专题1：数轴上的动点问题-2024-2025学年七年级数学上学期专题精讲精练（全国通用版）

2024-2025学年七年级上学期专题精讲精练（全国通用版） 专题一：数轴上的动点问题（原卷版） 目录 重点知识突破 2 1、数轴上的动点问题五要素: 2 2、动点对应数的表示方法： 2 3、数轴上两点间的距离表示方法: 2 4、中点公式: 3 解题方法精讲 3 动点问题解决的四个步骤 3 题型大全概览 4 四种考法： 4 十二种题型： 4 经典题型，举一反四 5 题型一：距离问题 5 题型二：相遇问题 7 题型三：定值问题 10 题型四：往返问题 13 题型五：挡板问题 15 题型六：数轴折叠问题 18 题型七：异形数轴问题 21 题型八：数轴新定义问题 25 题型九：木棒滑动问题 29 题型十：正方形运动问题 32 题型十一：长方形运动问题 37 题型十二：圆形滚动问题 41 · 重点知识突破 1、数轴上的动点问题五要素: （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远. 2、动点对应数的表示方法： 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 3、数轴上两点间的距离表示方法: （1）两点的相对位置确定: 如图3，数轴上点对应的数分别是，且在的右侧，则： （2）相对位置不确定: 数轴上点对应的数分别是，则： 4、中点公式: （1）中点公式： 如图4，已知在数轴上对应的数为，在数轴上对应的数为，则： ，的中点对应的数为 （2）中点公式变形: 如图5，已知在数轴上对应的数为，的中点对应的数为，则： 对应的数 · 解题方法精讲 动点问题解决的四个步骤 （1）第一步:表示数轴上所有涉及到的点; 已知的点标在数轴上,根据上面讲的“动点对应数的表示方法”将动点用含有时间的代数式表示出来； （2）根据上面讲的距离公式，表示出所涉及到的距离； （3）根据题目中所给的等量关系，列式求解； （4）检验所求结果是否符合题意。 · 题型大全概览 数轴上的动点问题大致分为四大考法，十二种题型,具体见下面的思维导图： 四种考法： 十二种题型： · 经典题型，举一反四 题型一：距离问题 【经典例题1】．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1．如图所示，在数轴上点在原点的左侧，所表示的数是；点在原点的右侧，所表示的数是，并且满足与互为相反数． (1)点表示的数为 ；点表示的数为 ． (2)在（1）的条件下，如果点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，那么、两点同时出发，并且在点处相遇，求点所表示的数． (3)在（2）的条件下，若点运动到达点后，按原路立即返回，速度比原来提高了；点继续按原速度原方向运动，从、在点处相遇开始，当、两点的距离为18个单位长度时，求点所表示的数． 2．小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M沿数轴向右移动2个单位长度，同时点N沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图所示，在数轴上点M，N表示的有理数分别是m，n． (1)第______次按键后，点M正好到达原点； (2)第6次按键后，求m比n大多少？ (3)在按键过程中，当点M与原点O的距离为2个单位长度时，求n的值； (4)试判断点M与点N的距离能否为2024个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由． 3．在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为． (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 4．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，点为数轴上的两个动点，动点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点 A运动．设点P的运动时间为t秒． (1)线段的长为 ； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)在两点同时运动的过程中，当时，求t的值； (4)当两点到原点的距离相等时，直接写出t的值． 题型二：相遇问题 【经典例题2】．如图，数轴上有三点、、，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13． (1)点表示的数是_______，线段的长度是______； (2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度匀速运动，同时动点从点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，在、的运动过程中，当、两点间的距离为8个单位长度时，求此时动点在数轴上所对应的数； (3)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒5个单位长度匀速运动，点运动2秒钟后，动点从点出发，沿数轴向左以每秒1个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动；当动点到达点时，、、三点同时停止运动，在整个运动过程中，点的运动时间设为（秒），当时，请直接写出所有满足条件的的值，并写出其中一个的解答过程． 【强化训练】 1．如图，在一条不完整的数轴上，一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动7个单位长度到达点C． (1)若点A表示的数为0，则点B，点C表示的数分别为__________． (2)在（1）的条件之下，若小虫P从点B出发，以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一只小虫Q恰好从点C出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的点D相遇，点D表示的数是多少？ (3)在（2）的条件之下，设两只小虫t秒时在数轴上相距2个单位，直接写出t的值． 2．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80． (1)请直接写出的中点M对应的数． (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．试求出点C在数轴上所对应的数； 3．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且． (1)直接写出 ， ，点C所对应的数是 ； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒， ①若，求t的值； ②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回，当t为何值时，点M恰好是线段的中点？ 4．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 题型三：定值问题 【经典例题3】．数轴上有三个点，，，分别表示的整数是，，，点在数轴上的位置如图所示，，满足． (1)_______，_______，_______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点，，同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点表示的数为__________．（用含的代数式表示） ②当时，点与点之间的距离是__________．（用含的代数式表示） ③若点与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得式子的值为定值？若存在，求出的值及该定值；若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1．如图，，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点． (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）． ①试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由； ②若动点从出发后，到达原点后保持原来的速度向右运动，当点在线段上运动时，分别取和的中点，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 2．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (2)点A、B以（1）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 3．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 4．如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动． (1)当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是________单位． (2)当个单位时，求三个点的运动时间． (3)是否存在常数k，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出k的值以及该定值，若不存在，请说明理． 题型四：往返问题 【经典例题4】．如图，数轴上有，两点，所表示的有理数分别为、，已知，原点是线段上的一点，且． (1)______，______． (2)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点速度为每秒个单位长度，点速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动． ①当为何值时，点与点停止运动； ②当点到达点时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中点行驶的总路程，并直接写出点最后位置在数轴上所对应的有理数． 【强化训练】 1．点A在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足． (1)求线段的长； (2)若点向右运动，速度为单位长度秒，点向左运动，速度为单位长度秒，点，和三点同时开始运动，点先向右运动，遇到点后立即掉头向左运动，遇到点再立即掉头向右运动，如此往返，当，两点相距个单位长度时，点立即停止运动，求此时点移动的路程为多少个单位长度？ (3)点E在数轴上对应的数为，点与点重合，线段以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点左侧某处以每秒个单位长度的速度向右运动，点是线段的中点，点与点相遇秒后与点相遇．若在整个运动过程中，恒成立：求与的值． 2．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为、5，P为数轴上一动点，其对应的数为m． (1)若点P到A、B两点的距离都相等，请直接写出点P对应的数m的值； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10个单位长度？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； (3)现在点A，点B分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每分钟5个单位长度的速度从O点向左运动，当遇到点A时，点P以原来的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程． 3．已知数轴上，两点表示的数分别为，，且，满足． (1)直接写出和的值； (2)若点表示的数为，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设两点运动时间为秒： 当点在，之间，且时，求出此时的值； 当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，，两点相遇时的值． 4．如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒． (1)请用含t的式子表示：动点M对应的数为__________，动点N对应的数为__________； (2)如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值； (3)M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了__________个单位长度． 题型五：挡板问题 【经典例题5】．如图在数轴上点表示数，点表示数，，满足． (1)点表示的数为__________；点表示的数为__________； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）． ①当时，甲小球到原点的距离=_____；乙小球到原点的距离=__________； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时运动的时间的值． 【强化训练】 1．如图，在数轴上点表示数为，点表示数为6，若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位长度/秒的速度向左移动；同时另一小球乙从点处以2个单位长度/秒的速度也向左移动，在碰到搭板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来速度的1.5倍向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）． (1)当时，求甲，乙两小球到原点的距离； (2)当为何值时，甲、乙两小球到原点的距离相等． 2．在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A，B两球相距，以轨道所在的直线画数轴，A球在原点，B球表示的数为15． (1)C球表示的数为 ，挡板D表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒的速度向右匀速运动． ①求几秒后B球第二次撞向右挡板E？ ②当三个球运动的路程和为时，求此时正在运动的这个球表示的数是什么？ 3．如图，在数轴上，点表示数，点表示数，且，满足． (1)________；________； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒． ①当时，甲小球到原点的距离为_______；乙小球到原点的距离为______； ②当时，甲、乙两小球之间的距离为_______；（用含的式子表示） ③求甲、乙两小球到原点的距离相等时，乙小球在数轴上对应的数； ④若当甲和乙开始运动时，挡板也从原点以1个单位长度/秒的速度向右运动，直接写出在运动过程中，甲、乙两小球之间的距离在5个单位长度之内（包含5个单位长度）的时长． 4．如图，在数轴上，点表示数，点表示数满足． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示数为 ； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球乙从点处以每秒2个单位长度的速度也向右运动．若运动的时间为秒，试求：当为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 题型六：数轴折叠问题 【经典例题6】．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足． (1) ， ， (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合； (3)若将数轴折叠，使得点A与点C之间的距离为2，则点B与数 表示的点重合； (4)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t，若将数轴折叠，点A、B、C三点中有一点在折痕上，并使得另外两点之间的距离为1；当点A与点B重合时停止，直接写出t的值． 【强化训练】 1．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足． (1) ； ； ． (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数   表示的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则，，各是多少．（用含t的代数式表示） 2．如图，已知在纸面上有一数轴． 操作一： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题； ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求两点表示的数； （3）已知数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 3．【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 4．学习数学要学会用运动的观点看问题： (1)平移： ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A．B．C．D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是____ ． (2)折叠： ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示_____，B点表示_____． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为______．（用含有a，b的式子表示） 题型七：异形数轴问题 【经典例题7】 【问题呈现】如图，数轴上的点A，B表示的数分别为和6，点A与点B之间的距离是线段AB(或BA)的长度．求线段AB的值； 【实验探究】当点O为原点时： 以点O为折点，将数轴向右折叠，点A的对应点落在数轴上，则______； 再以点B为折点，将数轴向左折叠，点的对应点落在数轴上，则______； 【变式应用】当点C在点A与点B之间时： 以点C为折点，将数轴向右折叠，点A的对应点落在点B的右边； 再以点B为折点，将数轴向左折叠，点的对应点落在数轴上．若，则点C表示的数为______． 【强化训练】 1．操作与探究 请借助数轴，解答下列问题： (1)平移 一机器人从原点开始，第次向左移动个单位，紧接着第次向右移动个单位，第次向左移动个单位，第次向右移动个单位，…，依此规律移动，当它移动完次时，落在数轴上的点表示的数是______；当它移动完次时，落在数轴上的点表示的数是______； (2)折叠 操作一  若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示的点重合，此时折痕点表示的数是______，表示的点与表示______的点重合； 操作二  若数轴上，两点经折叠后重合，两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），则点表示______，点表示______； 操作三  如图，一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点与点的距离为个单位长度，则点表示的数为______． 2．如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且． (1)填空： ， ； (2)如图②所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距10个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子鼠从对应的点E沿数轴向右运动，当电子鼠遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回……设机器猫每秒运动4个单位长度，电子鼠每秒运动3个单位长度，当机器猫与电子鼠同时运动到点E处停止运动，求电子鼠运动的路程． 3．如图，将等边放在数轴上，点B与数轴上表示的点重合，点C与数轴上表示2的点重合，将数轴上C点右侧的数轴沿进行折叠、经过折叠后， (1)点A、点B分别与坐标轴上表示哪个数的点重合？ (2)若点D为的中点，点E表示折叠数轴上，记为数轴拉直后点E到点A的距离，即，其中代表线段长度.若动点P从点D出发，沿方向运动，动点Q从点E出发，沿方向运动，当动点Q运动到点C时，P、Q同时停止运动.已知动点P在DC上运动速度为1单位/秒，在上运动速度为2单位/秒；动点Q的运动速度为1单位/秒，设运动时间为t（秒）. ①当t为何值时，动点P、Q表示同一个数. ②当t为何值时，. 4．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． (1)动点P从点A运动至点C需要 　　秒，动点Q从点C运动至点A需要 　　秒； (2)P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； (3)是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型八：数轴新定义问题 【经典例题8】． 【阅读理解】 定义：点A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是有序点对的乐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1，则点C到点A的距离，点C到点B的距离，那么点C是有序点对的乐点；但点C不是有序点对的乐点． 【知识运用】 (1)判断，如图1，点D_____有序点对的乐点，点D_____有序点对的乐点（两空均填“是”或“不是”）； (2)如图2，x、y为数轴上两点，点x所表示的数为，点y所表示的数为6．数轴上的点S在线段上，点S所表示的数是多少时的点是有序点对的乐点； (3)如图3，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为25，点F所表示的数为55．有一只电子蚂蚁P从表示的点出发，以5个单位每秒的速度向右运动，设运动时间为t秒； ①当点P在点E左边时，用含t的代数式表示点P和点E的距离 ，点P和点F的距离 ． ②当t为何值时，P是E、F两点所组成的有序点对的乐点？ 【强化训练】 1．定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 2．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”． 解答下列问题： (1)若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为______； (2)若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为______； (3)点表示的数为，点，表示的数分别是，，点为数轴原点，点为线段上一点． ①设点表示的数为，若点可以为点与点的“平衡点”，则的取值范围是______； ②当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为秒，求的取值范围，使得点可以为点与点的“平衡点”． 3．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数0，点B表示的数3，数0，1，4，6所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“关联点”的是________； (2)点M表示数，点N表示数9，点P从点N出发在数轴上以3个单位每秒的速度运动． ①若点P从点N向右侧运动，当点P是点M，N的“关联点”时，点P的运动时间为________秒； ②若点P从点N向左侧运动，当点P，M，N中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”时，求出此时点P的运动时间． 4．【阅读理解】 定义：在一条数轴上的三个点之间若满足以下关系，其中一点分别与另外两点组成的线段恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“双倍和谐点”．如图1，点P、Q、R在数轴上，若点Q是线段的中点，则有，所以我们称点P是点Q与点 R的“双倍和谐点”． 【迁移运用】 (1)如图1， 点R 点Q与点P的“双倍和谐点”；点Q 点P 与点R 的“双倍和谐点”（两空皆选填“是”或“不是”） ； (2)如图2，点O是数轴的原点，点A所表示的数为，点B所表示的数为．点C从A点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动，运动时间为t秒． ①当点A是点B与点C的“双倍和谐点”时，求t的值； ②若在点C运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，且线段的中点M 也随一起运动．点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动．当点C位于点M右侧且点M是点C与点N的“双倍和谐点”时，求点C此时所代表的数． 题型九：木棒滑动问题 【经典例题9】．如图，数轴上摆放着两根木棒m、n，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知，，．若木棒m、n分别以4个单位长度和3个单位长度的速度同时沿x轴正方向移动，设平移时间为． (1)求b和c的值； (2)平移过程中，原点O恰好是木棒m的中点时，求t的值； (3)平移过程中，木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值； (4)直接写出木棒m，n重叠部分的长为4个单位长度时的时长． 【强化训练】 1．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 2．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点A重合，点N与点重合，点在点Q的左边，点在点的左边，且，，木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)当时，若线段和线段的长度之和为12，求对应的值； (3)点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说理由． 3．数形结合思想是初中数学非常重要的思想方法，阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为______； (2)图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，东东去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！” 请你画出示意图，并求出奶奶和东东的现在的年龄． 4．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 题型十：正方形运动问题 【经典例题10】．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 【强化训练】 1．如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 2．如图（1）已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，从点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)点在数轴上表示的数为______，点在数轴上表示的数为______（用含的代数式表示）； (2)如图（2）数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为? 3．如图1，正方形的边在数轴上，为原点，正方形的面积为16． (1)数轴上点表示的数为 ． (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为， ①移动后的正方形与原正方形重叠部分（如图1中阴影部分）的面积记为，当恰好等于原正方形面积的时，数轴上点表示的数为 ． ②若正方形沿数轴水平移动的速度为每秒3个单位长度，运动时间为秒；动点从点开始沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，点在点和点之间，且．当时，求正方形运动时间的值． 4．如图，点M，N在数轴上分别位于原点O的左右两边，点M表示的数是a，点N表示的数是b，且a，b满足．点A、B、C是线段的四等分点，分别以线段为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出a，b的值：a＝ ，b＝ ； (2)如图1，若动点P从点M出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点P到达点G时P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t，求线段时t的值； (3)如图2，若动点P从点M出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点P到达点O时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点P到达点O的同时动点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点Q首次到达点C后立即以每秒3个单位长度的速度在点C和点O之间往返运动，过动点Q作直线l垂直，在运动过程中，直线l与线段的交点为H．当点P第二次到达点D时P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t，直接写出线段时t的值． 题型十一：长方形运动问题 【经典例题11】．如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 【强化训练】 1．如图，正方形边，长方形边在数轴上，其中正方形边长是3，长方形长是4，宽是2．在数轴上B表示的数为，O表示的数是0，现将正方形向右移动a个单位长度． (1)移动前点A表示的数是______； (2)在移动的过程中，点A与点O重合时，a的值是______，点B与点P重合时，a的值是______； (3)当正方形和长方形有重叠部分时，设重叠部分面积为S． ①当点A与点O的距离为2个单位长度时，请在备用图中画出此时的正方形，并直接写出重叠部分面积S的值； ②当重量部分面积时，请直接写出此时点A表示的数． 2．两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是______． (2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t． ①在整个运动过程中，S的最大值是______，持续时间是______秒； ②当S是长方形面积一半时，求点B在数轴上表示的数． 3．如图，将两个形状完全相同的长方形，放置在数轴上，它们的长为2，宽为1，C与表示的点重合，F与表示3的点重合，长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t． (1)当时，点C表示的数为______，点F表示的数为______． (2)当点C和点F重合时，求t的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分． ①请求出有重叠部分时持续的时间． ②若C和点F重合后两长方形开始改变运动速度，长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴继续向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度继续沿数轴向左运动．当重叠部分周长是长方形周长的一半时，请直接写出此时点C所表示的数为______． 4．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 题型十二：圆形滚动问题 【经典例题12】．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． (1)若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； (2)若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：．第几次滚动后，小圆离原点最远？ (3)若两圆同时在数轴上各自沿着同一方向连续滚动，设滚动时间为秒．是否存一个值，滚动后两圆与数轴重合的点之间相距？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． (1)若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； (2)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：． ①第几次滚动后，大圆离原点最远？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留） ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？（结果保留） (3)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 2．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． (1)若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； (2)若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：，，，，，；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π） (3)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 3．（1）【操作感知】如图①，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时折痕与数轴交点表示的数为 ． （2）【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕与数轴交点表示的数为 （用含，的代数式表示）． （3）【问题解决】若，，为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，如果，，三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数； （4）如图②，若是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动周，点落在数轴上的点处．将此长方形透明纸沿，剪开，将点，之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，求最右端折痕与数轴交点表示的数． 4．【操作感知】如图1，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为 　 　． 【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点C与表示数b的点D重合，则折痕与数轴交点表示的数为 　 　（用含a，b的代数式表示）． 【问题解决】如图2，点P表示的数为﹣10，点Q表示的数为20，如果点M从点P的位置出发，以每秒2个单位的速度向点Q运动，当点M到达点Q时停止运动，设运动时间为t秒(t>0) ． （1）若点M到P，Q两点中一点的距离为到另一点距离的两倍，求t值． （2）若点M从点P出发，同时点N从点Q开始运动，以每秒1个单位的速度向点P运动，并与点M同时停止，请求出当点M，N，P中其中一点到另外两点距离相等时t的值． 学科网··★数学梦工厂出品·，第2页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年七年级上学期专题精讲精练（全国通用版） 专题一：数轴上的动点问题（解析版） 目录 重点知识突破 2 1、数轴上的动点问题五要素: 2 2、动点对应数的表示方法： 2 2、数轴上两点间的距离表示方法: 2 3、中点公式: 3 解题方法精讲 3 动点问题解决的四个步骤 3 题型大全概览 4 四种考法： 4 十二种题型： 4 经典题型，举一反四 5 题型一：距离问题 5 题型二：相遇问题 13 题型三：定值问题 20 题型四：往返问题 29 题型五：挡板问题 37 题型六：数轴折叠问题 44 题型七：异形数轴问题 52 题型八：数轴新定义问题 62 题型九：木棒滑动问题 73 题型十：正方形运动问题 81 题型十一：长方形运动问题 94 题型十二：圆形滚动问题 103 · 重点知识突破 1、数轴上的动点问题五要素: （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远. 2、动点对应数的表示方法： 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 2、数轴上两点间的距离表示方法: （1）两点的相对位置确定: 如图3，数轴上点对应的数分别是，且在的右侧，则： （2）相对位置不确定: 数轴上点对应的数分别是，则： 3、中点公式: （1）中点公式： 如图4，已知在数轴上对应的数为，在数轴上对应的数为，则： ，的中点对应的数为 （2）中点公式变形: 如图5，已知在数轴上对应的数为，的中点对应的数为，则： 对应的数 · 解题方法精讲 动点问题解决的四个步骤 (1)第一步:表示数轴上所有涉及到的点; 已知的点标在数轴上,根据上面讲的“动点对应数的表示方法”将动点用含有时间的代数式表示出来； （2）根据上面讲的距离公式，表示出所涉及到的距离； （3）根据题目中所给的等量关系，列式求解； （4）检验所求结果是否符合题意。 · 题型大全概览 数轴上的动点问题大致分为四大考法，十二种类型,具体见下面的思维导图： 四种考法： 十二种题型： · 经典题型，举一反四 题型一：距离问题 【经典例题1】．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或秒时，此时的距离为或． 【分析】（）由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，然后求解即可； （）根据题意得点对应的数是，点对应的数是，再根据两点之间相距个单位长度列出绝对值方程，然后求解即可； （）由题意知点对应的数是，点对应的数是，设再运动秒后，则得出平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，然后分当线段和线段相遇前，当线段和线段相遇后两种情况，列出方程，然后求解即可； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示数，数轴两点间的距离，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， 当时，点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵两点之间相距个单位长度， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或； （3）存在，理由如下： 当时，点对应的数是，点对应的数是， 由题意知点对应的数是，点对应的数是， 设再运动秒后， ∴平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数， 当线段和线段相遇前， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 当线段和线段相遇后， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 综上可知：当或秒时，此时的距离为或． 【强化训练】 1．如图所示，在数轴上点在原点的左侧，所表示的数是；点在原点的右侧，所表示的数是，并且满足与互为相反数． (1)点表示的数为 ；点表示的数为 ． (2)在（1）的条件下，如果点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，那么、两点同时出发，并且在点处相遇，求点所表示的数． (3)在（2）的条件下，若点运动到达点后，按原路立即返回，速度比原来提高了；点继续按原速度原方向运动，从、在点处相遇开始，当、两点的距离为18个单位长度时，求点所表示的数． 【答案】(1)，20 (2) (3)所表示的数为或或 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题、绝对值的性质、一元一次方程的几何应用，解题关键是理解绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，具有非负性． （1）依据两个非负数相加为零，各个数为零； （2）点到点的距离加点到点的距离等于点与点之间的距离； （3）根据题意分三种情况讨论：①、在点相遇后，向运动路上，②点从点返回，且未追上时，③点从点返回，追上了． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ， ， ，， 故答案为：，20． （2）解：由（1）得点与点的距离为：， 设，两点相遇时间为得： ， 解得， 点移动的距离为：， 故点表示的数：， 点所表示的数为． （3）解：①、在点相遇后，向运动路上，时，假设用了时间，则： ， ， 此时点所示的数：； ②点从点返回，且未追上时，， 点从处运动到处：， 此时从处出发运动的路程为，则点表示的数为：， 点后来的速度：， 假设点从处出发，未追上，但满足时，运动时间为，则： ， ， 此时从出发运动的路程为， 点表示的数为：； ③点从点返回，追上了，且满足，假设从点到达这个位置用时，则： ， ， 此时从出发运动的路程为， 点表示的数为：， 综上所述，所表示的数为或或． 2．小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M沿数轴向右移动2个单位长度，同时点N沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图所示，在数轴上点M，N表示的有理数分别是m，n． (1)第______次按键后，点M正好到达原点； (2)第6次按键后，求m比n大多少？ (3)在按键过程中，当点M与原点O的距离为2个单位长度时，求n的值； (4)试判断点M与点N的距离能否为2024个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由． 【答案】(1)3； (2)m比n大18； (3)或； (4)不能；理由见解析． 【分析】本题考查了数轴上的平移，解方程，有理数的加减混合运算，有理数的加减乘法混合运算，熟练掌握规律，解方程和运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得点A到原点的距离为6为单位长度，即可求解； （2）求出点m，n的值，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点M在原点的右侧时，当点M在原点的左侧时，即可求解； （4）假设第x次按键后，点M与点N的距离能否为2024个单位长度，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵表示的点A． ∴点A到原点的距离为6为单位长度， ∵， 即第3次按键后，点M正好到达原点； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：， ， 即第6次按键后，m比n大18； （3）解：当点M在原点的右侧，且与原点O的距离为2个单位长度时，， 此时按键次数是次， 则； 当点M在原点的左侧，且与原点O的距离为2个单位长度时，， 此时按键次数是次， 则； 综上所述，n的值为或； （4）解：点M与点N的距离不能为2024个单位长度，理由如下： 假设第x次按键后，点M与点N的距离能否为2024个单位长度，则 ， 解得：不是整数，不符合题意， 所以点M与点N的距离不能为2024个单位长度． 3．在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为． (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 【答案】(1)2或 (2)6 (3)4或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，对于（1），分两种情况根据两点间的距离判断即可； 对于（2），先确定点B，再根据两点之间的距离可得点A运动的路程，即可得出运动的时间，进而得出答案； 对于（3），结合（2）分两种情况用两点之间的距离除以速度可得答案． 【详解】（1）设点B对应的数是b， 因为， 所以， 解得或． 故答案为：2或； （2）由（1）知点B对应的数是2， 点A运动了（单位长度）， ∴（秒）， ∴点B向左运动了（单位长度）， 则点B运动到了点， 所以A，B之间的距离是； （3）因为， 解得或， ， 所以经过4秒或8秒． 4．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，点为数轴上的两个动点，动点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点 A运动．设点P的运动时间为t秒． (1)线段的长为 ； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)在两点同时运动的过程中，当时，求t的值； (4)当两点到原点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据两点之间的距离公式直接求出的长； （2）设运动时间为秒，点表示为，点表示为，再由题意列方程求解即可； （3）设运动时间为秒，点表示为，点表示为，由（1）可知，，再根据列方程求解即可； （4）设运动时间为秒，点表示为，点表示为，由题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，点B表示的数是， 的长为， 故答案为：18． （2）设运动时间为秒，点表示为，点表示为， 当点P与点Q重合时，有， 即，解得． （3）由（1）可知，， 设运动时间为秒，点表示为，点表示为， 或     ， 或， 或． （4）设运动时间为秒，点表示为，点表示为， 两点到原点的距离相等， ， 当时， 即， 解得， 当， 即， 解得， 或． 题型二：相遇问题 【经典例题2】．如图，数轴上有三点、、，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13． (1)点表示的数是_______，线段的长度是______； (2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度匀速运动，同时动点从点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，在、的运动过程中，当、两点间的距离为8个单位长度时，求此时动点在数轴上所对应的数； (3)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒5个单位长度匀速运动，点运动2秒钟后，动点从点出发，沿数轴向左以每秒1个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动；当动点到达点时，、、三点同时停止运动，在整个运动过程中，点的运动时间设为（秒），当时，请直接写出所有满足条件的的值，并写出其中一个的解答过程． 【答案】(1)， (2)此时动点在数轴上所对应的数为或 (3)所有满足条件的的值为或或，过程见解析 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可得到点表示的数，再根据数轴特点即可得到线段的长度； （2）根据、两点间的距离为8个单位长度，记运动时间为，分以下两种情况：①、两点相遇之前，、两点间的距离为8个单位长度，②、两点相遇之后，、两点间的距离为8个单位长度，根据路程，速度，时间的关系建立等式求出时间，进而根据数轴特点得到动点在数轴上所对应的数，即可解题； （3）根据，以及动点的运动过程，分以下情况①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，结合相遇问题和追击问题，分别表示出、、，再建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：点表示的数是1，点在点的左侧且， 点表示的数是， 点表示的数是13， 线段的长度是， 故答案为：，． （2）解：、两点间的距离为8个单位长度，分以下两种情况： 记运动时间为时，、两点间的距离为8个单位长度， ①、两点相遇之前，、两点间的距离为8个单位长度， 由题知，，，， ， ， 解得秒， 此时动点在数轴上所对应的数为； ②、两点相遇之后，、两点间的距离为8个单位长度， 当、两点相遇时，有（秒）， 当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动， ， 解得秒， 此时动点在数轴上所对应的数为； 综上所述，此时动点在数轴上所对应的数为或； （3）解：由题知，动点与动点相遇时， 有，即， 解得秒， 动点追上动点时， 有，即， 解得秒， ， ①当时， 有，， ， 解得秒， ②当时， 有，， ， 解得秒， 当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动； 秒时，，即点为数， 点为数， 当调头后与动点相遇时，（秒），即秒， 当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动，此时秒； 当动点到达点时，、、三点同时停止运动，此时秒， ③当时， 有， ， ， 解得（不符合题意，舍去）， ④当时， 有， ， ， 解得（不符合题意，舍去）， 当动点立即调头并追上动点时，有追及时间为（秒）， ⑤当时， 有，， ， ， 解得， 综上所述，所有满足条件的的值为或或． 【强化训练】 1．如图，在一条不完整的数轴上，一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动7个单位长度到达点C． (1)若点A表示的数为0，则点B，点C表示的数分别为__________． (2)在（1）的条件之下，若小虫P从点B出发，以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一只小虫Q恰好从点C出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的点D相遇，点D表示的数是多少？ (3)在（2）的条件之下，设两只小虫t秒时在数轴上相距2个单位，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用： （1）依据点A表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点B、点C表示的数； （2）设小虫P与小虫Q的运动的时间为t，根据两小虫运动路程之和为7列出方程并解答； （3）根据点P，Q的运动可得出点P，Q运动后所对应的数，根据P，Q相距2个单位及数轴上两点间的距离建立方程即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为0，点向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点， ∴点B表示的数为，点C表示的数为； （2）解：设小虫P与小虫Q的运动的时间为t，依题意得： ，解得， ∴点D表示的数是：． 答：点D表示的数是； （3）解：根据题意得：点P所对应的数为：，点Q所表示的数为：， ∴， 解得：或． 2．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80． (1)请直接写出的中点M对应的数． (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．试求出点C在数轴上所对应的数； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． （1）求与80和的一半即是点M表示的数； （2）先求出的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数． 【详解】（1）解：M点对应的数是：； （2）解：A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为80， ， 设t秒后P、Q相遇， ， 解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 3．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且． (1)直接写出 ， ，点C所对应的数是 ； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒， ①若，求t的值； ②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回，当t为何值时，点M恰好是线段的中点？ 【答案】(1)，9，2 (2)①或；②或时，点M恰好是线段的中点 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的非负性，两点间的距离，以及一元一次方程的实际应用： （1）根据非负性，两点间的距离，求出以及点C所对应的数即可； （2）①根据两点间的距离公式，结合，列出绝对值方程进行求解即可； ②分点跟点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点C在数轴上O，B两点之间，且， ∴点表示的数为：2； （2）解：①由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：， 解得：或； ②当点M恰好是线段的中点时，未相遇， 当点与点相遇时所用时间为：秒， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或时，点M恰好是线段的中点． 4．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1) (2)①5秒；②运动1秒或9秒． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用， （1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点分情况列出方程求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为， 故答案为：； （2）解：①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 题型三：定值问题 【经典例题3】．数轴上有三个点，，，分别表示的整数是，，，点在数轴上的位置如图所示，，满足． (1)_______，_______，_______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点，，同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点表示的数为__________．（用含的代数式表示） ②当时，点与点之间的距离是__________．（用含的代数式表示） ③若点与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得式子的值为定值？若存在，求出的值及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)①；②；③存在，， 【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出，的值，根据数轴可得的值，根据两点间的距离可得点与点之间的距离； （2）①根据数轴可得，点的位置为；②根据数轴可得，秒时点的位置为，可得出时，点与点重合，由此可得当时，点与点之间的距离是，化简即可；③求出和，然后化简，根据式的值为定值求出的值即可． 【详解】（1）解：，满足， ，， ，； 根据数轴可得的值是6， 点与点之间的距离是， 故答案为：，，，； （2）解：①根据数轴可得，点的位置为， 故答案为：； ②根据数轴可得，秒时点的位置为， 由得时，点与点重合， 时，点在点的右侧， 当时，点与点之间的距离是， 故答案为：； ③假设存在有理数，使得代数式的值为定值． 则依题意得：， ． ， 代数式的值为定值， ，解得， 存在有理数，使得代数式的值为定值，，这个定值为34． 【强化训练】 1．如图，，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点． (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）． ①试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由； ②若动点从出发后，到达原点后保持原来的速度向右运动，当点在线段上运动时，分别取和的中点，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或12；②的值是一个定值，为2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，， 解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， 中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 2．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (2)点A、B以（1）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过秒或后A，B相距2个单位长度 (2)当时，为定值，定值为44 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意可列方程，可求出t的值，注意分两种情况； （2）首先根据题意求出，的长，设经过t秒，可得，，，则，可得当时，值为定值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴A点表示，B点表示4． 设经过x秒后A，B相距2个单位长度， ∵， ∴或． 当经过秒或后A，B相距2个单位长度； （2）解：∵A、B对应的数分别为、4． 设经过t秒，点A表示的数是，点B表示，点P表示， ∴，，， ∴． 当时，， ∴当时，为定值，定值为44． 3．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （）；当时，存在定值，为． 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 4．如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动． (1)当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是________单位． (2)当个单位时，求三个点的运动时间． (3)是否存在常数k，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出k的值以及该定值，若不存在，请说明理． 【答案】(1)21 (2)或4或8 (3)当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）根据路程速度时间即可求解； （2）、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，到的时间为10秒．到前，所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为．分三种情况：①、相遇前；②、相遇后，到前；③、相遇后，到后．分别根据列出方程； （3）根据题意分3情况讨论，分别根据列出方程，然后根据在为定值求解即可． 【详解】（1）三个动点运动秒时，则、、三点在数轴上所表示的三个数分别为，，， 当时，、两点在数轴上所表示的三个数分别为，， ， 故答案为：21； （2）、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，到的时间为10秒． 到前，所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为． ①、相遇前：，解得， ②、相遇后，到前，，解得， ③、相遇后，到后： 所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， ，解得， 综上所述：当个单位时，三个点的运动时间或4或8； （3）①当、相遇前，即时， ∵所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ②当、相遇后，到前， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ③当、相遇后，到后， 根据题意得， 所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 题型四：往返问题 【经典例题4】．如图，数轴上有，两点，所表示的有理数分别为、，已知，原点是线段上的一点，且． (1)______，______． (2)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点速度为每秒个单位长度，点速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动． ①当为何值时，点与点停止运动； ②当点到达点时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中点行驶的总路程，并直接写出点最后位置在数轴上所对应的有理数． 【答案】(1)；； (2)①为秒时重合；②点行驶的总路程为和点最后位置在数轴上对应的有理数为． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题及一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用及注意多种情况的分类讨论是解题的关键． （）由可知，将平均分为份，其中占两份为，占一份为，同时注意点在原点左侧，点在原点右侧，从而即可得解； （）①先确定停止运动的时间，再分点在原点左侧和右侧两种情况讨论；②点运动的时间就是点从点开始到追到点的时间，设点运动的时间为秒，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴点所表示的有理数为，点所表示的有理数为， ∴，． 故答案是：；； （2）解：①当点与点重合时，如图， ， 解得， ∴当为秒时，点与点停止运动； ②当点到达点时，÷，此时，，即点所表示的有理数为，如图， 设点运动的时间为秒， 由题意得：，解得， 此时，点表示的有理数为，所以点表示的有理数也是， ∴点行驶的总路程为：， 答：点行驶的总路程为和点最后位置在数轴上对应的有理数为． 【强化训练】 1．点A在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足． (1)求线段的长； (2)若点向右运动，速度为单位长度秒，点向左运动，速度为单位长度秒，点，和三点同时开始运动，点先向右运动，遇到点后立即掉头向左运动，遇到点再立即掉头向右运动，如此往返，当，两点相距个单位长度时，点立即停止运动，求此时点移动的路程为多少个单位长度？ (3)点E在数轴上对应的数为，点与点重合，线段以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点左侧某处以每秒个单位长度的速度向右运动，点是线段的中点，点与点相遇秒后与点相遇．若在整个运动过程中，恒成立：求与的值． 【答案】(1)线段的长为； (2)点移动的路程为个单位长度； (3)的值为，的值为． 【分析】（1）根据绝对值及平方的非负性求出，的值，然后即可得出线段的长度； （2）设点运动时间为秒时，，两点相距个单位长度，依此列出方程，解方程求出的值，再根据路程速度时间即可求解； （3）设开始位置表示的数是，运动秒后与相遇，则相遇时表示的数为，表示的数为，根据表示同一个数可得方程得出，运动秒后与相遇，此时表示的数为，表示的数为，得出，设运动时间是秒，则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，根据题意可得恒成立（与的取值无关），求解即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， ∴， 答：线段AB的长为12； （2）解：设点运动时间为秒时，，两点相距个单位长度． 由题意得， 解得， 则此时点移动的路程为的路程即． 答：点移动的路程为个单位长度； （3）解：设开始位置表示的数是，运动秒后与相遇，则相遇时表示的数为，表示的数为， ， 解得：， 根据题意可得，运动秒后与相遇，此时表示的数为， 表示的数为， ， 解得：， 在整个运动过程中，恒成立， 设运动时间是秒，则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 恒成立， 即恒成立（与的取值无关）， ，即， 代入可得， 解得：， 将代入， 解得：， 答：的值为，的值为． 2．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为、5，P为数轴上一动点，其对应的数为m． (1)若点P到A、B两点的距离都相等，请直接写出点P对应的数m的值； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10个单位长度？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； (3)现在点A，点B分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每分钟5个单位长度的速度从O点向左运动，当遇到点A时，点P以原来的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程． 【答案】(1) (2)存在；或 (3)35个单位长度 【分析】（1）根据题意，，根据点P到点A、点B的距离相等列方程求出m的值即可； （2）存在，按点P在点A左侧、点P在点A、点B之间、点P在点B右侧分类讨论，分别列方程求出m的值即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，求出点A与点B重合时所用的时间，再根据点P的运动速度求出其经过的总路程． 【详解】（1）由题意：当点P在A、B两点之间时存在点P到点A、点B的距离相等， 所以，解得， 所以点P对应的数m的值为； （2）存在， 当点P在点A左侧时，则，解得； 当点P在点A、点B之间时，，此方程无解； 当点P在点B右侧时，则，解得； 所以m的值为或； （3）设经过a分钟点A与点B重合， 开始运动之前点A与点B的距离为， 所以， 解得． （单位长度）． 所以点P所经过的总路程为35单位长度． 3．已知数轴上，两点表示的数分别为，，且，满足． (1)直接写出和的值； (2)若点表示的数为，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设两点运动时间为秒： 当点在，之间，且时，求出此时的值； 当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，，两点相遇时的值． 【答案】(1)，； (2)；或或． 【分析】（）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （）由点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，求出，由，列出方程即可求解； ②当、第一次相遇时，当点到达点返回但未到达点且点未到达点时，、两点相遇，，当点到达点返回但未到达点，且点到达点返回时，、两点相遇，当点从点返回时，、两点相遇，分别列出方程求解即可； 本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及仔细分析点的运动情况，具有分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）∵，且，， ∴，， ∴，； （2）∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵点速度为个单位长度秒，点速度为个单位长度秒，点从点出发，点从点出发， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 由题意得，，， ∵点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为（秒）， ．当、第一次相遇时，， 解得：； ．当点到达点返回但未到达点且点未到达点时，、两点相遇，则， 解得：（舍去）； ．当点到达点返回但未到达点，且点到达点返回时，、两点相遇，则， 解得：； ．当点从点返回时，、两点相遇，则， 解得：， 综上所述，在此运动过程中，、两点相遇时，或或． 4．如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒． (1)请用含t的式子表示：动点M对应的数为__________，动点N对应的数为__________； (2)如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值； (3)M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了__________个单位长度． 【答案】(1)， (2)或10 (3)24 【分析】（1）利用速度乘以时间求出点表示的数，用点的路程，求出点对应的数即可； （2）根据两点间的距离公式，列出方程，进行求解即可； （3）求出M、N相遇时所用时间，利用点p的速度乘以时间，求出路程即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点表示的数为：，点表示的数为：； 故答案为：， （2）、相遇前， 解得， 、相遇后， 解得， 综上或10． （3）相遇时：， 解得：， ∴点p一共运动了个单位长度． 故答案为：24． 题型五：挡板问题 【经典例题5】．如图在数轴上点表示数，点表示数，，满足． (1)点表示的数为__________；点表示的数为__________； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）． ①当时，甲小球到原点的距离=_____；乙小球到原点的距离=__________； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时运动的时间的值． 【答案】(1)，4 (2)①5，2；②或6 【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，绝对值的非负性． （1）根据非负数的性质列方程求出a、b的值，从而得解； （2）①根据运动时间确定出运动的单位数，即可得出结论； ②分，两种情况，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴，， ∴，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为4， 故答案为∶，4； （2）解：①当时， ∵小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动， ∴小球甲3秒钟向左运动个单位，此时，甲小球到原点的距离， ∵小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动， ∴乙小球左运动4个单位，运动了秒，此时，碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动秒钟，运动个单位， ∴乙小球到原点的距离． 故答案为：5，2； ②当，时，小球甲和小球乙都是在向左运动，小球甲与原点的距离为：， 小球乙与原点的距离为：， ∵甲，乙两小球到原点的距离相等， ∴， 解得：； 当时，小球甲然是在向左运动，小球乙向右运动，小球甲与原点的距离为：， 小球乙与原点的距离为：， ∵甲，乙两小球到原点的距离相等， ∴， 解得：． 故当或6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 【强化训练】 1．如图，在数轴上点表示数为，点表示数为6，若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位长度/秒的速度向左移动；同时另一小球乙从点处以2个单位长度/秒的速度也向左移动，在碰到搭板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来速度的1.5倍向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）． (1)当时，求甲，乙两小球到原点的距离； (2)当为何值时，甲、乙两小球到原点的距离相等． 【答案】(1)甲小球到原点的距离为12，乙小球到原点的距离为21 (2)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，用含t的式子表示出甲、乙两小球所处位置是解题的关键． （1）根据初始位置、运动速度、方向计算出时甲、乙两小球所处位置表示的数即可； （2）分和两种情况，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，甲小球所处位置表示的数为：， 甲小球到原点的距离为：； 乙小球向左运动到达原点所用时间为：， 当时，乙小球所处位置表示的数为：， 乙小球到原点的距离为：． （2）解：甲、乙两小球到原点的距离相等时，分两种情况： 当时，甲小球所处位置表示的数为，乙小球所处位置表示的数为， ∴， 解得； 当时，甲小球所处位置表示的数为，乙小球所处位置表示的数为， ∴， 解得， 综上可知，t的值为或时，甲、乙两小球到原点的距离相等． 2．在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A，B两球相距，以轨道所在的直线画数轴，A球在原点，B球表示的数为15． (1)C球表示的数为 ，挡板D表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒的速度向右匀速运动． ①求几秒后B球第二次撞向右挡板E？ ②当三个球运动的路程和为时，求此时正在运动的这个球表示的数是什么？ 【答案】(1)； (2)①44；② 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解题意是解题的关键． （1）求出和的长，即可得到答案； （2）①求出钢球运动的路程，再除以钢球的速度，即得答案； ②在①的基础上，钢球再运动，三个球运动的路程和为，此时计算钢球离钢球C的距离，即得答案． 【详解】（1）解：， ， C球表示的数为，挡板D表示的数为； 故答案为：；． （2）解：①（秒）， 44秒后B球第二次撞向右挡板E； ②由①可知，44秒后B球第二次撞向右挡板E，此时钢球运动了， 再运动，三个球运动的路程和为， 此时钢球离钢球C还有， 所以此时正在运动的这个球表示的数是． 3．如图，在数轴上，点表示数，点表示数，且，满足． (1)________；________； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒． ①当时，甲小球到原点的距离为_______；乙小球到原点的距离为______； ②当时，甲、乙两小球之间的距离为_______；（用含的式子表示） ③求甲、乙两小球到原点的距离相等时，乙小球在数轴上对应的数； ④若当甲和乙开始运动时，挡板也从原点以1个单位长度/秒的速度向右运动，直接写出在运动过程中，甲、乙两小球之间的距离在5个单位长度之内（包含5个单位长度）的时长． 【答案】(1)，4； (2)①3，1；②；③或5；④秒． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的实际应用，熟练掌握数轴上两点时间距离的表示方法，以及正确列出方程求解是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a和b的值； （2）①当时，甲小球的运动路程为1，乙小球的运动路程为3，即可求解；②当时，甲小球的运动路程为t，乙小球的运动路程为，此时甲小球表示的数为，乙小球表示的数为，即可求解；③乙小球碰到挡板前，得，乙小球碰到挡板后，得，分别求出两种情况下的时间，即可求解；④根据乙小球和挡板的运动速度，得出乙小球经过1秒碰到挡板，此时挡板在数轴上对应的是1．当甲、乙两小球都向左运动时，由题意得，当乙小球碰到挡板后，由题意得，求出两种情况下的时间，再相减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：，4； （2）解：①当时， 甲小球的运动路程为1，乙小球的运动路程为3， ， 即当时，甲小球到原点的距离为3，乙小球到原点的距离为1， 故答案为：3，1； ②当时， 甲小球的运动路程为t，乙小球的运动路程为， 此时甲小球表示的数为，乙小球表示的数为， ∴甲、乙两小球之间的距离为， 故答案为：； ③乙小球碰到挡板前，得， 解得， 此时乙小球对应的数为； 乙小球碰到挡板后，得， 解得， 此时乙小球对应的数为． 综上，甲、乙两小球到原点的距离相等时，乙小球对应的数为或5； ④（秒）， 即乙小球经过1秒碰到挡板，此时挡板在数轴上对应的是1． 当甲、乙两小球都向左运动时，由题意得， 解得； 当乙小球碰到挡板后，由题意得， 解得， ， 即甲、乙两小球之间的距离在5个单位长度之内（包含5个单位长度）的时长为秒． 4．如图，在数轴上，点表示数，点表示数满足． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示数为 ； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球乙从点处以每秒2个单位长度的速度也向右运动．若运动的时间为秒，试求：当为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 【答案】(1)，3 (2)15或 (3)当t为2或时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用分类讨论的方法解答． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）设C点表示的数为x，根据列出方程，解方程即可． （3）分小球从B到点O之前和从点O碰撞返回两种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：，3； （2）设点C表示的数为m， 当点C在A，B之间时，， ∵ ∴， ∴； 当点C在点B的左边时，， ∴， ∴， 综上所述C点在数轴上表示的数为15或． 故答案为：15或； （3）当小球从点B到达点O之前时， ， 解得； 当小球从点O碰撞之后返回时， ， 解得； 由上可得，t的值是2或． 题型六：数轴折叠问题 【经典例题6】．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足． (1) ， ， (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合； (3)若将数轴折叠，使得点A与点C之间的距离为2，则点B与数 表示的点重合； (4)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t，若将数轴折叠，点A、B、C三点中有一点在折痕上，并使得另外两点之间的距离为1；当点A与点B重合时停止，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)5 (3)6或7 (4)或1或或或或 【分析】对于（1），根据绝对值和完全平方公式的非负性，求出a，c，再根据有理数的分类判断b； 对于（2），先求出折痕处的数，再根据两点之间的距离得出答案； 对于（3），点A与点C的距离是2，有两种情况，当点C所对应的数与或重合，再求出折痕，然后根据两点之间的距离得出答案； 对于（4），分三种情况讨论：当以B为折痕，点A，C之间的距离为1，分两种情况计算；当以点C为折痕，点A，B之间的距离为1，分两种情况计算；当以点A为折痕，点B，C之间的距离为1，分两种情况计算，可得答案． 【详解】（1）∵，b是最大的负整数， ∴， 解得． 故答案为：； （2）∵将数轴折叠，点A，C重合， ∴折痕上的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是． 故答案为：5； （3）∵点A所对应的数是， ∴与点A距离是2的点所对应的数是或． 当数与12重合时，折痕处的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是． 当数与12重合时，折痕处的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是. 故答案为：6或7； （4）或1或或或或． 点A，B，C表示的数依次为． 当以点B在折痕上时， 根据题意可知或， 解得或1； 当点C在折痕上时，或， 解得或； 当点A在折痕上时，或， 解得或． 故答案为：或1或或或或． 【强化训练】 1．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足． (1) ； ； ． (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数   表示的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则，，各是多少．（用含t的代数式表示） 【答案】(1)，1，7 (2)4 (3)，， 【分析】（1）b是最小的正整数，最小的正整数是1，可得b的值，a、c满足，可得a、c的值； （2）A点与C点重合，A点到B点的距离＝C点到折叠后与B点重合的点的距离，可得点B与哪个数表示的点重合； （3）由题意得A、B、C运动的距离，原距离加上运动距离可求得、、． 【详解】（1）解：b是最小的正整数，即， ∵， ∴，，即， 故答案为：，1，7； （2）解：如图，∵A点与C点重合，而，， ∴点B与数4表示的点重合， ； （3）解：点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动， ∴A运动的距离为t，B运动的距离为，C运动的距离为， ∴， ， ． 2．如图，已知在纸面上有一数轴． 操作一： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题； ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求两点表示的数； （3）已知数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②A表示的数是，B表示是；（3）或 【分析】本题考查了数轴上点的特征、一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离等知识． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，中心点表示的数为1， ①1与5之间的距离和1与之间的距离相等，因此表示5的点与表示的点重合， ②1与A之间的距离和1与B之间的距离都等于，进而可求出点A、B表示的数． （3）根据相反数的和为0列出关于a的方程，解出a的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）①对折中心点表示的数为1，1与5之间的距离和1与之间的距离相等， 故答案为：； ②由题意，可知关于点1所在的直线重叠，A表示的数是，B表示 答：A表示的数是，B表示是． （3）根据题意可知：或， 解得或． 3．【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【答案】（1）3 （2） （3）；4.5； （4）1.5或9.5 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意， ，点 对应的数为 ，用代数式表示 ，列方程求解即可； ②根据动点从点向左出发，点对应的数为，由、两点之间的距离为8个单位长度，分两种情况：当点在点的右侧时，，当点在点的左侧时，，分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）数2对应的点与数对应的点重合， 对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：； （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， 设点对应的数为，点对应的数为， ， 解得：， 则， 点对应的数为，点对应的数为4.5， 故答案为：，4.5； （4）①根据题意，，点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②动点从点向左出发，点对应的数为， ∵、两点之间的距离为8个单位长度， ∴当点在点的右侧， 解得：； 当点在点的左侧， ， 解得：， 答：t值为1.5或9.5时，、两点之间的距离为8个单位长度． 4．学习数学要学会用运动的观点看问题： (1)平移： ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A．B．C．D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是____ ． (2)折叠： ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示_____，B点表示_____． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为______．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；②1012 (2)①；②，1013；③ 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数轴，熟练掌握折叠的性质和数轴的特征是解题的关键． （1）①利用正负数的意义和数轴的特征列出算式解答即可； ②利用正负数的意义和数轴的特征列出算式解答即可； （2）①利用折叠的性质得到折叠中间点表示的数为1，再利用数轴的特征解答即可； ②利用①中的方法解答即可； ③利用①的方法解答即可． 【详解】（1）解：①． 故答案为：D． ② ． 故答案为：1012； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合， ∴折叠中间点表示的数为， ∵， ∴． ∴若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示的点重合． 故答案为：； ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同）， ∴折叠中间点表示的数为1． ∵A、B两点经折叠后重合， ∴A点表示的数为：，B点表示的数为：． 则A点表示，B点表示1013． 故答案为：，1013； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为． 故答案为：． 题型七：异形数轴问题 【经典例题7】 【问题呈现】如图，数轴上的点A，B表示的数分别为和6，点A与点B之间的距离是线段AB(或BA)的长度．求线段AB的值； 【实验探究】当点O为原点时： 以点O为折点，将数轴向右折叠，点A的对应点落在数轴上，则______； 再以点B为折点，将数轴向左折叠，点的对应点落在数轴上，则______； 【变式应用】当点C在点A与点B之间时： 以点C为折点，将数轴向右折叠，点A的对应点落在点B的右边； 再以点B为折点，将数轴向左折叠，点的对应点落在数轴上．若，则点C表示的数为______． 【答案】问题呈现：；实验探究：；变式应用：0或 【分析】本题考查了数轴，折叠与对称 问题呈现∶根据A和B的表示的数即可求得； 实验探究：先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找与之重合的点表示的数； ③分两种情况：当点在之间；当点在的左侧，分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：问题呈现∶ ∵点A，B表示的数分别为和6， ∴； 实验探究： 表示的点与的点重合， 折痕处的点表示的数为O， ， 表示的点与表示的点重合， 即，； 故答案为：； 表示的点与的点重合， 折痕处的点表示的数为6， ， 表示的点与表示16的点重合，， 即； 故答案为：4． 变式应用： 设为，则， ∴， ∴， ∴C点表示的数为， ∴， 当点在BC之间 ∴， ∵， ∴， 解得 ∴点C表示的数为， 当点在C的左侧 ， ∴， 解得， ∴点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为0或． 故答案为：0或 【强化训练】 1．操作与探究 请借助数轴，解答下列问题： (1)平移 一机器人从原点开始，第次向左移动个单位，紧接着第次向右移动个单位，第次向左移动个单位，第次向右移动个单位，…，依此规律移动，当它移动完次时，落在数轴上的点表示的数是______；当它移动完次时，落在数轴上的点表示的数是______； (2)折叠 操作一  若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示的点重合，此时折痕点表示的数是______，表示的点与表示______的点重合； 操作二  若数轴上，两点经折叠后重合，两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），则点表示______，点表示______； 操作三  如图，一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点与点的距离为个单位长度，则点表示的数为______． 【答案】(1)， (2)操作一：，；操作二：；；操作三： 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，两点之间距离的计算，中点的计算方法， （1）根据题意，分别表示出第次的数，找出规律即可求解； （2）操作一：根据中点的计算方法即可求解；操作二：；操作三：根据点与点的位置与距离可得点表示的数为，根据折叠后，中点的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：从原点开始，第次向左移动个单位，表示的数为， 第次向右移动个单位，表示的数为， 第次向左移动 个单位，， 第次向右移动个单位， ∴第次时，落在数轴上的点表示的数是， ∴奇数次向左，偶数次向右， ∴它跳完第次时，表示的数为，它跳完次时，表示的数为， ∴第次时，是向右跳了次，即， ∴， 故答案为：； （2）解：操作一：表示的点与表示的点重合，此时折痕点表示的数是， ∴， 故答案为：； 操作二：由上述折叠可得，折点表示的数为，且，两点之间的距离为， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：； 操作三：点表示的数为，点表示的数为， ∵向右对折，若点对应的点落在点 的右边，并且点与点的距离为个单位长度， ∴点表示的数是， ∴折点为， ∴点表示的数为， 故答案为：． 2．如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且． (1)填空： ， ； (2)如图②所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距10个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子鼠从对应的点E沿数轴向右运动，当电子鼠遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回……设机器猫每秒运动4个单位长度，电子鼠每秒运动3个单位长度，当机器猫与电子鼠同时运动到点E处停止运动，求电子鼠运动的路程． 【答案】(1)，20 (2)10或30 (3)60或30 【分析】（1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）根据对称性确定点表示的数，根据点E与点A之间相距10个单位长度，得到点表示的数，再根据对称性，得到点表示的数即可； （3）分两种情况，结合路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：，20； （2）∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合， ∴点表示的数为：， ∵点E与点A之间相距10个单位长度， ∴点表示的数为：或， ∴点表示的数为：或； 故答案为：10或30； （3）①当点表示的数为，点表示的数为时，则：， 由题意，得：机器猫到达点所用的时间为：秒， 在这10秒内，电子鼠一直在运动， ∴电子鼠运动的路程为：个单位长度； ②当当点表示的数为，点表示的数为时，则：， 由题意，得：机器猫到达点所用的时间为：秒， 在这20秒内，电子鼠一直在运动， ∴电子鼠运动的路程为：个单位长度； 综上：电子鼠运动的路程为60或30． 3．如图，将等边放在数轴上，点B与数轴上表示的点重合，点C与数轴上表示2的点重合，将数轴上C点右侧的数轴沿进行折叠、经过折叠后， (1)点A、点B分别与坐标轴上表示哪个数的点重合？ (2)若点D为的中点，点E表示折叠数轴上，记为数轴拉直后点E到点A的距离，即，其中代表线段长度.若动点P从点D出发，沿方向运动，动点Q从点E出发，沿方向运动，当动点Q运动到点C时，P、Q同时停止运动.已知动点P在DC上运动速度为1单位/秒，在上运动速度为2单位/秒；动点Q的运动速度为1单位/秒，设运动时间为t（秒）. ①当t为何值时，动点P、Q表示同一个数. ②当t为何值时，. 【答案】(1)点A、点B分别与正半轴上表示的数和表示的数重合 (2)①；②t的值为3或或或 【分析】（1）证明，可得结论； （2）①当相遇时，表示同一个数．由此构建方程求解即可； ②分三种情形分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点B表示，点C不是2， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴将数轴上表示2以后的正半轴沿进行折叠． 经过折叠后，点A、点B分别与正半轴上表示的数和表示的数重合； （2）①当相遇时，表示同一个数．则有， 解得， ∴时，P，Q表示同一个数． ②当时，， ， ∵， ∴， 解得或5（舍）． 当时，， ， ∵ ， ∴， 解得（舍去）或． 当时．， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴时，Q才停止运动， ∴或符合题意， 综上所述，满足条件的t的值为3或或或． 4．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． (1)动点P从点A运动至点C需要 　　秒，动点Q从点C运动至点A需要 　　秒； (2)P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； (3)是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)19，23 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据题意可得，动点P从点A运动至点C需要的时间是：，动点Q从点C运动至点A需要的时间是：； （2）根据题意可知，P点运动到上时表示的数是，Q点运动到OB上时表示的数是，得到，求出t的值，再求M点表示的数即可； （3）分7种情况讨论，分别列方程求解即可． 本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上点与数轴的对应关系，弄清“友好距离”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点A表示，点B表示10，点C表示18， ∴， ∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：， 动点Q从点C运动至点A需要的时间是：， 故答案为：19，23； （2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇， P点运动到上时表示的数是，Q点运动到OB上时表示的数是， ∴， 解得， ∴M点表示的数是； （3）存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下： ∵点A表示，点B表示10， ∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是， ①当时，P点在上，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得； ②当时，P点在上，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得（舍）； ③当时，点P、Q都在上，此时， ∴此情况不符合题意； ④当时，P点在上，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 有题意得， 解得（舍）； ⑤时，P点在上，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得； ⑥时，P点在C的右侧，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得（舍）； ⑦时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，，不符合题意； 综上所述：t的值为或． 题型八：数轴新定义问题 【经典例题8】． 【阅读理解】 定义：点A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是有序点对的乐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1，则点C到点A的距离，点C到点B的距离，那么点C是有序点对的乐点；但点C不是有序点对的乐点． 【知识运用】 (1)判断，如图1，点D_____有序点对的乐点，点D_____有序点对的乐点（两空均填“是”或“不是”）； (2)如图2，x、y为数轴上两点，点x所表示的数为，点y所表示的数为6．数轴上的点S在线段上，点S所表示的数是多少时的点是有序点对的乐点； (3)如图3，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为25，点F所表示的数为55．有一只电子蚂蚁P从表示的点出发，以5个单位每秒的速度向右运动，设运动时间为t秒； ①当点P在点E左边时，用含t的代数式表示点P和点E的距离 ，点P和点F的距离 ． ②当t为何值时，P是E、F两点所组成的有序点对的乐点？ 【答案】(1)是；不是 (2)S表示的数是3 (3)①，；②当t为1秒、9秒、11秒和19秒时，P是E、F两点的乐点 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，解一元一次方程，列代数式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）求出，根据定义即可判断； （2）设表示的数是，则，由定义建立方程，求解即可； （3）分类讨论，点在点的左侧，点在点之间，点在点右侧，分别表示出建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，， ∴点D是有序点对的乐点，点D不是有序点对的乐点， 故答案为：是，不是； （2）解：设表示的数是，， 由题意得，， 解得：， ∴点表示的数是3时符合题意； （3）解：①∵一开始蚂蚁在的位置时，， ∴当运动时间为秒时，， 故答案为：；； ②当点在点左侧时， 由题意得， 由①知， ∴， 解得， 当点在点和点之间时，，点与一开始的距离为 则设此时的，则， 由题意得或 ∴或 解得或， ∴或， 当点在点右侧时， 此时， 设此时的，则， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当t为1秒、9秒、11秒和19秒时，P是E、F两点的乐点． 【强化训练】 1．定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)1.5，2.25，3，，9，13.5 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，，9，13.5． 2．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”． 解答下列问题： (1)若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为______； (2)若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为______； (3)点表示的数为，点，表示的数分别是，，点为数轴原点，点为线段上一点． ①设点表示的数为，若点可以为点与点的“平衡点”，则的取值范围是______； ②当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为秒，求的取值范围，使得点可以为点与点的“平衡点”． 【答案】(1) (2)5 (3)①②且 【分析】本题考查了有理数与数轴，掌握数轴上点的表示方法，一元一次方程的应用以及两点的中点表示方法是解题的关键． （1）根据平衡点的定义进行解答即可； （2）根据平衡点的定义进行解答即可； （3）①先得出点B的范围，再得出m的取值范围即可； ②根据点A和点C移动的距离，求得点A、C表示的数，再由平衡点的定义得出答案即可． 【详解】（1）解：点M表示的数； 故答案为：； （2）点B表示的数； 故答案为：5； （3）①设点B表示的数为b，则， ∵点A表示的数为，点M可以为点A与点B的“平衡点”， ∴m的取值范围为：， 故答案为：； ②由题意得：点A表示的数为，点C表示的数为， ∵点O为点A与点B的平衡点， ∴点B表示的数为：， ∵点B在线段上， 当点B与点C相遇时，， 当点B与点D相遇时，， ∴，且， 综上所述，当且时，点O可以为点A与点B的“平衡点”． 3．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数0，点B表示的数3，数0，1，4，6所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“关联点”的是________； (2)点M表示数，点N表示数9，点P从点N出发在数轴上以3个单位每秒的速度运动． ①若点P从点N向右侧运动，当点P是点M，N的“关联点”时，点P的运动时间为________秒； ②若点P从点N向左侧运动，当点P，M，N中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”时，求出此时点P的运动时间． 【答案】(1)，； (2)①4；②t为，， ，6，2，8． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴两点之间的距离，设运动时间为t，根据题意建立方程进行求解即可，注意分类讨论，难度较大． （1）根据题意由两个点的“关联点”的定义，求得与的关系，即可得到答案； ①由题意设点P运动的时间为t，根据点P是点M，N的“关联点”，表示出，，列出关于t的方程解答即可； ②分情况讨论：分当P为M、N关联点、M为P、N关联点、N为M、P关联点、三种可能列方程解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，则不是点A，B的“关联点”， ∵，， ∴，则是点A，B的“关联点”， ∵，， ∴，则不是点A，B的“关联点”， ∵，， ∴，则是点A，B的“关联点”， 故答案是：， （2）解：设P点在数轴上运动的时间为t． ①∵点P从点N向右侧运动，点P是点M，N的“关联点”，则： ，， 当时，； 当时，（舍去）； 故答案为：4 ②∵点P从点N向左侧运动，分情况讨论： （Ⅰ）当点P是点M，N的“关联点”时，，， ∴当时，即时，； 当时，即，； （Ⅱ）当点M是点P，N的“关联点”时，，， ∴当时，即时，； 当时，即，； （Ⅲ）当点N是点P，M的“关联点”时，，， ∴当时，即时，； 当时，即，； 综上所述：t可以取值∶，，，6，2，8． 4．【阅读理解】 定义：在一条数轴上的三个点之间若满足以下关系，其中一点分别与另外两点组成的线段恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“双倍和谐点”．如图1，点P、Q、R在数轴上，若点Q是线段的中点，则有，所以我们称点P是点Q与点 R的“双倍和谐点”． 【迁移运用】 (1)如图1， 点R 点Q与点P的“双倍和谐点”；点Q 点P 与点R 的“双倍和谐点”（两空皆选填“是”或“不是”） ； (2)如图2，点O是数轴的原点，点A所表示的数为，点B所表示的数为．点C从A点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动，运动时间为t秒． ①当点A是点B与点C的“双倍和谐点”时，求t的值； ②若在点C运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，且线段的中点M 也随一起运动．点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动．当点C位于点M右侧且点M是点C与点N的“双倍和谐点”时，求点C此时所代表的数． 【答案】(1)是，不是 (2)①或3；②点C此时所代表的数为7或0.4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题及新定义问题，理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键．数轴上的动点问题，要根据定点的位置判断动点表示的数，结合新定义问题得到相等关系．要注意数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值或者数轴上右边的数减左边的数． （1）点R是否是点Q与点P的“双倍和谐点”；要看和是否满足2倍的数量关系；点Q是否是点P与点R的“双倍和谐点”，要看和是否满足2倍的数量关系； （2）用t表示出点C代表的数，点C从点出发，向右移动，每秒4个单位，t秒后表示的是应该是． ①当点C在线段上时，；当点C在的延长线上时，，解答即可； ②点M未移动时表示的数为，移动后表示的数为，点N移动后表示的数为t，点C移动后表示的数是，那么．点C位于点M右侧，．根据点M是点C与点N的“双倍和谐点”判断或者解答即可． 【详解】（1）∵点Q是线段的中点， ∴． ∴点R是点Q与点P的“双倍和谐点”． ∵与相等，不满足2倍的数量关系， ∴点Q不是点P与点R的“双倍和谐点”． 故答案为：是，不是． （2）由题意得：点C表示的数是． ①Ⅰ当点C在线段上时， ． ， ， ． Ⅱ当点C在线段的延长线时， ． ． ， ． 答：或3． ②由题意得：点M移动后表示的数为，点N移动后表示的数为t，点C表示的数是． ∴． ∵点C位于点M右侧， ∴． Ⅰ、． ． 时， ， ． 方程无解，舍去． 时， ， ． Ⅱ、． ， 时， ， ， ． 时间为负数，不合题意，舍去． 时， ， ． 当时，；当时，． 答：当点C位于点M右侧且点M是点C与点N的“双倍和谐点”时，点C此时所代表的数为7或0.4． 题型九：木棒滑动问题 【经典例题9】．如图，数轴上摆放着两根木棒m、n，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知，，．若木棒m、n分别以4个单位长度和3个单位长度的速度同时沿x轴正方向移动，设平移时间为． (1)求b和c的值； (2)平移过程中，原点O恰好是木棒m的中点时，求t的值； (3)平移过程中，木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值； (4)直接写出木棒m，n重叠部分的长为4个单位长度时的时长． 【答案】(1)，3； (2)； (3)6或11； (4)． 【分析】此题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解数量关系，掌握非负数性质，解一元一次方程的方法，是解决此题关键． （1）根据非负数的性质可得答案； （2）根据中点的定义及距离可得答案； （3）分两种情况：点B在点C右侧，时；点D在点A右侧，时，分别得到答案即可． （4）求出当点A与点C重合后，点B与点D重合所需的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）m的中点表示的数为． ； （3）平移后，点A、B、C、D表示的数分别为 ①点B在点C右侧，时， 得 解得，； ②点D在点A右侧，时， 得， 解得，； 综上所述，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，t的值为6或11． （4），，， ， 当点A与点C重合时，， 所以木棒m，n重叠部分的长为4个单位长度时，所需时间为点B与点D重合所需的时间，即． 【强化训练】 1．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解； 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是65岁． 2．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点A重合，点N与点重合，点在点Q的左边，点在点的左边，且，，木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)当时，若线段和线段的长度之和为12，求对应的值； (3)点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说理由． 【答案】(1)； (2)当或时，线段和线段的长度之和为12 (3)存在；定值为8；持续总时长为秒 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）当时，得出，，，，根据，得出，求出结果即可； （3）分时和两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：点表示的数为； 点表示的数为； 故答案为：；． （2）解：当时，，，，， ， ， ， ， 即， 解得：，； 当或时，线段和线段的长度之和为12． （3）解：定值为8；持续总时长为秒，求解过程如下： 当在上运动时，点到点、、、的距离之和为一个定值，且点到点、、、的距离之和为：； ①当时，，，，， ， ， ， ， ， ∴持续时长2秒； ②当时，，，，， ， ， ， ，    ∴持续时长为（秒）， （秒）， ∴持续的总时长为秒． 3．数形结合思想是初中数学非常重要的思想方法，阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为______； (2)图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，东东去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！” 请你画出示意图，并求出奶奶和东东的现在的年龄． 【答案】(1)8 (2)14，22 (3)东东现在15岁，奶奶现在67岁 【分析】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与东东的年龄差，进而求出奶奶的年龄． （1）根据图象可知3倍的长为，这样长就可以求出来了． （2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值． （3）运用上边的模型把奶奶与东东的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根木棒长为， 则这根木棒的长为； （2）解：， ． 则图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22； （3）解：如图： 当奶奶像动工这样大时，东东为岁， 奶奶与妙妙的年龄差为：（岁）， 东东现在的年龄为（岁）；奶奶现在的年龄为（岁）． 4．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案； （2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可； （3）分情况进行讨论列式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 点表示的数为，点表示的数为， 线段的长为， 故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①当点在中间，，， ， ， 解得； ②当点在点左边，，， ， ， 解得； ③当点在点右边，不符合题意； 故答案为：或． （3）解：①当点位于木棒左侧时，， 解得， ②当点位于木棒左侧时，， 解得， 当点到达点时，木棒与点同时停止移动， ， 故舍去， 故点移动的时间为秒． 题型十：正方形运动问题 【经典例题10】．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①点表示的数为或2；② 【分析】（1）利用正方形的面积为16，可得长，再根据，进而可得点表示的数； （2）①先根据正方形的面积为16，可得边长为4，当时，分两种情况：正方形向左平移，正方形向右平移，分别求出数轴上点表示的数； ②当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，再根据点，所表示的数互为相反数，列出方程即可求得的值． 【详解】（1）解：正方形的面积为16， ， 点表示的数为， ， ， 数轴上点表示的数为， 故答案为：． （2）解：①正方形的面积为16， 边长为4， 当时，分两种情况： 若正方形向左平移，如图1， ， ， 点表示的数为； 若正方形向右平移，如图2， ， ， 点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或2； ②的值为4．理由如下： 当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意； 当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，如图3， ，点表示， 点表示的数为， ，点表示， 点表示的数为， 点，所表示的数互为相反数， ， 解得． 【强化训练】 1．如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 【答案】(1)，8 (2)或 (3)，，或6 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，弄清点运动的方向、速度和时间是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点到达点前和返回后，点在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：，． 表示的数是，表示的数是8， ， 点、、是线段的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若，相遇前，则有，， 解得，； 若，相遇后，则有， 解得，， 综上，线段时，或， （3）解：点从到运动时间为（秒， 点从点运动到点所需时间为：（秒，从点到点所需时间为（秒， 则点第二次到达点所需时间为（秒， 故点运动总时间为（秒， ①当点向运动时，点在左侧时，则有． 解得，； ②当点向运动时，点在右侧时，则有， 解得，； ③当点从向运动时，点在右侧时，则有， 解得，， ④当点从向运动时，点在左侧时，则有， 解得，， 综上，线段时的值为，，或6． 2．如图（1）已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，从点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)点在数轴上表示的数为______，点在数轴上表示的数为______（用含的代数式表示）； (2)如图（2）数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为? 【答案】(1)；或 (2)，， 【分析】本题考查一元一次方程与几何的运用，整式、数轴上动点等知识，解题的关键是掌握整式的加减，根据动点运动轨迹，进行运算，即可． （1）根据题意，则点在数轴上表示的数为：，点表示的数为：，即可； （2）根据点、运动轨迹，分类讨论：点还没有折返；点折返后；根据重叠的面积为，，则重叠的一边边长为，进行计算，即可． 【详解】（1）∵动点从点原点出发，以每秒个单元长度的速度运动，设运动的时间为秒， ∴点 表示的数为：； ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回 ∴， ∴， 故答案为：；或． （2）由（1）得，，，， 当点还没有折返时，存在两种情况， ：如下图： ∵两个正方形的重叠部分面积为，且，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ：如下图： ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 点折返后，存在两种情况， ：如下图：，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：； ：如下图：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）； 综上所述，当，，时，两个正方形的重叠部分面积为． 3．如图1，正方形的边在数轴上，为原点，正方形的面积为16． (1)数轴上点表示的数为 ． (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为， ①移动后的正方形与原正方形重叠部分（如图1中阴影部分）的面积记为，当恰好等于原正方形面积的时，数轴上点表示的数为 ． ②若正方形沿数轴水平移动的速度为每秒3个单位长度，运动时间为秒；动点从点开始沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，点在点和点之间，且．当时，求正方形运动时间的值． 【答案】(1)4 (2)①7或1；②当时，或或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）求出正方形的边长即可求解； （2）①分正方形沿数轴水平向右移动和正方形沿数轴水平向左移动两种情况求解即可； ②分正方形沿数轴水平向右移动和正方形沿数轴水平向左移动两种情况求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积为16， ∴正方形的边长为4， ∴， ∴数轴上点表示的数为4． 故答案为：4； （2）①当正方形沿数轴水平向右移动时， ∵恰好等于原正方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 点表示的数为7； 当正方形沿数轴水平向左移动时， ∵恰好等于原正方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为1． 故答案为：7或1； ②（i）当正方形沿数轴水平向右移动时， 点表示的数：， ， 点表示的数：． 点从点开始沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度 点表示的数：． 若点运动到原点左侧时，显然有不满足，舍去． ． 而点从：4向左运动，点从：0向右运动，会出现点在点的右侧（相遇前）和左侧（相遇后）这两种情况． （Ⅰ）当点在点的右侧时，   ， ， ． （Ⅱ）当点在点的左侧时，    （ii）当正方形沿数轴向左移动时 点表示的数：， ， ， 点表示的数：． 点从点开始沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度 点表示的数： 若点在原点右侧时，显然有不满足 ． 而点从：4向左以每秒2单位长度运动，点从：0向左以每秒1单位长度运动，这是追及问题，会出现点在点的右侧（相遇前）和左侧（相遇后）这两种情况．    （Ⅰ）当点D在点E的右侧时，    ． （Ⅱ）当点在点的左侧时，    矛盾 即此时无解． 综上所述，当时，或或． 4．如图，点M，N在数轴上分别位于原点O的左右两边，点M表示的数是a，点N表示的数是b，且a，b满足．点A、B、C是线段的四等分点，分别以线段为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出a，b的值：a＝ ，b＝ ； (2)如图1，若动点P从点M出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点P到达点G时P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t，求线段时t的值； (3)如图2，若动点P从点M出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点P到达点O时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点P到达点O的同时动点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点Q首次到达点C后立即以每秒3个单位长度的速度在点C和点O之间往返运动，过动点Q作直线l垂直，在运动过程中，直线l与线段的交点为H．当点P第二次到达点D时P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t，直接写出线段时t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)，，或6 【分析】（1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点Q到达O点前和返回后，点P在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1），且， ， ， 故答案为：，； （2） 表示的数是，表示的数是8， ， ∵点A、B、C是线段ON的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若相遇前，则有， ， 解得，； 若若相遇后，则有 ， 解得，， 综上，线段时，或， （3）点Q从C到O运动时间为（秒）， 点P从点M运动到点G所需时间为：（秒），从点G到点D所需时间为（秒）， 则点P第二次到达点D所需时间为（秒）， 故点Q运动总时间为(秒)， ①当点Q向O运动时，点P在左侧时，则有 解得，； ②当点Q向O运动时，点P在右侧时，则有 ， 解得，； ③当点Q 从O向C运动时，点P在右侧时，则有 ， 解得，， ④当点Q 从O向C运动时，点P在左侧时，则有 ， 解得，， 综上，线段PH＝2时t的值为，，或6． 题型十一：长方形运动问题 【经典例题11】．如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 【答案】(1)， (2)或； (3)长方形的运动的时间为秒或秒． 【分析】本题是数轴动点问题，考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，有理数的运算等知识，有一定的难度，注意数形结合． （1）由数轴上两点间距离即可求得两点对应的有理数； （2）首先可求得两点对应的数，分两种情况：当两点相遇时，由相遇问题知识即可解决；当两点分别在原点O的两侧时，则这两个数互为相反数，其和为0，可求得t的值； （3）分两种情况：或时，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则， 所以点A表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：因，，则点M、N对应的数为、， 由题意知，它们运动秒后M、N点对应的数分别为：、， 由题意得， 解得或； （3）解：设长方形运动的时间为秒， 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后D、E点对应的数分别为：、， ∵，解得； 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后A、H点对应的数分别为：、， ∵，解得； 综上，长方形的运动的时间为秒或秒． 【强化训练】 1．如图，正方形边，长方形边在数轴上，其中正方形边长是3，长方形长是4，宽是2．在数轴上B表示的数为，O表示的数是0，现将正方形向右移动a个单位长度． (1)移动前点A表示的数是______； (2)在移动的过程中，点A与点O重合时，a的值是______，点B与点P重合时，a的值是______； (3)当正方形和长方形有重叠部分时，设重叠部分面积为S． ①当点A与点O的距离为2个单位长度时，请在备用图中画出此时的正方形，并直接写出重叠部分面积S的值； ②当重量部分面积时，请直接写出此时点A表示的数． 【答案】(1) (2)6，7 (3)①图见解析；面积为2或4②或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，求出点表示的数即可； （2）求出的长即可； （3）①分点在点O的左侧和右侧，两种情况，画出图形，利用长方形的面积公式求解即可； ②根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为3， ∴， ∴点表示的数为：； 故答案为：； （2）由题意，得，，， ∴， ∴当与重合时，，与重合时，； 故答案为：6，7； （3）①当点在点左侧时，如图： 此时重叠的面积为：； 当点在点右侧时，如图： 此时重叠的面积为：； ②设点表示的数为，当点在点左侧时，， 由题意，得：，解得：； 当点在点右侧时，， 由题意，得：，解得：； 综上：点表示的数为或． 2．两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是______． (2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t． ①在整个运动过程中，S的最大值是______，持续时间是______秒； ②当S是长方形面积一半时，求点B在数轴上表示的数． 【答案】(1)24 (2)点P在数轴上表示的数是 (3)①16，；②当S是长方形面积一半时，B为或4 【分析】本题主要考查了数轴，数形结合，数轴上两点的距离的应用，动点问题，一元一次方程的应用，第（3）题关键是正确列出方程，并注意分类讨论． （1）根据已知条件得出，，由长方形面积公式计算得出结果即可； （2）根据已知条件根据数轴上两点的距离表示和的长，根据列方程可得x的值； （3）①当长方形的边在上时，S最大，同时计算E与A重合时的时间，F与B重合时的时间，两个时间差可得结论；②本题求解时应根据当A在E、F之间，，或点B在E、F之间，根据S是长方形ABCD面积一半列方程可得结论． 【详解】（1）解：由图形可得：，， 两个完全相同的长方形、， ， 长方形的面积是； 故答案为：24； （2）设点P在数轴上表示的数是x， 则，， 因为， 所以， 解得， 答：点P在数轴上表示的数是； （3）①整个运动过程中，S的最大值是， 当点B与F重合时，，解得：， 当点A与E重合时，，解得：， ， 整个运动过程中，S的最大值是16，持续时间是秒； ②由题意知移动t秒后， 情况一：当点B在E、F之间时，时，重叠部分的面积为12， 此时， 解得，此时B在处． 情况二：当点A在E、F之间时，时，重叠部分的面积为12， 此时， 解得，此时B在处， 综上所述，当S是长方形ABCD面积一半时，B为或4． 3．如图，将两个形状完全相同的长方形，放置在数轴上，它们的长为2，宽为1，C与表示的点重合，F与表示3的点重合，长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t． (1)当时，点C表示的数为______，点F表示的数为______． (2)当点C和点F重合时，求t的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分． ①请求出有重叠部分时持续的时间． ②若C和点F重合后两长方形开始改变运动速度，长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴继续向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度继续沿数轴向左运动．当重叠部分周长是长方形周长的一半时，请直接写出此时点C所表示的数为______． 【答案】(1)，1 (2)的值为3 (3)①有重叠部分时持续的时间为1秒；或 【分析】本题考查数轴上点的运动，一元一次方程的应用，解题关键是表示出运动后点表示的数． （1）当时，根据路程速度时间及数轴上两点之间的距离即可求解； （2）根据题意，可得点表示的数为，点表示的数为，再由点和点重合，建立方程求解即可得出答案； （3）①分别求得点与点重合、点与点重合所需时间，求出两个时间差即可； ②分两种情况：当点落在线段上时，当点落在线段上时，分别画出图形，根据题意建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，1； （2）由题意得：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ∵点和点重合， ∴， 解得：， ∴的值为3； （3）①由题意得：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 当点与点重合时：， 解得：， 由（2）知：时，点与点重合， ∵（秒）， ∴有重叠部分时持续的时间为1秒； ②当点落在线段上时，如图， ∵重叠部分长方形的周长是长方形的周长的一半， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴点所表示的数为； 当点落在线段上时，如图， ∵重叠部分长方形的周长是长方形的周长的一半， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴点所表示的数为； 综上所述，点所表示的数为或； 故答案为：或． 4．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 题型十二：圆形滚动问题 【经典例题12】．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． (1)若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； (2)若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：．第几次滚动后，小圆离原点最远？ (3)若两圆同时在数轴上各自沿着同一方向连续滚动，设滚动时间为秒．是否存一个值，滚动后两圆与数轴重合的点之间相距？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)第6次滚动后，大圆离原点最远； (3)存在，的值为3秒或9秒 【分析】（1）求出大圆的周长即可； （2）分别计算出每次滚动后，小圆离原点的距离，再比较作答即可； （3）分4种情况讨论：①当两圆同时向右滚动时；②当两圆同时向左滚动时，同理求出t的值即可；③当大圆向左滚动，小圆向右滚动时；④当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，根据滚动后两圆与数轴重合的点之间相距，可分别列出关于t的等式，解出t的值即可； 【详解】（1）解：， 故该圆与数轴重合的点所表示的数是． 故答案为：； （2）①第1次滚动后，， 第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，小圆离原点最远； （3）存在时间，使滚动后两圆与数轴重合的点之间相距． 分两种情况讨论：①当两圆同时向右滚动时， 由题意得：秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：，小圆与数轴重合的点所表示的数为：，则， 解得：； ②当两圆同时向左滚动时， 由题意得：秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：，小圆与数轴重合的点所表示的数：，则， 解得：； ③当大圆向左滚动，小圆向右滚动时， 由题意得：秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：，小圆与数轴重合的点所表示的数：，则， 解得：； ④当大圆向右滚动，小圆向左滚动时， 由题意得：秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：，小圆与数轴重合的点所表示的数：，则， 解得：． 综上可知，的值为3或9． 【强化训练】 1．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． (1)若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； (2)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：． ①第几次滚动后，大圆离原点最远？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留） ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？（结果保留） (3)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 【答案】(1) (2)①第六次，② (3)见解析 【分析】（1）求出大圆的周长，根据左移减，求解即可； （2）①确定截至每次滚动后，运动时间记录数总和的绝对值，从而确定与原点距离的大小，求出此时大圆与原点的距离即为两圆与数轴重合的点之间的距离；②确定实际运用的总时间，计算运动总距离即可； （3）分两圆同时向右滚动，同时向左滚动，大圆向右滚动，小圆向左滚动，以及大圆向左滚动，小圆向右滚动，四种情况，讨论求解即可. 【详解】（1）解：若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是， 故答案为：； （2）①第1次滚动后，， 第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，大圆离原点最远； 此时两圆与数轴重合的点之间的距离为； ②， ； ∴当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有； （3）设时间为t秒，分四种情况讨论： i）当两圆同向右滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数为：， ， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． ii）当两圆同向左滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数：， ， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时， 同理得：， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时， 同理得：， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． 2．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． (1)若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； (2)若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：，，，，，；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π） (3)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 【答案】(1) (2)当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有 (3)①当两圆同向右滚动：，；②当两圆同向左滚动：，；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时：、；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时：、； 【分析】（1）根据滚动一周长度为圆的周长求解即可得到答案； （2）根据路程是绝对值之和求解即可得到答案； （3）分同左，同右，一左一右四种情况讨论，结合重合的点之间相距列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：， ， 答：当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有； （3）解：设时间为t秒， 分四种情况讨论： ①当两圆同向右滚动： 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数为：， ， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、 ②当两圆同向左滚动： 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数：， ， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、 ③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时： 同理得：， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、， ④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时： 同理得：， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、； 综上所述：①当两圆同向右滚动：，；②当两圆同向左滚动：，；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时：、；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时：、． 3．（1）【操作感知】如图①，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时折痕与数轴交点表示的数为 ． （2）【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕与数轴交点表示的数为 （用含，的代数式表示）． （3）【问题解决】若，，为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，如果，，三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数； （4）如图②，若是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动周，点落在数轴上的点处．将此长方形透明纸沿，剪开，将点，之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，求最右端折痕与数轴交点表示的数． 【答案】（1）1；（2）；（3）点表示的数为或或；（4）最右端的折痕与数轴的交点表示的数为 【分析】（1）是周长为，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，由此可确定表示的数是，将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，由此可确定表示的数是，点与点重合，由此即可求解； （2）由（1）的结论可知，数的点与表示数的点重合，即可求解； （3）点表示的数为，点表示的数为，如果，，三点中的一点到其余两点的距离相等，分类讨论，①当到、距离相等；②当到、距离相等；③当到、距离相等，由此即可求解； （4）是周长为，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处，则表示的数是；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动周，点落在数轴上的点处，则表示的是．将点，之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折次后是，由此即可求解． 【详解】解：（1）【操作感知】由题意可知，表示的数是，表示的数是， ∵折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合， ∴与点关于折痕对称，即中点为折痕与数轴的交点， 而中点表示的数为， 故答案为：； （2）【建立模型】∵关于折痕对称， ∴的中点即是折痕与数轴交点， 而MN的中点表示的数是， ∴折痕与数轴交点表示的数为， 故答案为：； （3）【问题解决】设点表示的数是， 当到、距离相等，即是中点时，， 当到、距离相等，即是中点时，，解得， 当到、距离相等，即是中点时，，解得， 综上所述，点E表示的数为或或； （4）由已知得表示的数是，表示的是， ∴、间的距离为， 而对折次后，每两条相邻折痕间的距离相等，这个距离是， ∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数为． 4．【操作感知】如图1，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为 　 　． 【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点C与表示数b的点D重合，则折痕与数轴交点表示的数为 　 　（用含a，b的代数式表示）． 【问题解决】如图2，点P表示的数为﹣10，点Q表示的数为20，如果点M从点P的位置出发，以每秒2个单位的速度向点Q运动，当点M到达点Q时停止运动，设运动时间为t秒(t>0) ． （1）若点M到P，Q两点中一点的距离为到另一点距离的两倍，求t值． （2）若点M从点P出发，同时点N从点Q开始运动，以每秒1个单位的速度向点P运动，并与点M同时停止，请求出当点M，N，P中其中一点到另外两点距离相等时t的值． 【答案】操作感知：1；建立模型：；问题解决：（1）t的值为5或10；（2）当点M，N，P中其中一点到另外两点距离相等时t的值为6或10或15． 【分析】操作感知：由已知得出表示的数，再求出中点即可得出答案； 建立模型：求出中点表示的数即可得到答案； 问题解决：（1）分两种情况进行计算：①；②； （2）分三种情况列出方程计算即可得到答案． 【详解】解：操作感知 由已知的表示的数为， 表示的数为， ∵折叠长方形透明纸，是数轴上的点与重合， ∴和关于折痕对称，即中点为折痕与数轴的交点， 而中点表示的数为， 故答案为：； 建立模型 ∵关于折痕对称， ∴的中点即是折痕与数轴交点， 而中点表示的数为， ∴折痕与数轴交点表示的数为， 故答案为：； 问题解决 （1）根据题意： 表示的数为：， 则，， ①当时， ，解得：； ②当时， ，解得：； 综上：t的值为5或10； （2）根据题意点表示的数为：， ①当点在中点时，有， 则，解得：； ②当点在中点时，有， 则，解得：； ③当点重合时，有， 则，解得：； 综上：t的值为6或10或15． 学科网··★数学梦工厂出品·，第2页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$