. 20. 如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，，求二面角的大小. 21. 解答下列问题： （1）求函数的极小值； （2）若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围； （3）已知，，且只有一个极大值点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $