上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

川沙中学2024学年第一学期高二年级数学月考 2024.10 一、填空（3×12） 1. 复数满足，则___________. 2. 等比数列中，若，，则_____． 3. 已知空间中两条直线a、b，“a⊥b”是“a与b相交”的______条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”） 4. 以下各项属于公理的是__________. ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. ③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ④平行于同一条直线的两条直线平行. ⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. 5. 设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2026项的和_________． 6. 水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______ 7. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 8. 空间四边形ABCD，AB=CD=8，M､N､P分别为BD､AC､BC的中点，若异面直线AB和CD所成的角为60°，则线段MN的长为___________. 9. 已知数列满足，则________． 10. 在中，，，则面积为__________. 11. 用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是__________. 12. 已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________; 二、选择（3*4） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一直线的两个平面平行 14. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，四面体中，，，两两垂直， ，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为 A. B. C. D. 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答（8+8+10+12+14） 17. 已知，，． （1）求； （2）若，求实数k的值． 18. 如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． （1）证明：E，F，D，B四点共面． （2）证明：BE，DF，三线共点． 19. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1）求几何体下半部分圆柱的体积； （2）如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 20. 如图，四边形是矩形，，，⊥平面，，．点F为线段的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值． 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知是等边三角形． （1）求证：； （2）求二面角； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角，并说明点此时所在的位置． 川沙中学2024学年第一学期高二年级数学月考 2024.10 一、填空（3×12） 【1题答案】 【答案】1 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】既非充分也非必要 【4题答案】 【答案】①②④ 【5题答案】 【答案】2026 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】4或 【9题答案】 【答案】##-0.25 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 二、选择（3*4） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答（8+8+10+12+14） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 如图， 连接EF，BD，． ∵EF是的中位线， ∴． ∵与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴E，F，D，B四点共面． （2） ∵，且， ∴直线BE和DF相交． 延长BE，DF，设它们相交于点P， ∵直线BE，直线平面， ∴平面， ∵直线DF，直线平面， ∴平面， ∵平面平面， ∴， ∴BE，DF，三线共点． 【19题答案】 【答案】（1） （2）；满足建筑要求 【20题答案】 【答案】（1） 证明：因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又由，而，平面， 故⊥平面； （2） 证明：连接交于M，连接，由点F为线段的中点， 可得，而平面，平面， 故平面； （3）． 【21题答案】 【答案】（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以． （2） （3）当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $