北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟试卷

北京师大附中2024—2025学年（上）高二期中考试 数学模拟试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线x-y+1=0的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 如果向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是（ ） ①若，则与所成的角为30°； ②若与所成角为，则； ③若，则平面与所成的锐二面角为60°； ④若平面与所成的角为60°，则 A. ③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 7. 若点与的中点为，则直线必定经过点（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，两两垂直，，，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 三棱锥中，平面，，若，，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 B. 存在点P，使平面AEF； C. 若平面AEF，则线段长度的取值范围是； D. 若点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________． 12. 若，，为共面向量，则的值为_________. 13. 正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________. 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论： ①直线与平面所成角为45°； ②二面角的余弦值为； ③点到平面的距离为定值； ④线段长度的取值范围是 其中所有正确结论的序号是____________ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知平行四边形的三个顶点分别为，，. （1）求边所在直线的方程； （2）求四边形的面积. 17. 在中，，，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件. （1）求的值； （2）求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知三棱锥，平面平面，点D是的中点，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点C到平面的距离. 19. 在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面. （1）当时，求证：； （2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知正方体，点分别为的中点，直线交平面于点. （1）证明：为中点； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）若点为棱上一点，二面角的余弦值为，求的值. 21. 对于向量，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）. （1）当时，直接写出向量； （2）证明：对于，向量中的三个实数至多有一个为0； （3）若，证明：，. 北京师大附中2024—2025学年（上）高二期中考试 数学模拟试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】##0.4 【14题答案】 【答案】##-0.125 【15题答案】 【答案】②③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，， 因为，所以为正三角形，则， 又，则，为等腰直角三角形， 又平面，， 所以平面，又平面， 所以. （2） （3） 【19题答案】 【答案】 (1)当时，点是的中点. ∴，. ∵，∴. ∵，，， ∴. ∴. 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面. ∵平面，∴. (2) 存在，，理由如下： 以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系. 则，，. 取的中点， ∵，∴， ∴ 易证得平面， ∵，∴，∴. ∴，，. 设平面的一个法向量为， 则 令，则. 设与平面所成的角为， 则 ， 解得或（舍去） ∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时. 【20题答案】 【答案】（1）证明：连接， 因为平面平面， 平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 又因为，， 所以， 又因为为的中点， 所以为中点； （2）； （3）. 【21题答案】 【答案】（1）； （2） 假设三个数中有2个数为0，或三个数均为0. 不妨设， 则，即， 这与矛盾； 当三个数均为0时，显然， 则， 所以（定值）， 由三个数互不相等，得， 且， 不妨设，则有 由得， 所以，即 以此类推得 这与三个数互不相等矛盾， 所以对于任意的三个数中至多有一个为0. （3） 设三个数中最大的为，记作 因为且 所以其中 由题意可得，其中 所以不可能单调递减，即必存在某个，使得. 根据的定义，可得向量中的三个数中必有0. 由（2）知中有且仅有一个为零，不妨设， 若，由题意，不妨设， 则， 所以同理 所以 又因为 所以此种情形不可能一直出现（至多出现次）. 所以一定能找到某个，使得 若，由题意可得： 所以存在正整数，使得. 综上，存在正整数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $