精品解析：广东省封开县广信中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段测试数学试题

广信中学2024级高一第一次阶段测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有量词的否定得到其否定形式，进行判断即可. 【详解】，的否定为“，”. 故选：D 3. 下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为,故A错误, 对于B，，与的定义域相同，对应关系也相同，故B符合， 对于C，，与的对应关系不相同，故C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域不相同，故D错误， 故选：B 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分必要条件的概念，判断“”与“”是否相互推出即可. 【详解】由，得，因为， 所以由 “”可以推出“”， 但由 “”不能推出“”， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项. 【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误. 故选：B. 6. 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B 7. 已知函数，若，实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故选：C 8. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】由，得，解得或， 所以， 当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出集合，再根据元素与集合和集合与集合的关系逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】， 对于A：，故选项A正确； 对于B：，集合与集合之间的关系符号错误，故选项B不正确； 对于C：，故选项C正确； 对于D：，故选项D正确， 故选：ACD. 10. 若，且，则的值可以为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】CD 【解析】 【分析】结合一元二次不等式，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，解不等式，所以， 当，时取等号.所以xy的最小值为25. 故选：CD 11. 已知函数，则 （ ） A. B. 的值域为 C. 的解集为 D. 若，则或1 【答案】BC 【解析】 【分析】将代入可判断A；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可判断B；分别在和的情况下，根据解析式列出不等式和方程求解可判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，当时，；当时，； 的值域为，B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，C正确； 对于D，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】对于，有，解得且， 所以的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数是奇函数，则实数______． 【答案】0 【解析】 【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果． 【详解】∵函数为奇函数， ∴， 即， 整理得在R上恒成立， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 14. 设矩形ABCD的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的面积取最大值时，AB的长为______． 【答案】cm 【解析】 【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果. 【详解】如下图示，设且，则，， 由，，，故△△， 令，，故， 所以，整理得， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的面积取最大值时，AB的长为cm. 故答案为：cm 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，，求，. （2）已知集合，，求，. 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的交并集运算即可得解； （2）先化简集合，再利用集合的交并集运算即可得解. 【详解】（1）， ， ，； （2）因为，又， 所以，. 16. 已知函数. （1）求与； （2）用分段函数的形式表示函数； （3）画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】（1）；； （2）； （3），值域为. 【解析】 【分析】（1）直接代入即可求解； （2）绝对值函数分类讨论写成分段函数； （3）分段函数每一段的图像画出来，根据图像写出函数值域. 【小问1详解】 由题可知，所以； ； 【小问2详解】 当时，当时，，所以 【小问3详解】 如图所示， 作出函数的图像，由图可知函数在上递减，此时值域为，在上为常数函数，此时值域为， 所以得值域为. 17. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）3 （2） 函数为奇函数，理由如下： 函数定义域为， 且， 所以为奇函数. （3） 在区间上单调递增，证明如下：. 任取，则，. 又，则，且， 所以，即在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）直接代值计算即可； （2）根据函数奇偶性的定义判断即可； （3）根据函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 当时， ，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 （1）求关于的函数表达式 （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】（1） （2）海报长，宽时，用纸量最少. 【解析】 【分析】（1）表示出矩形宣传栏的长和宽，然后根据面积公式可得； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式将（1）中等式转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有， 整理得. 【小问2详解】 由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 19. 已知． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集； 当时，解得； 当时，解得. 【解析】 【分析】（1）根据不等式恒成立可得，解得即可； （2）原不等式可化为，分类解得即可． 【小问1详解】 若恒成立，即恒成立， 则，解得， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 原不等式可化为， 令，解得或， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或； 综上所述：当时，不等式的解集； 当时，解得； 当时，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广信中学2024级高一第一次阶段测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 若，且，则的值可以为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 11. 已知函数，则 （ ） A. B. 的值域为 C. 的解集为 D. 若，则或1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知函数是奇函数，则实数______． 14. 设矩形ABCD的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的面积取最大值时，AB的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，，求，. （2）已知集合，，求，. 16. 已知函数. （1）求与； （2）用分段函数的形式表示函数； （3）画出函数的图象，并写出函数的值域. 17. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 18. 如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 （1）求关于的函数表达式 （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 19. 已知． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $