精品解析：广东省广州市实验外语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期广州市实验外语学校期中考试 高一数学 考试范围：第一二三章；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．选择题作答请用2B铅笔写在答题卡上，修改时用橡皮擦干净.笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写在相对应的答题框内，不得超出答题框. 2．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破. 3．在每页考生信息框中填写姓名及考生号. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用常用数集的定义逐一判断各选项即可得解. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，故①正确； 对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，故②正确； 对于③，为自然数，而表示自然数集，所以，故③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，故④错误. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定判断即得. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：C 3. 设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以. 故选：B. 4. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】，； ， . 故选：. 5. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象都经过点和 B. 幂函数的图象不经过第三象限 C. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D. 幂函数的图象过点，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 6. 褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判定. 【详解】由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”， 所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件. 故选：B 7. 黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B. 当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C. 无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D. 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【详解】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低. 故选：D 8. 已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. （多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果. 【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样， 显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点； 所以只有D正确. 故选：ABC 10. 已知函数，则下列说法正确的是_______. （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 【答案】（2）（4） 【解析】 【分析】作出函数图象，结合图象分析即可得出答案. 【详解】，作出函数的图象如下： 由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增， 故（1）错误，（2）正确； 由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值， 故（3）错误，（4）正确； 故答案为：（2）（4）. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 任意非零实数，，都有 B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数，满足，则的最小值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用基本不等式求出最值判断BC；利用基本不等式“1”的妙用求解判断D. 【详解】对于A，取，而，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，正数，满足，则 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：CD II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，若，则满足条件的的集合为________ 【答案】 【解析】 【分析】先由集合之间的包含关系与集合的元素特征，得到满足条件的集合，再逐一分析得对应的取值即可得解. 【详解】因为，， 所以或或， 当时，则； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，满足条件的的集合为. 故答案为：. 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 14. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】消元得到，然后分离常数、配凑结合基本不等式即可求解. 【详解】显然（否则矛盾），从而， 所以， 当且仅当等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解； （2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解. 【小问1详解】 当时，，， 所以. 【小问2详解】 因为, 所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 求下列不等式的解集． （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）首先判断，再求方程的两个根，即可求解不等式； （2）（3）首先分解因式，再根据两根大小，结合不等式的形式，即可求解. 【小问1详解】 ，其中， 方程的两个根分别为和， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 ， 所以不等式的解集为或 【小问3详解】 ，得， 显然，所以不等式解集为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值； （2）用定义法判定的单调性； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可； （2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得； （3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 验证：当时，. 由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有， 所以是奇函数，满足题意. 故. 【小问2详解】 在上是增函数. 由（1）知，，. 证明：设，且， 则， ，，， ，， 在上是增函数. 【小问3详解】 ， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 则， 由（2）知在上是增函数， 所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 18. 第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件. （1）写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本） （2）求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）30千件，850万元 【解析】 【分析】（1）先由求得，再由利润销售总额-总成本建立函数模型求解； （2）根据二次函数的性质及基本不等式分别求出分段函数的最值，比较大小即可得结论. 【小问1详解】 由题意知，当时，，所以， 当时，； 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，函数在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，有最大值，最大值为850； 当时，由基本不等式得， 当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为755； 因为，所以当年产量为30千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为850万元. 19. 若函数对定义域中任意x均满足，则称函数的图象关于点对称． （1）已知函数的图象关于点对称，求实数m的值； （2）已知函数在上的图象关于点对称，且当时，，求函数在上的解析式； （3）在（1）（2）的条件下，当时，若对任意实数，恒有成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：本题主要考查函数的对称性、函数的解析式、函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用已知，则说明的图象关于点对称，则，代入解析式，解出m的值；第二问，由第一问知，因为，所以，通过转化，将代入已知解析式中，整理出的值，最后代入到中，得到解析式；第三问，将对任意实数，恒有成立，转化为，通过第一问可得到的解析式，再利用分离常数法、基本不等式求出的最小值3，将的表达式配方，数形结合证明即可. 试题解析：（1）由题设可得， 即，解得. （2）当时，且， ∴. （3）由(1)得， 其最小值为. ， ①当，即时，， 得； ②当，即时，， 得； 由①②得． 考点：函数的对称性、函数的解析式、函数的最值、恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期广州市实验外语学校期中考试 高一数学 考试范围：第一二三章；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．选择题作答请用2B铅笔写在答题卡上，修改时用橡皮擦干净.笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写在相对应的答题框内，不得超出答题框. 2．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破. 3．在每页考生信息框中填写姓名及考生号. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象都经过点和 B. 幂函数的图象不经过第三象限 C. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D. 幂函数的图象过点，则 6. 褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B. 当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C. 无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D. 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 8. 已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. （多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点 10. 已知函数，则下列说法正确的是_______. （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 任意非零实数，，都有 B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数，满足，则的最小值为3 II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，若，则满足条件的的集合为________ 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，____________． 14. 已知，，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 求下列不等式的解集． （1） （2） （3） 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值； （2）用定义法判定的单调性； （3）求使成立的实数的取值范围. 18. 第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件. （1）写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本） （2）求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 19. 若函数对定义域中任意x均满足，则称函数的图象关于点对称． （1）已知函数的图象关于点对称，求实数m的值； （2）已知函数在上的图象关于点对称，且当时，，求函数在上的解析式； （3）在（1）（2）的条件下，当时，若对任意实数，恒有成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $