精品解析：新疆和田地区皮山县高级中学2024-2025学年高二上学期学段1（期中）素养调研数学试卷

2024-2025学年第一学期高二年级数学学段1（期中）素养调研卷 本试题卷满分150分，考试时间120分钟 命题人：杨汉锋 审题人：陈转换 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 4. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 5. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（ ） A. B. C. D. 11. 设，，是空间一个基底，则（ ） A. 若，，则 B. 则，，两两共面，但，，不可能共面 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 则，，一定能构成空间的一个基底 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知空间向量，则______. 13. 某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动，若甲、乙至多有一人被选中的概率是，则甲、乙均被选中的概率是______． 14. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）恰好有一人中靶； （2）至少有一人中靶. 17. 已知空间三点，，． （1）求以和为邻边的平行四边形的面积； （2）试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 18. 棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求； （3）求的长. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年级数学学段1（期中）素养调研卷 本试题卷满分150分，考试时间120分钟 命题人：杨汉锋 审题人：陈转换 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解. 【详解】. 故选：C 2. 已知，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得. 【详解】由可得， 解得. 故选：A 3. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解. 【详解】关于平面的对称点为. 故选：B 4. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 5. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】计算得到结合线面位置关系即得解. 【详解】由题得， 所以. 所以或. 故选：D 6. 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得. 【详解】因为共面，则存在实数，使得使， 即，即， 解得，则， 所以则在上的投影向量的模为. 故选：A. 7. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而. 设平面的法向量为，则，即，得， 令，则，所以点E到平面的距离为． 故选：C 8. 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，以分别为轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，， 则，则， 因为平面，所以， 即，解得， 所以，所以， 又，所以当时，即是的中点时，取得最小值， 当或，即与点或重合时，取得最大值， 所以线段长度的取值范围为. 故选：C 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解. 【详解】对于A,， ，故A错误； 对于B，， 则，故B错误； 对于C,， 则， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选:CD. 10. 抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用古典概率模型求解即可. 【详解】由题可得基本事件有： ， 共有36个， 记事件两次的点数均为偶数，共包含9个样本点， 则A正确； 两次的点数之和小于7， 事件包含的基本事件有：，，共15个， ，B正确，D错误，； 对于，事件包含的基本事件有：， 共3个，C错误. 故选:. 11. 设，，是空间一个基底，则（ ） A. 若，，则 B. 则，，两两共面，但，，不可能共面 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据构成空间基底向量的特征逐一判断选项正误即可 【详解】由，，是空间一个基底，知： 在A中，若，，则与不平行，但夹角不一定为90°，故A错误； 在B中，，，两两共面，因为三个向量是基底，必须是不共面的向量， 所以，，不可能共面，故B正确； 在C中，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确； 在D中，假设，，共面，设， 化简得：，即：，所以，，共面与已知矛盾. ∴，，一定能构成空间的一个基底，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知空间向量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故答案为： 13. 某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动，若甲、乙至多有一人被选中的概率是，则甲、乙均被选中的概率是______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】直接由对立事件的概率公式计算即可. 【详解】由题意知：甲、乙均被选中与甲、乙至多有一人被选中为对立事件，故甲、乙均被选中的概率是. 故答案为：. 14. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据向量平行得到关于的方程，求解即可； （2）直接根据向量垂直得到关于的方程,然后解出即可; 【小问1详解】 因为，，所以， ， 因为，则，解得. 【小问2详解】 若，则，解得. 16. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）恰好有一人中靶； （2）至少有一人中靶. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件的概率公式求解可得； （2）利用对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 记甲射击中靶为事件，乙射击中靶为事件， 由题知，， 则恰好有一人中靶的概率为. 【小问2详解】 至少有一人中靶的对立事件为两个都没有中靶， 所以至少有一人中靶的概率为. 17. 已知空间三点，，． （1）求以和为邻边的平行四边形的面积； （2）试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 【答案】（1） （2）共面， 由题，，，， 假设存在实数，使得， 则解得. ，即与是共面向量， 所以点与点共面. 【解析】 【分析】（1）由空间向量的数量积求出夹角，再由模长公式求出，，求解； （2）由空间向量共面定理求解. 【小问1详解】 由已知可得，，， ， 又，. 所以以为邻边的平行四边形的面积为. 【小问2详解】 略 18. 棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求； （3）求的长. 【答案】（1） 证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意得， 因为，， 所以， 所以，所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出并计算即可得证； （2）由（1）求出，接着计算即可得解； （3）由（1）求出，再由向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 【小问3详解】 由（1）得，所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $