专题三 三角形的内角和定理 讲义2024-2025学年北师大版数学八年级上册

专题三 三角形的内角和定理 【知识点】 1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180 . 2. 三角形内角和定理的推论 推论1,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图①所示, ∵∠1是 ABC的外角, ∴∠1=∠ABC+∠ACB. 推论2,三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如图①所示, ∵∠2是 ABC的外角, ∴∠2>∠BAC, ∠2>∠ACB. 3. 与三角形的角有关的模型 模型1:角的“8”字模型: 如图②所示, AC, BD相交于点O, 连接AD, BC. 结论: ∠A+∠D=∠B+∠C. 模型2:角的“飞镖”模型: 如图③所示, 结论: ∠D=∠A+∠B+∠C. 注意:角的“8”字模型和角的“飞镖”模型不可直接使用,解题中必须证明后再用. 题型1 求角度的大小 【例1】在 ABC中, 已知∠A-∠B=30 , ∠C=4∠B. 求∠A, ∠B, ∠C的度数. 举一反三。 1. 在 ABC中, ∠B比∠A的2倍少5 , ∠C比∠A多21 , 求∠A, ∠B,∠C的度数. 题型2 判断三角形的形状 【例2】在 ABC中, 已知 试判断这个三角形的形状. 举一反三。 2. 一个三角形的三个内角度数的比是3∶7∶10,最大的内角是多少度? 这个是什么三角形? 题型3 利用分类讨论思想求角度 【例3】已知非直角三角形ABC中, ,高BD和CE所在直线交于点H,求. 的度数. 举一反三。 3. 在 中, BD是AC边上的高, 求 的度数. 题型4 三角形的折叠与求角 【例4】生活中到处都存在着数学知识,只要同学们学会用数学的眼光观察生活,就会有许多意想不到的收获,如下两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的: (1) 如图①所示, 求∠ABC的度数; (2) 如图②所示, 若AE∥BC, 则. 举一反三。 4.(1) 如图①所示,将直角三角形(∠ACB 为直角) 沿线段 CD折叠使点 B 落在点 B'处, 若 则 (2) 如图②所示, 纸片 中, 将纸片的一角沿ED折叠,使点 A 落在 ABC外点A'处, 求∠1-∠2的度数. 题型5 入射角与反射角的问题 【例5】光线以如图所示的角度 照射到平面镜 上,然后在平面镜 , 之间来回反射,已知 求 的度数. 举一反三。 5. 光线以如图所示的角度 照射到平面镜 上,然后在平面镜 , 之间来回反射,已知 ,求∠ 的度数. 191 题型6 应用三角形内角和定理的推论1求角的度数 【例6】如图所示, 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠FDE=64 , ∠DEF=43 , 求 各内角的度数. 举一反三。 6. 如图所示, ABC的一条外角平分线是 CE, F是CA 延长线上一点, FG∥CE交AB于点G. 若∠DCE=50 , ∠B=40 , 求∠FGA的度数. 题型7 应用三角形内角和定理的推论2求证角或线段的不等关系 【例7】如图所示,已知在 中, A D平分∠BAC, 交BC于点 D. 求证: . 举一反三。 7. 如图所示,在 中, AD平分 于D, 求证: 考点8 三角形两内角平分线夹角 【例8】已知在 中, (1) 如图①所示, 的角平分线交于点O,求 的度数: (2) 如图②所示. 的三等分线交于点 则. (3) 如图③所示, 的n等分线交于点 则 (用含n的代数式) 举一反三。 8. 如图所示, 于D,试探究 与 之间的数量关系. 考点9 三角形两外角平分线夹角 【例9】如图, 点 P是 两条外角平分线的交点,求证: 举一反三 9. 如图所示,在平面直角坐标系中,点A为x轴上的一点,点B为y轴上的一点,AC平分. BC平分∠ABy, 求∠C的度数. 考点10 三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角 【例10】如图所示, 点 D 是BC延长线上一点, PB平分. PC平分 求证: 举一反三。 10. 如图所示, 试探究 之间的数量关系. 考点11 角平分线+高线夹角模型 【例11】(1)已知 ABC中, ∠B>∠C, AD⊥BC于点D, AE 平分∠BAC,如图①所示, 设∠B=x,∠C=y, 试用x, y表示∠DAE, 并说明理由; (2) 在图②中, 其他条件不变, 若把“AD⊥BC于点 D”改为“F是AE上一点, FD⊥BC于点 D”,试用x,y表示 (3) 在图③中,若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”,其余条件不变,试用x,y表示 (4)在图③中,分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线,交于点P,如图④.试用x,y表示∠P= . 举一反三。 11. 如图所示, AD 是 的角平分线,M是射线AD 上一点, 于点N, 且 (1) 如图①,当点M与A 点重合, 时, 求∠DMN的度数; (2)如图②,当点M在线段AD上(不与A, D两点重合) 时, 求证: (3) 如图③,当点 M在线段AD 延长线上时,(2) 中的结论成立吗? 为什么? (4)如图④,在(2)的条件下,过点M作AD的垂线交 CB的延长线于点N,直接写出. 的度数(用含 , 的式子表示). 195 考点12 与三角形有关的双角平分模型 【例12】(1) 模型: 如图①所示, AD, BC交于O点. 求证: ∠D+∠C=∠A+∠B. (2) 模型应用: 如图②所示, ∠BAD和∠BCD的平分线交于点E. ①若∠D=30 , ∠B=40 , 则∠E的度数是 ; ②直接写出∠E与∠D, ∠B之间的数量关系: . (3) 类比应用: 如图③所示, ∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E. 若∠D=m ,∠B=n , (m<n). 求∠E的度数.(用含有m, n的式子表示) 举一反三。 12. 如图所示,∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I. (1) 如图①所示,写出∠I与∠A,∠D之间的数量关系式并证明; (2) 如图②所示,直接写出∠I与∠A,∠D之间的数量关系式为 . 考点13 “飞镖”与“8字”模型应用 【例13】(1) 如图①所示, 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. (2)如图②所示, 在四边形ABCD中, AM, CM分别平分∠DAB和∠DCB, AM与CM交于M, 探究∠AMC与∠B, ∠D间的数量关系. 举一反三。 13.(1) 如图①所示, 求. 的度数. (2) 如图②所示, 求 的度数. 题型14 三角形内角和定理与平行线的综合应用 【例14】已知, 在四边形ABCD中, (1) 求证: (2) 如图①所示, 若DE平分. BF平分 的外角,写出DE与BF的位置关系,并证明; (3) 如图②所示, 若 BF, DG分别平分. 的外角,写出BF与DG的位置关系,并证明. 举一反三。 14. 如图所示, ∠OAB=30 ,∠OAP=∠NAP, ∠NMA=∠NAM, PN∥MB, 试求 的度数. 学科网(北京)股份有限公司 $$