精品解析： 湖南省永州市第十六中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年湖南省永州十六中九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中：；；；，是反比例函数的有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义：形如的函数称作y是x反比例函数． 根据反比例函数定义直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是反比例函数， ，是正比例函数， ，不是反比例函数， 故选：A． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，是一元一次方程，不符合题意； B、，方程中含有两个未知数，不符合题意； C、，符合一元二次方程的定义，符合题意； D、，当时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 3. 已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算． 【详解】设方程的另一根为x1， 根据根与系数的关系可得：﹣1•x1＝﹣， 解得x1＝． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝，，x1•x2＝． 4. 若点A（m2，y1），B（m2+2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的大小进行解答即可. 【详解】， 反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， 点，都在第一象限， ， . 故选. 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键. 5. 九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛45场，则参加此次比赛的球队数是（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解． 【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得： ， 化简，得， 解得，（舍去）， 答：参加此次比赛的球队数是10队． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 6. 反比例函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第二、四象限，即： 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 8. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18或9 【答案】B 【解析】 【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系， ∴等腰三角形的腰为，底为， ∴周长为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9. 已知关于的方程，，则下列说法正确的是( ) A. 不存在的值，使得方程有两个相等的实数解 B. 至少存在一个的值，使得方程没有实数解 C. 无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根 D. 无论为何值，方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， A．存在k的值，使得方程有两个相等的实数根；故错误，不符合题意； B．无论k为何值，方程总有实数根；故错误，不符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根，正确，符合题意； D．无论k为何值，方程总有实数根；故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据a，b的取值分类讨论即可． 【详解】解：若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意； 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意； 若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意； 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 把化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________． 【答案】 ①. ②. 3 ③. ④. 0 【解析】 【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：，， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的横、纵坐标之积不变可得关于m的方程，解方程即可求得m的值，再由待定系数法即可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：设反比例函数解析式为y=， 由题意得：m2=2m×(-1)， 解得：m=-2或m=0（不符题意，舍去）， 所以点A（-2，-2），点B（-4，-1）， 所以k=4， 所以反比例函数解析式为：y=， 故答案为：y=． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟知反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于比例系数k是解题的关键． 14. 已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称． 【详解】∵已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴交点坐标为 ∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴该点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． 15. 设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【详解】解：由题意得，x1+x2=3，x1x2=-2， 所以x12+3x1x2+x22 =(x1+x2)2+x1x2 =32+(-2) =9-2 =7 故答案为7． 16. 用求根公式解方程解得＝ _______，＝ ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了利用求根公式解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键； 先对一元二次方程进行移项，算出判别式的值，然后再利用公式解题即可． 【详解】解：将方程  转化为标准形式，即 。 计算判别式  的值，这里 , , ， 根据公式有 ， 利用求根公式  求解方程的根，带入计算得到： ， 故答案为：， ． 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， ， ， 的取值范围为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 18. 新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 _______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程为“倍根方程”． ∴或者， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为： 或． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项得到，再利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， 即， 或， ，． 20. 如图，把的水从瓶子里全部倒出，设平均每秒倒出的水，所用的时间为秒． （1）求关于的函数关系式； （2）要求至多10秒把水倒完，求平均每秒至少倒出多少毫升的水？ 【答案】（1） （2）平均每秒至少倒出水，至多把水倒完 【解析】 【分析】（1）所用时间等于总量÷每秒倒出的水量列关系时即可； （2）令（1）中，解出x的值，在勇反比例函数增减性计算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴； 【小问2详解】 当时，，解得 ∵当时，随的增大而减小， ∴时，， ∴平均每秒至少倒出水，至多把水倒完． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，根据实际问题抽象化为反比例函数，列出关系式是解题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 22. 国家计划2035年前实施新能源汽车，某公司为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，决定对近期研发出的一种新型能源产品进行降价促销.根据市场调查：这种新型能源产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个新型能源产品的成本为100元. 问：（1）设该产品的销售单价为元，每天的利润为元.则_________（用含的代数式表示） （2）这种新型能源产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？ 【答案】（1）或；（2）当销售单价为180元时，公司每天可获利32000元. 【解析】 【分析】（1）根据总利润＝单件利润销量，用的代数式分别表示两个量，构建方程即可； （2）由(1)所得的函数，当时,解一元二次方程即可求得答案. 【详解】（1）依题意得： （2）公司每天可获利32000元，即,则 ， 化简得：， 解得：， 答：当销售单价为180元时，公司每天可获利32000元. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键． 23. 如图，一次函数与反比例函数相交于点A和点． （1）求的值和反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）3， ； （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题： （1）待定系数法进行求解即可； （2）联立解析式，求出点坐标即可； （3）图象法确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入两个函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 联立两个函数表达式得：， 解得：或， 当时，， ∴点； 【小问3详解】 观察函数图象知，当时，的取值范围为：或． 24. 根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题． 应用：代数式有 　 　值(填“最大”或“最小”)这个值是 　 　． 探究：求代数式的最小值，小明是这样做的： ∴当时，代数式有最小值，最小值为1 请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值， 拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值 【答案】应用：最小，；探究：，此时；拓展：，此时，． 【解析】 【分析】根据非负数的性质即可得出答案；先把给出的式子化成完全平方加常数的形式，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：应用： ∵，， ∴代数式有最小值，这个值是，此时； 故答案为：最小，； 探究： ， 当，即时，代数式的最小值为； 拓展： ， 当，时，即，，多项式的最小值是． 【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方加常数的形式进行解答． 25. 如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． （1）求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． （2）若饲养场的面积为平方米，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元一次不等组的求解，根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解合理取舍是解题的关键． （1）由得，即可得出答案； （2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：由图可知，, 长米， 米， ， ，且， ． 【小问2详解】 解：饲养场的面积为平方米， 则， 即， 解得， ， 舍去， ． 26. 已知在等腰直角三角形中，，，． （1）如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______； （2）如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m； （3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）过C作轴，垂足为D，证明，得到，，即可得到结果； （2）根据平移得到，，根据函数图像上的点得到，求出m值，再将代入表达式可得； （3）求出的坐标，求出的表达式，得到与y轴交点坐标，再根据面积关系，作交y轴于点P，求出直线的表达式，得到点P坐标，再由平行线之间的距离的性质得到另一个点P坐标． 【小问1详解】 解：如图，过C作轴，垂足为D， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，代入中， 得； 【小问2详解】 由平移可得：，， ∵，都在反比例函数上， ∴， 解得：， 即，， ∴； 【小问3详解】 存在，理由是：由平移可得， 设中点为D，则，即， 设的表达式为， 则，解得：， ∴的表达式为， 令，则， ∴直线与y轴交点为； ∵的面积是面积的一半， ∴作交y轴于点P， 设的表达式为，将D代入， 得，解得：， ∴的表达式为， 令，则， ∴， ∴点关于直线的对称直线与y轴交点为， 即， 综上：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，图像的平移，一次函数解析式，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，（3）问较为综合，解题的关键是将面积与中点联系起来，结合平行线之间的距离求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省永州十六中九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中：；；；，是反比例函数的有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. D. 4. 若点A（m2，y1），B（m2+2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能确定 5. 九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛45场，则参加此次比赛的球队数是（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 反比例函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 7. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 8. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18或9 9. 已知关于的方程，，则下列说法正确的是( ) A. 不存在的值，使得方程有两个相等的实数解 B. 至少存在一个的值，使得方程没有实数解 C. 无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根 D. 无论为何值，方程有两个不相等的实数根 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 把化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 13. 若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为______ 14. 已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_______________． 15. 设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 用求根公式解方程解得＝ _______，＝ ______． 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 18. 新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 _______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，把的水从瓶子里全部倒出，设平均每秒倒出的水，所用的时间为秒． （1）求关于的函数关系式； （2）要求至多10秒把水倒完，求平均每秒至少倒出多少毫升的水？ 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 22. 国家计划2035年前实施新能源汽车，某公司为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，决定对近期研发出的一种新型能源产品进行降价促销.根据市场调查：这种新型能源产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个新型能源产品的成本为100元. 问：（1）设该产品的销售单价为元，每天的利润为元.则_________（用含的代数式表示） （2）这种新型能源产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？ 23. 如图，一次函数与反比例函数相交于点A和点． （1）求的值和反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 24. 根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题． 应用：代数式有 　 　值(填“最大”或“最小”)这个值是 　 　． 探究：求代数式的最小值，小明是这样做的： ∴当时，代数式有最小值，最小值为1 请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值， 拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值 25. 如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． （1）求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． （2）若饲养场的面积为平方米，求的值． 26. 已知在等腰直角三角形中，，，． （1）如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______； （2）如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m； （3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $