河北省石家庄市2024-2025学年高三上学期10月联考模拟考试数学试题

河北省石家庄市2025届高三年级10月联考模拟考试数学试题❖ 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知数列满足，且，则的通项公式为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 4.已知平面向量，满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为(    ) A. B. C. D. 5.已知定义在R上的函数满足，其图象经过点，且对任意、，且，恒成立，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 6.若函数在上有3个零点，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的左右焦点分别为、，的三个顶点均在C上，、分别落在线段、上且轴，若，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 8.下列说法中正确的是(    ) A. 若函数为奇函数，则； B. 在中，是的充要条件； C. 若数列为常数列，则既是等差数列也是等比数列； D. 若复数是虚数单位，则 9.设正实数m，n满足，则(    ) A. 的最小值为3 B. 的最大值为2 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 10.如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 平面平面 11.函数，方程，则下列正确的是(    ) A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则 m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，且，则x的值为_____. 13.在棱长为1的透明密闭的正方体容器中，装有容器总体积一半的水不计容器壁的厚度，将该正方体容器绕旋转，并始终保持 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为_______. 14.已知等差数列的前n项和为，且数列的前n项和为给出下列四个结论：①；    ②；③使成立的n的最大值为4048；   ④当时，取得最小值.其中所有正确结论的序号是____________. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 在锐角中，a，b，c分别为内角A、B，C的对边，且 求A的大小； 求的取值范围. 16.本小题12分 已知椭圆C：的右焦点F在直线上，A，B分别为C的左、右顶点，且 求C的标准方程； 是否存在过点的直线l交C于M，N两点，使得直线BM，BN的斜率之和等于？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 17.本小题12分 已知函数 若，，求曲线在处的切线的方程; 讨论函数的单调性. 若，对任意两个不同的不等式恒成立，求m的最小值． 18.本小题12分 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，， 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 在棱上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19.本小题12分 记数列中前k项的最大值为，则数列称为的“最值数列”，由所有的值组成的集合为设的“最值数列”的前n项和为 若，且C中有3个元素，求a的取值范围; 若数列，都只有4项，为的“最值数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列的个数; 若，求，，，，中能被2整除且不能被4整除的个数. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解． 【解答】 解：，， 故 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系，考查等比数列的判定及通项公式，属于基础题. 构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【解答】 解：设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即 故选： 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题． 连接，AE，DE，DF，EM，FM，易得AD平行且相等 EM，所以为异面直线AD与EF所成的角或其补角，分别求出 EM，EF，FM，然后利用余弦定理可求出答案． 【解答】 解：如图，将直三棱柱补形为直四棱柱， BN平行且相等AC，平行且相等， 连接，AE，DE，DF，EM，FM，易得AD平行且相等 EM， 所以为异面直线AD与EF所成的角或其补角， 设，所以直四棱柱的所有棱长均为2， 由，得，，， 则在中，由勾股定理得，所以， 同理在中，，在中， 由余弦定理得 故选 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查的是投影向量，平面向量的数量积运算，属于中档题. 根据投影向量即可求得，利用平面向量的数量积运算求得，，记向量与向量的夹角为，利用求解即可. 【解答】 解：由题可得，，则， 所以，， 记向量与向量的夹角为，则， 又，所以 故选 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的对称性，利用函数的单调性解不等式. 由题意得知，函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，由此可得出该函数在上单调递减，，由可得出或，解出即可. 【解答】 解：，所以，函数的图象关于直线对称， 该函数图象经过点，则，且有， 对任意、，且，恒成立， 可设，则，，即， 所以，函数在上单调递增，由此可得出该函数在上单调递减， 当时，即时，则有， 由于函数在上单调递减，由，得，此时； 当时，即时，则有， 由于函数在上单调递增，由，得，此时 综上所述，不等式的解集为 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】本题考查三角函数的图象和性质、函数的零点，是较易题。 令，则或，由得，根据题意分情况讨论。 【解答】解：令，则或，由得， 当时在上没有零点，则在上应有3个零点，所以，即，与联立得 当时，在上有1个零点，在上有3个零点，不满足题意; 当时，在上有2个零点，在上应有1个零点，所以，即，与联立得，综上得a的取值范围是故选 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义、利用余弦定理解三角形，属于中档题. 作出图象，由题意可知，从而可得，，，在和中，分别求得，从而可得，即有，，，过B作于M，可得，M为中点，即可得解. 【解答】 解：如图所示： 由题意可知， 设椭圆的半长轴为a， 则，， ， 在中，， 在中， ， 所以，整理得：， 即，解得：或， 当时，，，，不满足题意，故舍去; 当时，，，，满足题意，且， 过B作于M，则， 所以，， 所以， 故M为中点， 所以 故选 8.【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查函数的奇偶性、充分、必要、充要条件的判断、数列的单调性、共轭复数，属于中档题. 分别利用已知条件，结合各知识点一一判断即可. 【解答】 解：A，若函数定义域中不包含，则A错误； B，在中，， 反之，也成立，所以正确； C，当时，为常数列，是等差数列，但不是等比数列，所以错误； D，所以正确. 9.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，是中档题. 由基本不等式求最值逐一判定即可. 【解答】 解：因为正实数m，n满足  ， 所以  ， 当且仅当  ，即  ，  ，等号成立，故A错误；  ，当且仅当  时，等号成立，所以  ，故B正确；  ，所以  ，当且仅当  时，等号成立，故C正确；  ，当且仅当  时，等号成立，故D错误； 故选： 10.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，空间向量数量积及应用，考查推理判断能力，属于中档题. 利用空间向量的线性运算，逐步把  用基向量表示出来即可判断A，对于B，C，D，则可以选择  ，  ，  为平面的一组基，分别用  表示出相关向量，再运用向量数量积的运算律求向量模长和验证向量垂直，即可判断B，对于D项，计算  推得  ，再由  即可证得  平面  ，最后由线面垂直得面面垂直即可. 【解答】 解：对于A，因   ，故A正确； 对于B，不妨设  ，  ，  ，则  构成空间的一个基底. 则依题意：  由 A可得，  ， 则  ， 则  ，故B正确； 对于C，因  ，故 故C错误； 对于D，如图取 BC 的中点E，连接 AE ，则  ， 因为  ，E为 BC 的中点，所以  . 又  故有  . 因为  ，  平面  ，所以  平面  ， 又  平面 ABC ，故平面 ABC 平面  ，即D正确. 故选： 11.【答案】BD  【解析】【分析】本题考查分段函数，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查数形结合思想，属于较难题. 由题意，结合导数研究函数的单调性和极值，继而可得到分段函数的图象，数形结合逐一分析各个选项即可得出结果. 【解答】解：①当  时，  ， 则  在  单调递减，且渐近线为 y 轴和  ，恒有  . ②当  时，  ，  ， 当  在  单调递增， 当  在  单调递减， 故  ，且恒有  . 综上①②可知，  ， 作出函数大致图象，如下图. 对于A，函数  的值域为  ，故A错误； 对于B，函数  的单调减区间为  ，故B正确； 对于C，当  时，则方程   可化为  或  ， 由  ，得  或  ，有两个实数根； 由图象可知，由  ，有 4 不相等的实数根，且均不为 0 ，也不为  ， 所以当  时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误； 对于D，若关于x的方程  有3个不相等的实数根， 即方程  与方程  共有3个不相等的实数根. 又因为  已有两个不等的实数根  ， 则方程  有且仅有1个根，且不为  . 所以  与  有且仅有1个公共点， 由图象可知  ，满足题意，即m的取值范围是  ，故D正确. 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查由分段函数的函数值求自变量，属于基础题. 结合分段函数，正弦函数与对数函数性质即可求解． 【解答】 解：函数 ，当时，，解得； 当时，，此时无解， 故x的值为， 故答案为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方体的结构特征，属于中档题． 水面是以为对角线的平行四边形，设，用x表示出水面面积，根据二次函数的性质和x的范围得出水面的最大面积． 【解答】 解：由对称性可知水面横经过所在的直线， 设水面与交于M，与交于N，则，且四边形为平行四边形． 设，则，故，， 又， ， ， 水面四边形的面积 ，且， 当或时，S取得最大值 故答案为： 14.【答案】①②④  【解析】【分析】 由，可得，结合等差数列的性质和求和公式、数列的裂项相消求和，对四个结论判断，可得正确结论． 本题考查等差数列的性质和求和公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 【解答】解：对于①：，， 且， 由等差数列性质可知，，公差，故①正确； 对于②：由等差数列性质和一次函数特征，， 且，，即，故②正确； 对于③：，， 成立的，故③错误： 对于④：设，可得， 由，，可得时，取得最小值，故④正确． 故答案为：①②④． 15.【答案】解：由及正弦定理得，， 整理得， 由余弦定理得，， ， 为锐角三角形，且， ，解得， ， 由，知， ， ， 故的取值范围为  【解析】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求出的值，即可得解； 由为锐角三角形可得角C的范围，再借助三角恒等变换公式化简，并结合正弦函数的性质，求解即可． 16.【答案】解：由直线与x轴的交点为，得椭圆C右焦点F的坐标为， 故，，， 由题意可得，得， 椭圆C的方程为：； 当直线l的斜率为0时， 显然不满足条件； 当直线l的倾斜角不为时，设直线l的方程为：，， 由，得 由题意， 则 由 ， 而，得 故存在满足条件的直线，直线l的方程为：  【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．先求出点F的坐标，得出椭圆的半焦距，进一步求得a与b的值，结合椭圆的几何性质可出答案． 设直线l的方程为：，，，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意，将韦达定理代入可出答案． 17.【答案】解：若  ，  ，则  ， 可得  ， 所以  ，且  ， 所以曲线  在  处的切线的方程为  ， 即为  ；  ， 当  时，，  在上单调递增； 当  时，令  ，解得  ， 当  时，，  在  上单调递减， 当  时，，  在  上单调递增. 综上，当  时，  在上单调递增； 当  时，  在  上单调递减，在  上单调递增； 因为  ，  ，所以  ， 故函数  在  上单调递增， 不妨设  ，则由 ， 可化为  ， 设  ，则  ， 所以  为  上的减函数，即  在  上恒成立， 等价于  在  上恒成立，即  在  上恒成立， 又  ，所以  ，所以  ， 而函数  在  上是增函数， 所以  当且仅当  ，  时等号成立 所以  ，即 m 的最小值为 12    【解析】本题考查函数与导数的综合问题，利用导数研究函数的单调性与最值，恒成立问题的求解，化归转化思想，是难题． 通过曲线在某一点的切线的相关知识直接求解； 利用导数，对参数分类讨论，即可求解单调性； 设  ，将原表达式化为  ，构造函数  ，根据  为  上的减函数，参变分离求解函数的最值即可. 18.【答案】证明：平面平面ABCD，平面平面，且，平面ABCD， 平面PAD， 平面PAD， ， 又，且，PA、平面PAB， 平面PAB； 解：取AD中点为O，连接CO，PO， ， ，， 又，， ，， 平面平面ABCD，平面平面，平面PAD， 平面ABCD， 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，， 则，， 设为平面PCD的法向量， 则由，得， 令，则， 设PB与平面PCD的夹角为，则 ； 解：假设存在M点使得平面PCD， 设，，， 由知，，，，， 则有，可得， ， 平面PCD，为平面PCD的法向量， ，即，解得， 综上，存在点M，使得平面，即当时，M点即为所求．  【解析】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属拔高题． 由已知结合面面垂直的性质可得平面PAD，进一步得到，再由，由线面垂直的判定得到平面PAB； 取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，即可求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值； 假设存在M点使得平面PCD，设，由可得，由平面PCD，可得，求出即可. 19.【答案】解：因为， 所以， 因为C中有3个元素，所以，，即，， 所以解得， 所以a的取值范围是 若，则，有1个， ①若且，则，有3种可能，有3个， ②若且，，则， 若，则，若，的值可能是4或6， 若，的值可能是2或4或6，符合条件的有6个， ③若，，均不为8，则，， ，，的值可能分别为：2，2，，2，，2，，4，，4，，6，，4，，4，，6，，6，6， 符合条件的有10个， ，综上得符合条件的有20个. 由题意得， 所以，，， 所以，能被4整除， ，不能被2整除， ，能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以，，，中能被2整除，但不能被4整除的有n个  【解析】本题考查了数列的新定义问题，是较难题. 先研究数列的单调性，可得，，所以，解出即可； 易得若，则，有1个，分且、且，、，，均不为8，几种情况研究即可； 易得，，，中能被2整除，但不能被4整除的有n个. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$