2022年陕西省中考数学试卷(a卷)

2022年陕西省中考数学试卷和答案（A卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）﹣37的相反数是（　　） A．﹣37 B．37 C． D． 2．（3分）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　） A．120° B．122° C．132° D．148° 3．（3分）计算：2x•（﹣3x2y3）＝（　　） A．6x3y3 B．﹣6x2y3 C．﹣6x3y3 D．18x3y3 4．（3分）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD 5．（3分）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　） A．3 B．3 C．3 D．6 6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（　　） A．44° B．45° C．54° D．67° 8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）计算：3﹣＝　 　． 10．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a　 　﹣b．（填“＞”“＝”或“＜”） 11．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 　 　米． 12．（3分）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　 　． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　 　． 三、答案题（共13小题，计81分．答案应写出过程） 14．（5分）计算：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0． 15．（5分）解不等式组：． 16．（5分）化简：（+1）÷． 17．（5分）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角． 请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC． 19．（5分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'． （1）点A、A'之间的距离是 　 　； （2）请在图中画出△A'B'C'． 20．（5分）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． （1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 　 　； （2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率． 21．（6分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 22．（7分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 … 输出y … ﹣6 ﹣2 2 6 16 … 根据以上信息，答案下列问题： （1）当输入的x值为1时，输出的y值为 　 　； （2）求k，b的值； （3）当输出的y值为0时，求输入的x值． 23．（7分）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表： 组别 “劳动时间”t/分钟 频数 组内学生的平均“劳动时间”/分钟 A t＜60 8 50 B 60≤t＜90 16 75 C 90≤t＜120 40 105 D t≥120 36 150 根据上述信息，答案下列问题： （1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 　 　组； （2）求这100名学生的平均“劳动时间”； （3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P． （1）求证：∠CAB＝∠APB； （2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长． 25．（8分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m． （1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式； （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标． 26．（10分）问题提出 （1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　 　． 问题探究 （2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积． 问题解决 （3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD； ②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E； ③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP． 请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论． 答案 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．【知识点】相反数． 【答案】解：﹣37的相反数是﹣（﹣37）＝37， 故选：B． 2．【知识点】平行线的性质． 【答案】解：∵AB∥CD，∠1＝58°， ∴∠C＝∠1＝58°， ∵BC∥EF， ∴∠CGF＝∠C＝58°， ∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°， 故选：B． 3．【知识点】单项式乘单项式． 【答案】解：原式＝2×（﹣3）x1+2y3＝﹣6x3y3． 故选：C． 4．【知识点】矩形的判定；平行四边形的性质． 【答案】解：A、▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵▱ABCD中，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵▱ABCD中，AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵▱ABCD中，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 5．【知识点】解直角三角形． 【答案】解：∵2CD＝6， ∴CD＝3， ∵tanC＝2， ∴＝2， ∴AD＝6， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， AB＝， 故选：D． 6．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；二元一次方程组的解． 【答案】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4， 得n＝﹣3+4＝1， ∴P（3，1）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 7．【知识点】圆周角定理． 【答案】解：如图，连接OB， ∵∠C＝46°， ∴∠AOB＝2∠C＝92°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝＝44°． 故选：A． 8．【知识点】二次函数的性质． 【答案】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3， 而抛物线开口向上， ∴y2＜y1＜y3． 故选B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．【知识点】实数的运算；算术平方根． 【答案】解：原式＝3﹣5 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．【知识点】实数与数轴． 【答案】解：∵b与﹣b互为相反数 ∴b与﹣b关于原点对称，即﹣b位于3和4之间 ∵a位于﹣b左侧， ∴a＜﹣b， 故答案为：＜． 11．【知识点】黄金分割． 【答案】解：∵BE2＝AE•AB， 设BE＝x，则AE＝（2﹣x）， ∵AB＝2， ∴x2＝2（2﹣x）， 即x2+2x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去）， ∴线段BE的长为（﹣1+）米． 故答案为：（﹣1+）． 12．【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于x轴、y轴对称的点的坐标；正比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 【答案】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m）， ∴点A'（2，m）， ∵点A'在正比例函数y＝x的图象上， ∴m＝＝1， ∴A（﹣2，1）， ∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上， ∴反比例函数的表达式为y＝﹣， 故答案为：y＝﹣． 13．【知识点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质． 【答案】解：连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC， 由勾股定理得：OA＝＝＝， ∵ME⊥BD，AO⊥BD， ∴ME∥AO， ∴△DEM∽△DOA， ∴＝，即＝， 解得：ME＝， 同理可得：NF＝， ∴ME+NF＝， 故答案为：． 三、答案题（共13小题，计81分．答案应写出过程） 14．【知识点】零指数幂；绝对值；实数的运算． 【答案】解：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0 ＝﹣15+﹣1 ＝﹣16+． 15．【知识点】解一元一次不等式组． 【答案】解：由x+2＞﹣1，得：x＞﹣3， 由x﹣5≤3（x﹣1），得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为x≥﹣1． 16．【知识点】分式的混合运算． 【答案】解：（+1）÷ ＝• ＝ ＝a+1． 17．【知识点】作图—基本作图． 【答案】解：如图，射线CP即为所求． 18．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质． 【答案】证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B， 在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（ASA）， ∴DE＝BC． 19．【知识点】作图﹣平移变换；坐标与图形变化﹣平移． 【答案】解：（1）∵A（﹣2，3），A'（2，3）， ∴点A、A'之间的距离是2﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4； （2）如图所示，△A'B'C'即为所求． 20．【知识点】列表法与树状图法；概率公式． 【答案】解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种， ∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为＝． 21．【知识点】相似三角形的应用． 【答案】解：∵AD∥EG， ∴∠ADO＝∠EGF， ∵∠AOD＝∠EFG＝90°， ∴△AOD∽△EFG， ∴＝，即＝， ∴AO＝15， 同理得△BOC∽△AOD， ∴＝，即＝， ∴BO＝12， ∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）， 答：旗杆的高AB是3米． 22．【知识点】待定系数法求一次函数解析式；函数值． 【答案】解：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8， 故答案为：8； （2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b得， 解得； （3）令y＝0， 由y＝8x得0＝8x， ∴x＝0＜1（舍去）， 由y＝2x+6，得0＝2x+6， ∴x＝﹣3＜1， ∴输出的y值为0时，输入的x值为﹣3． 23．【知识点】中位数；用样本估计总体；加权平均数． 【答案】解：（1）（2）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组， 故答案为：C； （2）＝×（50×8+75×16+105×40+105×36）＝112（分钟）， 答：这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟； （3）1200×＝912（人）， 答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为912人． 24．【知识点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质． 【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线， ∴∠BAM＝90°， ∵∠CEA＝90°， ∴AM∥CD， ∴∠CDB＝∠APB， ∵∠CAB＝∠CDB， ∴∠CAB＝∠APB． （2）解：如图，连接AD， ∵AB是直径， ∴∠CDB+∠ADC＝90°， ∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB， ∴∠ADC＝∠C， ∴AD＝AC＝8， ∵AB＝10， ∴BD＝6， ∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°， ∴∠APB＝∠DAB， ∵∠BDA＝∠BAP ∴△ADB∽△PAB， ∴＝， ∴PB＝＝＝， ∴DP＝﹣6＝． 故答案为：． 25．【知识点】二次函数的应用． 【答案】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9， 把（0，0）代入，可得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9； （2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6， 解得x1＝+5，x2＝﹣+5， ∴A（5﹣，6），B（5+，6）． 26．【知识点】三角形综合题． 【答案】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵AD是等边△ABC的中线， ∴∠PAC＝∠BAC＝30°， ∵AP＝AC， ∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°， 故答案为：75°； （2）如图2，连接PB， ∵AP∥BC，AP＝BC， ∴四边形PBCA为平行四边形， ∵CA＝CB， ∴平行四边形PBCA为菱形， ∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°， ∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，PE＝PB•sin∠PBC＝3， ∵CA＝CB，∠C＝120°， ∴∠ABC＝30°， ∴OE＝BE•tan∠ABC＝， ∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE ＝×6×3﹣×3× ＝； （3）符合要求， 理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F， ∵CA＝CD，∠DAC＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形FDCA为正方形， ∵PE是CD的垂直平分线， ∴PE是AF的垂直平分线， ∴PF＝PA， ∵AP＝AC， ∴PF＝PA＝AF， ∴△PAF为等边三角形， ∴∠PAF＝60°， ∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°， ∴裁得的△ABP型部件符合要求． 学科网（北京）股份有限公司 $$