精品解析：江苏省镇江市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

江苏省镇江市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 若直线l经过点A(，－1)，B(，2)，则l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ） A. 13 B. C. 3或 D. 或13 3. 已知圆：和：，则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 4. 直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与圆C的相交弦长为 B. 圆C关于直线对称的圆的方程为 C. 若点是圆C上的动点，则的最大值为 D. 若圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于，则或 11. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 1024是三角形数 D. 12. 已知是左右焦点分别为的椭圆上的动点， ,下列说法正确的有（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在点，使 D. 的最大值为 三、填空题 13. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围__________. 14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________. 15. 已知数列满足，，则__________． 四、简答题 16. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围. 17. （1）直线经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）已知直线经过点，且原点到直线的距离等于，求直线的方程. 18. 已知是公差的等差数列，且成等比数列． （1）求数列的通项公式和前项和； （2）求数列}的前项和． 19. 已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求证：. 20. 如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，． （1）求椭圆的离心率； （2）已知的面积为，求a，b的值． 21. 已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于不同的两点，且为坐标原点，求三角形的面积． 22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围； （Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 若直线l经过点A(，－1)，B(，2)，则l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件，利用两点求斜率和斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为l经过点A(2－1)，B(，2)， 所以由两点求斜率和斜率与倾斜角关系得，， 故. 故选：C. 2. 已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ） A. 13 B. C. 3或 D. 或13 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项得到，根据等比中项得到，计算得到答案. 【详解】a是4与6的等差中项，故， b是与的等比中项，则，则，或. 故选：D 3. 已知圆：和：，则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系. 【详解】因为圆：的圆心，半径为， 圆：即的圆心，半径为， 所以两个圆的圆心距，又两个圆的半径和为， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：B. 4. 直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 5. 已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线的方程为， 由直线与圆相切，则， 解得，即， 即直线的方程为， 又圆的圆心坐标为，半径为， 圆圆心到直线距离为， 则直线被圆所截弦长为. 故选：A 6. 已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得. 【详解】由等比中项的性质得， 又， 解得或， 当时，或（舍）， 当时，（舍）， 所以，， 此时， 所以， 故选：D. 7. 过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当最小时，和垂直，求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程． 【详解】 圆：的圆心为， 当最小时，圆心到直线的距离最长，此时，和垂直， ∵ ∴直线的斜率等于， 用点斜式写出直线的方程为，即， 故选：B. 8. 如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点，由两点间斜率公式求出直线的斜率与直线的斜率，由题意，直线的斜率与直线的斜率的积为，联立椭圆中，即可求出椭圆的离心率． 【详解】解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点 则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，解得， 因为，所以， 故选：B． 二、多选题 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项：把的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为，直接判断即可； B选项，把的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可； D选项，由直线平行时，斜率相等，可求得得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可. 【详解】对于A，当时，那么直线为，直线为，此时两直线的斜率分别为和，所以有，所以，故A选项正确； 对于B，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误； 对于C，由直线：，整理可得： ，故直线过定点，直线：，整理可得：，故直线过定点，故C选项错误； 对于D，当，平行时，两直线的斜率相等，即，解得：或，当时，两直线重合，舍去；当时，直线为，为，此时两直线的距离，故D选项正确. 故选：AD. 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与圆C的相交弦长为 B. 圆C关于直线对称的圆的方程为 C. 若点是圆C上的动点，则的最大值为 D. 若圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出直线到圆心距离，再利用垂径定理结合勾股定理可得答案. 对于B，相当于求以点C关于直线对称点为圆心，半径不变的圆的方程. 对于C，注意到，结合范围可得答案. 对于D，题目等价于直线到圆心距离为，进而可得答案. 【详解】圆 对于选项A，设到圆心距离为.又圆C半径为. 所以直线与圆C的相交弦长.故A正确. 对于选项B，点C关于对称点为，又关于直线对称的圆半径不变. 则圆C关于直线对称的圆的方程为.故B正确. 对于选项C，由圆C：，可得. 又，得，故C错误. 对于选项D，圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于等价于 直线到圆心距离. 则，得或.故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：本题A，B，C选项所涉知识较为基础，选项D涉及的结论为： 设直线l与圆O相交，l到O距离为d，圆O半径为r，圆上一点P到l距离为. （1）若，满足条件的点P有2个. （2）若，满足条件的点P有4个 （3）若，满足条件的点P有3个 （4）若，满足条件的点P有2个 （5）若，满足条件的点P有1个 11. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 1024是三角形数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】归纳得到，A正确，累加计算确定，计算得到B正确，根据无整数解得到C错误，根据裂项相消法计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，，…，可归纳得，正确； 对选项B：所有项累加可得，故， ，正确； 对选项C：令，此方程没有正整数解，错误； 对选项D： ，正确. 故选：ABD. 12. 已知是左右焦点分别为的椭圆上的动点， ,下列说法正确的有（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在点，使 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对于选项 由椭圆的定义可得选项正确； 对于选项由椭圆的性质可知，故选项正确； 对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，所以，即，故选项错误； 对于选项设，则，当时，，故选项正确， 【详解】对于选项由题设可得：，， 由椭圆的定义可得：，故选项正确； 对于选项由椭圆的性质可知：（当为椭圆的右顶点时取““，故选项正确； 对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，此时，所以，即，故选项错误； 对于选项设，则，当时，，故选项正确， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式. （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围. （3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式. （5）利用数形结合分析解答. 三、填空题 13. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 15. 已知数列满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出，即可得解. 【详解】解：由，，同时除以可得. 即是以为首项，为公差的等差数列. 所以，即. 故答案为：. 四、简答题 16. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由中垂线的性质可知，再根据几何关系可知，求椭圆的离心率. 【详解】如图， 设直线与轴的交点为，连接， ∵的中垂线过点， ∴，可得， 又∵，且， ∴，即， ∴，， 又椭圆的离心率，得， 故离心率的取值范围是． 17. （1）直线经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）已知直线经过点，且原点到直线的距离等于，求直线的方程. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件联立方程组，求出交点坐标，再利用直线的截距式方程即可求解； （2）利用直线的点斜式方程和点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，解得， 所以直线与的交点坐标为. 当直线经过坐标原点时，直线的方程为，即. 当直线不经过原点时，设直线的方程为，则 因为直线经过点，所以，解得, 所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. （2）当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为，满足题意； 当直线的斜率不时，设直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离等于，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. 18. 已知是公差的等差数列，且成等比数列． （1）求数列的通项公式和前项和； （2）求数列}的前项和． 【答案】（1）；；（2）． 【解析】 【分析】（1）运用等比数列的中项性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式和求和公式； （2）对讨论，当，为整数，可得；当 时， ，即有，计算即可得到所求和． 【详解】（1）由成等比数列，可得 即为，即，解得 ， 则数列的通项公式为； 前n项和为 （2）当，为整数，可得 ，则 当 时，，即有 则 19. 已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1） （2） , 所以 ， 因为 单调递减，所以 单调递增， 故当 时， ，而， 故. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解. （2）根据裂项相消求和，即可求出，然后根据单调性即可证明. 【小问1详解】 设的公差为 ，因为，，成等比数列， 所以 ， 因为是递增，所以，故 ，所以. 【小问2详解】 略 20. 如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，． （1）求椭圆的离心率； （2）已知的面积为，求a，b的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用，求椭圆的离心率； （2）设，则，利用余弦定理以及已知的面积为，直接求， 的值． 【详解】解：（1） ； （2）设；则，在中， ， 面积 ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题． 21. 已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于不同的两点，且为坐标原点，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆心在轴正半轴注设圆心坐标为，根据直线与圆相切得到，解方程得到，然后写圆的方程即可； （2）设直线：，联立直线和圆的方程，根据韦达定理和列方程得到，然后利用几何法求弦长，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离，最后根据三角形面积公式求面积即可. 【小问1详解】 设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去）， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，，直线：， 联立得， ，解得， 所以，，， 因为，，， 所以，解得或（舍去）， 所以直线：，圆心到直线的距离， ，点到直线的距离， 所以. 22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围； （Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）且； （Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可， 设，由（Ⅱ）可知， 则， 由，可得， 而 ，， 故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设出椭圆方程，根据题意得出关于的方程组，从而求得椭圆的方程； （Ⅱ）根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交点，利用即可求出m的取值范围； （Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，根据题意把所证问题转化为证明k1+k2=0即可. 【详解】（1）设椭圆方程为，由题意可得 ，解得， ∴椭圆方程为； （Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，， 所以设直线的方程为， 由消元，得 ∵直线l与椭圆交于A，B两个不同点， 所以，解得， 所以m的取值范围为. （Ⅲ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $