精品解析：吉林省白城市实验高级中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题

白城市实验高级中学2024-2025学年度高三上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的准线方程为，，，为上两点，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，数列的前项和为，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2026 6. 已知在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，，若与垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ） A. 12800 B. 24800 C. 25600 D. 51200 二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数是偶函数 D. 函数是奇函数 10. 若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，则下列计算结果正确的有（ ） A. B. C. D. 12. 以下函数求导正确的是( ) A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 设的导函数为，且，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即，，且.设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为，则______. 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______． ①；②是偶函数；③在上单调递增． 15. 设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________． 16. 已知曲线在处的切线经过点，则________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 18. 已知． （1）求函数在上的单调增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式． 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围. 20. 设数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 21. 设函数 （Ⅰ）试问函数能否在处取得极值，请说明理由; （Ⅱ）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围. 22. 一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时． （1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； （2）点P第一次到达最高点要多长时间？ （3）在点P每转动一圈过程中，有多长时间点P距水面的高度不小于(2＋2)m？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城市实验高级中学2024-2025学年度高三上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数、、的图象，结合图象可得出、、的大小关系. 【详解】作出函数、、的图象如下图所示： 因为，，，由图象可得. 故选：D. 2. 已知抛物线的准线方程为，，，为上两点，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线，设直线，联立方程组求得，，结合向量的数量积的运算，可得判定A正确；由，可判定B正确；由，，可判定C错误；结合弦长公式和面积公式，可判定D正确. 【详解】由抛物线的准线方程为，可得，解得， 所以抛物线， 设直线，且，， 联立方程组，整理得， 则，解得，且，， 由，所以A正确； 由，所以B正确； 当时，由，可得， 则，或，，所以，所以C错误； 由， 解得，所以，则，所以D正确． 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律列方程得，再应用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，得， 所以，所以. 故选：D. 4. 已知角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以. 故选：. 5. 已知数列满足，数列的前项和为，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义判断得数列的奇数项与偶数项分别为等比数列，再利用分组求和法求得，从而得解. 【详解】因为， 所以数列的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列， 偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列， 故， 所以 ， 故. 故选：B. 6. 已知在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得； 【详解】解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得． 故选：A 7. 已知平面向量，，若与垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求，利用向量垂直可得数量积为0，进而可得. 【详解】由已知得， 因为与垂直，所以， 得，解得， 故选：D 8. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ） A. 12800 B. 24800 C. 25600 D. 51200 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，再结合对数运算解方程即可. 【详解】解：因为时，， 所以，解得， 所以，时，，即， 所以，解得． 故选：D． 二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数是偶函数 D. 函数是奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断ACD，由奇函数图象的平移判断B. 【详解】对于A：令，， 为偶函数，A正确； 对于B：是奇函数，故图象关于原点对称， 将的图象向左移1个单位可得到图像， 故对称中心为，B错误； 对于C， 令， 如果，则， 由， 此时，不是偶函数，故C错误； 对于D，， 为奇函数，故D正确. 故选：AD. 10. 若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件，分析函数 的单调性和对称性，再根据 的性质逐项分析即可. 【详解】因为 是偶函数，所以 的图像关于直线 对称， 即当 时， 单调递增，当 时，单调递减， 对于A， ，错误； 对于B， ，正确； 对于C， ，正确； 对于D， ，正确； 故选：BCD. 11. 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，则下列计算结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求的值，由正弦定理可求得的值． 在中可求，可得，在中，由余弦定理即可计算得解的值． 【详解】解：在中，， 由正弦定理得． 在中， ， ， ， 在中，由余弦定理得： ． ． 故选：CD 12. 以下函数求导正确的是( ) A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 设的导函数为，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求导法则逐项检验即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即，，且.设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推关系可得的周期性，故可求. 【详解】的各项除以的余数分别为， 故可得的周期为，且前项分别为， 而， 故答案为：. 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______． ①；②是偶函数；③在上单调递增． 【答案】（满足条件即可） 【解析】 【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》 【详解】解：如， ，，故， 是偶函数， 又在上单调递增， 故答案为：（满足条件即可） 15. 设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案. 【详解】解：， ∴， ， 又，则，， ∴， ∴. 故答案为：. 16. 已知曲线在处的切线经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据导数的几何意义和斜率公式，列出方程求得即可求得. 【详解】由题意，函数，可得，则， 所以，可得，所以． 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解； （2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解. 【小问1详解】 若，由，解得，则， 又，即等价于，解得， 则， . 【小问2详解】 由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又， ，解得， 综上，实数的取值范围是. 18. 已知． （1）求函数在上的单调增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦型函数即可求函数在上的单调增区间； （2）根据三角函数的图象变换与函数的对称性即可得所求. 【小问1详解】 ，. 因为，，所以， 故函数在单调增区间为； 【小问2详解】 将向左平移个单位得到 将纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到， 又因为的图象关于直线对称，则， 解得： 因为，所以当时，， 故. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分类讨论，利用导数求出函数的单调区间； （2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可. 【小问1详解】 ， . 当时，，在R上单调递增. 当时，令，得. 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故当时，的单调递增区间是R； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 ， ， ， ∵， ∴，在上单调递增， . 当，即时， ，在上单调递增， 则，， 故. 当，即时， ， ，，即或， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 则， ， ∴. 令函数，且， ，在上单调递增， ， ∵（）， ∴. 综上，实数a的取值范围是. 20. 设数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）； （2） 由（1）知，， 因此 ， 则，显然数列是递增数列，即有，而， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合探讨数列的特征，再求出通项公式即得. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得. 【小问1详解】 依题意，当时，，解得， 当时，， 整理得，即有，两式相减得， 因此数列为等差数列，由，，得公差， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 略 21. 设函数 （Ⅰ）试问函数能否在处取得极值，请说明理由; （Ⅱ）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）f(x)在x=-1处无极值. （2）或c= 【解析】 【详解】解： 22. 一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时． （1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； （2）点P第一次到达最高点要多长时间？ （3）在点P每转动一圈过程中，有多长时间点P距水面的高度不小于(2＋2)m？ 【答案】（1）z＝4sin＋2；（2）5s；（3）2.5s. 【解析】 【分析】（1）设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，可知以Ox为始边，OP为终边的角为t＋φ，结合进而t＝0时求得的值，则函数的表达式可得； （2）令最大值为6，即可求得时间； （3）由z＝4sin＋2≥2＋2，即可得解. 【详解】（1） 由题意可知，水轮沿逆时针方向旋转，如图，建立平面直角坐标系． 设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角． 由OP在ts内所转过的角为t＝t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为t＋φ，故P点的纵坐标为4sin，则 z＝4sin＋2. 当t＝0时，z＝0，可得sinφ＝－. 因为－<φ<0，所以φ＝－，故所求函数关系式为 z＝4sin＋2. （2） z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，取t－＝，解得t＝5， 故点P第一次到达最高点需要5s. （3） z＝4sin＋2≥2＋2，即sin≥，解得≤t≤. 在点P每转动一圈过程中，有2.5s的时间点P距水面的高度不小于(2＋2)m. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $