精品解析：江西省九江市同文中学2024—2025学年九年级上学期开学考试数学试题

九江市同文中学2024—2025学年度上学期期初考试 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷分数：120分 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形：在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形和原图完全重合，那么这个图形就叫做中心图形． 2. 已知a＜b，下列式子不成立的是（　　） A. a+1＜b+1 B. 3a＜3b C. ﹣2a＞﹣2b D. 如果c＜0，那么＜ 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变． 【详解】解：、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意； 、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意； 、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意； 、不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变． 3. 如图，的对角线相交于点，且，，则的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质得出，再由，得出，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识，正确得出的值是解题的关键． 4. 如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 5. 如图，在中，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转α度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（　　） A. 110° B. 100° C. 90° D. 70° 【答案】B 【解析】 【详解】在中，可求得和，在中由旋转的性质可求得α的大小，从而可求得，在中可求得，从而可求得． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵以点B为旋转中心把按顺时针旋转α度，得到， ∴，且 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质，利用旋转的性质和等腰三角形的两底角相等求得α和是解题的关键． 6. 已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是( ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可得OA＝OD，进而得出四边形DEAO为菱形，①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，然后证明△ABD≌△EDB即可得出④正确． 【详解】解：①∵DEAC，AEBD， ∴四边形DEAO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴四边形DEAO为菱形，故①正确； ②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误； ③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误； ④如图，连接OE， ∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点， ∴OE＝OB＝OD， ∵四边形DEAO为菱形， ∴DE＝OD， ∴△DEO是等边三角形， ∴∠EDO＝60°， ∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°， ∴∠ADB＝∠EBD， 又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB， ∴△ABD≌△EDB（AAS）， ∴AD＝BE，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，灵活运用各性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若点和点关于x轴对称，则 的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出 、 的值，再计算 的值． 【详解】解： 与点 关于 轴对称， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查关于 轴对称的点坐标，解题关键是理解关于 轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 8. 把因式分解的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提取公因式，公式法进行因数分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因数分解的方法，掌握提取公因式，公式法进行因数分解的方法是解题的关键． 9. 正六边形的每个内角等于______________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°， ∴正六边形的每个内角为：， 故答案为：120 10. 如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】观察图象即可解答. 【详解】∵直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3）， ∴关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是x＞1. 故答案为x＞1. 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解决这类题目的关键是找出两个函数图像的交点坐标，再根据图象的位置确定x的取值范围. 11. 如图，在中，点D、E分别是边的中点，连接，的平分线交于点F，若，则的长为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由于，可先证得是的中位线，求得的长度，再利用平行线的性质和角平分线的定义证得，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点，， ∴，， ∴是的中位线， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交线段于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1 【点睛】本题考查了中位线的性质定理及平行线的性质和角平分线的定义，根据图形得到是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为_____________ 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．分三种情况讨论，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 显然点P与点B重合时，为直角三角形， 此时斜边长为； 当点E为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴斜边长为； 当点F为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， 过点P作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合， ∴， ∴斜边长为； 综上，斜边长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）x=4 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式，即可； （2）通过去分母，合并同类项移项，未知数系数化为1，检验，即可求解． 【详解】解：（1）原式= =； （2）， 去分母得：，即：， 解得：x=4， 经检验：x=4是方程的解． 【点睛】本题主要考查分解因式，解分式方程，掌握提取公因式和完全平方公式以及取去分母，是解题的关键． 14. 解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集． 【答案】， 用数轴表示为： 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到和，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集. 【详解】 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到. 15. 先化简再从0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则进行化简，再带入进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ，， ， 当时，原式． 16. 已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使； （2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，与的交点即为点． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 同（1）可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 同法可得：， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在▱中，是边的中点，直线交的延长线于点． （1）求证：≌； （2）连接、，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边平行且相等． （1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明； （2）证明四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 证明：是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ．  四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件要售多少元？ 【答案】（1）第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件 （2）元件 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次方程的应用； （1）设第一次购进这种衬衫x件，则第二次购进这种衬衫件，根据进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元，列出分式方程，进行求解即可； （2）设第二次衬衫每件要售��元，根据老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件； 【小问2详解】 设第二批衬衫的售价是元件， 根据题意得：＋， 解得：， 19. 如图，在中，，点在上，且，，垂足为连接． 求证：； 求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）75° 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形的性质得到∠DCE=30°，再得到BD=DE，求出∠EBD=∠BED=30°，故可求解； （2）先求出∠ABE=15°，∠BAE=15° ，得到EB=EA，从而得到EA=EC，求出∠ACE，故可求出∠ACD=75°． 【详解】（1）证明：∵CE⊥AD，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴CD=2DE ∵CD=2BD ∴DE=BD ∴∠EBD=∠BED=30°=∠DCE ∴EB=EC （2）解：∵∠ABE=45°-30°=15° ∴∠BAE=∠BED-∠ABE=30°-15°=15° ∴EB=EA 又∵EB=EC ∴EA=EC ∴∠ACE=90°÷2=45° ∴∠ACD=30°+45°=75°． 【点睛】此题主要考查三角形内的角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质． 20. 阅读下列材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“”．细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题． （1）因式分解：； （2）已知，，求的值； （3）若的三边长分别为，，，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3） 为等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵，，为的三边长， ∴， ∴，即， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】（）先运用分组分解法，再用平方差公式进行因式分解即可； （）运用分组分解法和平方差公式进行因式分解，再将、的值代入计算即可； （）对式子进行整理化简、因式分解， 即可求得，因此为等腰三角形； 本题考查了因式分解的应用，解题的关键熟练运用分组分解法进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 进行因式分解，得 ， ∵，， ∴； 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，勾股定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：对于，由得：， ∴， 由得：，解得， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得． ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①设，则、 如图1，过点B作于点D， ∴，， ∴， 解得， ∴M或M ②如图2，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 设，则 ∴，，， ∴， 解得． ∴． 当点M在y轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点P的坐标为或． 22. 综合与实践 问题提出 如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，求证：四边形是平行四边形． 探究展示 某学习小组的解题思路如图： 反思交流 （1）上述解题思路中的“依据”、“依据”分别是什么？ 依据：______ ； 依据：______ ． （2）若四边形满足“”的条件，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）要使四边形为矩形，则四边形需满足的条件是：______ ． 拓展思考 （4）如图，和都是等腰直角三角形，，点，分别是，的中点，连接，．请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）菱形， 理由：∵、、、分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是菱形； （3）； （4）， 证明：连接，取的中点，连接，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点，点是的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴．     【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理及平行四边形的判定可得出答案； （2）由平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，证出，则可得出结论； （3）由矩形的判定证出，则可得出答案； （4）连接，取的中点，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，由（1）可知，，，，证出，由勾股定理可得出结论． 【小问1详解】 解：依据：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； 依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 要使四边形为矩形，则四边形需满足的条件是， 理由：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是矩形， 故答案为：； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键． 23. 【问题提出】在中，，直线经过两点，点是直线上一点，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，使得． （1）如图①，当点与点重合时，易得：与的数量关系是______． （2）如图②，当点在线段上，时，请直接写出之间的数量关系． 【结论运用】 （3）如图③，当点在射线上，时，，，求的长． （4）如图④，当点在射线上，时，，请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）相等 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）当点与点重合，可得，由旋转的性质可得，通过证明，进而得到答案； （2）过点作交于点，根据题意可得为等边三角形，由平行线的性质可得为等边三角形，由“”证明，从而即可得到答案； （3）过点作交的延长线于点，根据题意可得为等腰直角三角形，由平行线的性质可得为等腰直角三角形，由“”证明，可得，最后由勾股定理进行计算即可得到答案； （4）过点作交的延长线于点，过点作于点， 由“”证明，得到，由含有角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，从而即可得到答案． 【小问1详解】 解：点与点重合， ， 将线段绕点顺时针旋转至， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：相等； 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， 将线段绕点顺时针旋转至， ， 在和中， ， ， ， ， 即； 【小问3详解】 解：如图，过点作交的延长线于点， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， ， 将线段绕点顺时针旋转至， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 将线段绕点顺时针旋转至， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，解题的关键是理清题意，正确作出辅助线，构造合适的全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市同文中学2024—2025学年度上学期期初考试 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷分数：120分 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 2. 已知a＜b，下列式子不成立的是（　　） A. a+1＜b+1 B. 3a＜3b C. ﹣2a＞﹣2b D. 如果c＜0，那么＜ 3. 如图，的对角线相交于点，且，，则的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( 　) A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转α度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（　　） A. 110° B. 100° C. 90° D. 70° 6. 已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是( ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若点和点关于x轴对称，则 的值是______． 8. 把因式分解的结果是________． 9. 正六边形的每个内角等于______________°． 10. 如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是_______. 11. 如图，在中，点D、E分别是边的中点，连接，的平分线交于点F，若，则的长为__________． 12. 如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为_____________ 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）因式分解：； （2）解方程：． 14. 解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集． 15. 先化简再从0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值． 16. 已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使； （2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使． 17. 如图，在▱中，是边的中点，直线交的延长线于点． （1）求证：≌； （2）连接、，求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件要售多少元？ 19. 如图，在中，，点在上，且，，垂足为连接． 求证：； 求的度数． 20. 阅读下列材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“”．细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题． （1）因式分解：； （2）已知，，求的值； （3）若的三边长分别为，，，且满足，判断的形状，并说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 22. 综合与实践 问题提出 如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，求证：四边形是平行四边形． 探究展示 某学习小组的解题思路如图： 反思交流 （1）上述解题思路中的“依据”、“依据”分别是什么？ 依据：______ ； 依据：______ ． （2）若四边形满足“”的条件，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）要使四边形为矩形，则四边形需满足的条件是：______ ． 拓展思考 （4）如图，和都是等腰直角三角形，，点，分别是，的中点，连接，．请用等式表示与的数量关系，并证明． 23. 【问题提出】在中，，直线经过两点，点是直线上一点，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，使得． （1）如图①，当点与点重合时，易得：与的数量关系是______． （2）如图②，当点在线段上，时，请直接写出之间的数量关系． 【结论运用】 （3）如图③，当点在射线上，时，，，求的长． （4）如图④，当点在射线上，时，，请直接写出之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $