精品解析：广西钦州市浦北县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

2024年秋季学期期中学业质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案称号涂黑．） 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式直接求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 判断方程的根的情况，正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟知不同情况下根的情况（当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根）．先根据根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解： ∵， ∴方程没有实数根． 故选：A． 4. 如图，将绕着点C顺时针旋转一定角度后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵，， ∴， 故选：C． 5. 把化成（其中是常数）形式的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 6. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 点B与点E是对应点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 7. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是， 故选：D． 8. 若，是方程两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数关系求解． 【详解】解：∵是方程两个根， ∴． 故选：B 9. 若在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，通过代入各点横坐标计算对应的函数值，比较大小即可． 【详解】解：将各点的横坐标代入二次函数中： 当时，； 当时，； 当时，． 比较得：， 故选：D． 10. 某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打场球，每个球队都打场球，并且都重复一次，根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个班级参赛，根据题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 则共有6个班级参赛， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程． 11. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（ ） A. 平方米 B. 108平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；设苗圃的一边长为米，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设苗圃的一边长为米，面积为， 根据题意得， ∵墙最大可用长度为米 ∴，即 当时，随的增大而减小， ∴当时，最大为平方米 故选：D． 12. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转90°，得到，连接，若，，则线段的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，，进而得出为等腰直角三角形，由勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转，得到，， ，，， 为等腰直角三角形， ∵在中，，，， ， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理是解决问题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 方程的二次项系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的二次项系数是， 故答案为：． 14. 点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称的特点，掌握关于原点对称点的特点求解是关键． 根据点关于原点对称点的特点“点的坐标与对称点的坐标中：横、纵坐标均为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为： ． 15. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 已知函数与的图象相交于两点，当时，x的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据函数图象找到正比例函数图象在二次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：把代入中得：， ∴， ∴ 由函数图象可知，当正比例函数图象在二次函数图象下方时自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 17. 如图，为直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及勾股定理．根据旋转的性质，得到等腰直角三角形，根据勾股定理进行计算． 【详解】解：根据旋转的性质得：， 即为等腰直角三角形，根据勾股定理得． 故答案为：． 18. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为________． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ，故①正确； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点， ， ，故②错误； 对称轴为直线， ∴当和时的函数值相等，且都小于0， ，故③错误； ④当时，， ∴， 故④正确； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤正确， 正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法得出，解方程即可求解； （2）先移项，再利用因式分解法解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或 解得： 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；的三个顶点均在格点上． （1）将向轴正方向平移个单位长度得到，画出； （2）在（1）的条件下，以点为中心，将旋转得，画出； 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求 【解析】 【分析】本题考查平移作图，画旋转图形； （1）根据沿轴正方向平移5个单位，找到顶点平移后的对应点，再依次连接对应点，即可得到平移后的； （2）根据旋转的性质找到对应点，顺次连接，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∵ ， ∴该方程总有两个实数根； （2）3 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴． 22. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） 图象如图所示， 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根据函数图象求自变量的取值范围； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，得出顶点坐标，进而画出函数解析式，根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为 【小问2详解】 ∵，顶点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一根交点为， 根据函数图象可得当函数值时， 23. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 24. 某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】（1）型设备每小时铺设的路面长度为90米 （2）的值为10 【解析】 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； 【小问2详解】 根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 25. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 【答案】[建立模型]；[运用模型]张 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张． 26. 【探索发现】 如图①，为等腰直角三角形，，．以为边向左侧作，当时，以C为旋转中心把旋转到的位置． 求证：． 【类比应用】 如图②，为等边三角形，以为边向左侧作，当时，以C为旋转中心把旋转到的位置．当，时，的长为________． 【拓展应用】 如图③，已知，，．若，则四边形的面积为________． 【答案】探索发现：证明：由旋转可知 ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ． 类比应用：11； 拓展应用： 【解析】 【分析】探索发现：可证，从而可得，再证、、三点共线，由勾股定理即可求解； 类比应用：同理可证、、三点共线，再证是等边三角形，即可求解； 拓展应用：以C为旋转中心把旋转到的位置，可证是等边三角形，即可求解． 【详解】探索发现：略 类比应用： 为等边三角形， ， ， ， 由旋转可知 ，，， ， ， 、、三点共线， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案：． 拓展应用： 以C为旋转中心把旋转到的位置，过点作交于， 同理可证、、三点共线， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期期中学业质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案称号涂黑．） 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 3. 判断方程的根的情况，正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 如图，将绕着点C顺时针旋转一定角度后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 把化成（其中是常数）形式的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 点B与点E是对应点 7. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 若，是方程两个根，则（ ） A. B. C. D. 9. 若在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（ ） A. 平方米 B. 108平方米 C. 平方米 D. 平方米 12. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转90°，得到，连接，若，，则线段的长为（ ） A. 6 B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 方程的二次项系数是________． 14. 点关于原点对称的点的坐标为________． 15. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 16. 已知函数与的图象相交于两点，当时，x的取值范围为________． 17. 如图，为直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长为________． 18. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；的三个顶点均在格点上． （1）将向轴正方向平移个单位长度得到，画出； （2）在（1）的条件下，以点为中心，将旋转得，画出； 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 22. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 23. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 25. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 26. 【探索发现】 如图①，为等腰直角三角形，，．以为边向左侧作，当时，以C为旋转中心把旋转到的位置． 求证：． 【类比应用】 如图②，为等边三角形，以为边向左侧作，当时，以C为旋转中心把旋转到的位置．当，时，的长为________． 【拓展应用】 如图③，已知，，．若，则四边形的面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $