精品解析：四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期中适应性考试数学试题

树德中学高2023级半期 时间：120分钟 满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分． 1. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 3. 某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（ ） A. 4 B. C. D. 6. 在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 对任意的，存在点，使得 B. 当且仅当时，存在点，使得 C. 当且仅当时，存在点，使得 D. 当且仅当时，存在点，使得 7. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且.则下列说法正确的是（ ） A. 直线与的交点坐标为，直线在轴上的截距是 B. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，的方程为 C. 已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为 D. 直线，，若，则或2 10. 如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（    ） A. 环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B. 环比涨跌幅的平均数为0.1% C. 环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D. 同比涨跌幅的上四分位数为1.55% 11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（ ） A. 当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值 B. 当，，时，存在点，使得 C. 当，，时，存在唯一点，使得 D. 当时，的最小值是 三、填空题；：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 13. 如图，已知正三棱锥的侧棱长为2024，过其底面中心作动平面，交线段PC于点，交PA，PB的延长线于M，N两点.则_______________. 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件. （1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由； （2）判断事件与是否相互独立，并证明. 16. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 17. 在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，． （1）求证：； （2）当二面角的余弦值为时， （ⅰ）求三棱锥的体积． （ⅱ）直线与面所成角的余弦值． 18. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）. 质量指标 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ （3）为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． （ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率； （ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？ 19. 在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G． （1）若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； （3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2023级半期 时间：120分钟 满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分． 1. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 所以， 所以在基底下的坐标为. 故选：A 2. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，取得直线的斜率，进而可求得倾斜角，得到答案． 【详解】由题意得，故倾斜角为.故选B. 【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3. 某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分层抽样求各层的人数，再根据平均数、方差的公式运算求解. 【详解】由分层抽样可得高三（1）班抽取的人数为，高三（2）班抽取的人数为， 设高三（1）班（6人）答对题目数依次为，高三（2）班（4人）答对题目数依次为， 由题意可得：， 可得， 则这10人答对题目的平均数， 这10人答对题目的方差. 故选：D. 4. 如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将该几何体补成一个直四棱柱，连接，则（或其补角）是异面直线与所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，将该几何体补成一个直四棱柱，由题易得底面为菱形，且为等边三角形. 连接，易得，所以（或其补角）是异面直线与所成的角. 设1，则， 所以. 故选：D. 5. 如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,求的模即为的长. 【详解】由二面角的平面角的定义知,, 由,,得,,, , 所以,即． 故选：A． 6. 在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 对任意的，存在点，使得 B. 当且仅当时，存在点，使得 C. 当且仅当时，存在点，使得 D. 当且仅当时，存在点，使得 【答案】C 【解析】 【分析】若存在点，使得，则必有，且由题设条件易得平面,得到,再通过△∽△即可求得的范围. 【详解】连接，在四棱柱中，因为平面， 所以平面，则,又由底面是正方形，得， 所以平面，得. 若存在点，使得，则平面,得, 则△∽△，得，即，所以 故选：C. 7. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义得出两平面的法向量，利用数量积公式求出法向量的夹角余弦，利用同角三角函数的关系求出其正弦即可选出正确答案 【详解】由题意，因为平面的方程是，所以法向量 由平面的方程是，所以法向量， 所以， 所以， 故选：A. 8. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且.则下列说法正确的是（ ） A. 直线与的交点坐标为，直线在轴上的截距是 B. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，的方程为 C. 已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为 D. 直线，，若，则或2 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线方程，解出两直线交点判断A，根据截距的关系求出直线方程判断B，根据条件求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解判断C，根据直线平行求出再检验即可判断D. 【详解】由，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即， 对A，联立，解得，即直线与的交点坐标为， 由可得，即直线在轴上的截距是，故A正确； 对B，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意， 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点可得， 所以直线方程为，综上满足条件的直线为或，故B错误； 对C，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和连线所在直线垂直， 故所求直线的斜率为，所以直线为，即， 所以到距离为，故C正确； 对D，因为，所以，解得或2， 当时，直线与平行， 当时，直线与重合，故D错误. 故选：AC 10. 如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（    ） A. 环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B. 环比涨跌幅的平均数为0.1% C. 环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D. 同比涨跌幅的上四分位数为1.55% 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的统计数据，结合极差、平均数、百分位数，以及方差的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】选项A中：环比涨跌幅的极差为，同比涨跌幅的极差为，因为，所以A正确； 选项B中：环比涨跌幅的平均数为，所以B错误； 选项C中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性， 所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C正确； 选项D中：同比涨跌幅的上四分位数为，所以D错误. 故选：AC. 11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（ ） A. 当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值 B. 当，，时，存在点，使得 C. 当，，时，存在唯一点，使得 D. 当时，的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，判断点在直线上，利用棱锥体积公式判断即可；对于B，先利用空间向量夹角余弦公式判断，即可求解；对于C，利用列方程，判断方程是否有解即可；对于D，先判断四点共面，利用“等积变换”求解即可. 【详解】建立如图所示直角坐标系，取为中点，交于点， 以，，，，， ， 由，所以， ，即， 当时，则，故，点在直线上， 所以点到直线的距离为1，三角形面积为， 又因为到平面的距离为， 所以是定值，故A正确； 当时，则， 则，， 因为，故，即， 即不存在点，使得，故B错误； 当时，则， 若，则， 解得 或，又因为，故存唯一点使得，故C正确； 若时，则四点共面， 当与平面垂直时，的最小， 利用等体积法，则， 则可求解到的距离为， ，则，则的最小值为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题；：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程. 【详解】，直线的方程为， 由解得，设， 依题意，的平分线为直线， 由正弦定理得， 由于，由此整理得, 则，设， 则， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 直线的方程为. 故答案为： 13. 如图，已知正三棱锥的侧棱长为2024，过其底面中心作动平面，交线段PC于点，交PA，PB的延长线于M，N两点.则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算得到，再利用空间四点共面的性质即可得解. 【详解】依题意，设， 则，，， 由为底面中心， ， 又因为四点共面， 所以且， 所以，即， 即. 故答案为：. 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 综上所述，甲队以获胜的概率是 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件. （1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由； （2）判断事件与是否相互独立，并证明. 【答案】（1） 两人摸出球的所有情况：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12种； 事件包含的情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6种； 事件包含的情况有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6种； 所以，故小明的判断不正确. （2） 事件包含的情况有：（1,2），（2,1），故； 因为，； 所以事件与不相互独立. 【解析】 【分析】（1）先求出摸球的所有情况，利用古典概率求解，比较即可判断； （2）利用独立事件的判定方法进行判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 17. 在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，． （1）求证：； （2）当二面角的余弦值为时， （ⅰ）求三棱锥的体积． （ⅱ）直线与面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：作交于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，且平面，， 所以平面， 因为平面，所以. （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）作，证得平面，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）（ⅰ）以为原点，建立空间直角坐标，设，由，得到，求得，再求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程求得点的坐标，根据棱锥的体积公式，即可求解. （ⅱ）根据线面角的向量法求解得出线面角正弦值，再由同角三角函数的平方关系得出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）以为原点，以所在的直线分别为，建立空间直角坐标，如图所示， 则， 设，因为，所以， 因为，所以， 即，又由， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又因为为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， 因为，解得（舍去）或， 所以点或，即点到平面的距离为. 所以三棱锥的体积为. （ⅱ）当点时，, 又平面的一个法向量， 设直线与面所成角为， 则，所以， 当点时，同理可得， 综上，直线与面所成角的余弦值为. 18. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）. 质量指标 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ （3）为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． （ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率； （ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？ 【答案】（1）61，241； （2）可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. （3）（ⅰ），（ⅱ）乙更容易晋级复赛 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可； （2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论. （3）（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，利用列举法，根据古典概型的概率公式求解即可； （ⅱ）根据题意按第一轮得20分且第二轮至少得20和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立事件和对立事件的概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断. 【小问1详解】 由题，可知 ． ． 【小问2详解】 由知，， 则，， 该抽样数据落在内的频率约为； 又，， 该抽样数据落在内的频率约为， ∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 【小问3详解】 （ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为， 第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两个题的情况为： ，共10种， 其中得0分的情况有：，4种， 所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为； （ⅱ）甲晋级复赛分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：， 甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：， 所以甲晋级复赛的概率为； 乙晋级复赛分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：， 乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：， 所以乙晋级复赛的概率为， 因为，所以乙更容易晋级复赛. 19. 在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G． （1）若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； （3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 【答案】（1） 在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置； （2）利用几何方法找到截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值； （3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面， 在平面内作于点M，则平面ABC， 又平面，所以， 在平面内作于点N，连接， 又平面，，所以平面， 平面，所以， 所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． 在中，作于点H，，，，， ，， 由余弦定理，则， ，可得，所以， 又，所以， 故截面与底面所成锐二面角的正切值为. 【小问3详解】 设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． 【点睛】方法点睛： 空间图形中确定点在直线上的位置，三角形相似和比例线段比较常用；作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；边长比、面积比的限值范围，可以通过构造函数，利用单调性解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $