精品解析：天津市耀华中学2025届高三上学期统练(1）数学试题

天津市耀华中学2025届高三数学统练（1） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】由，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象的特殊点以及单调性逐一判断可得解. 【详解】由图象可知，故BD不成立； 对于A选项：，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不符合图象，故A不成立； 故选：C 4. 已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到，，再比较，，的大小关系，最后结合函数的单调性判断即可. 【详解】奇函数在上是减函数，则， 所以， ， 因为，， 又，所以， 所以，则， 故. 故选：B 5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，再利用周期性运算得解. 【详解】由题意得，用替换式子中的，得， 两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列. 又，，. 所以数列的前2024项和. 故选：A. 6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（ ） A. 241 B. 231 C. 213 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】依题意写出前几项即可发现规律. 【详解】设， 由，， ，…， 可知为等差数列，首项为2，公差为1， 故， 故， 则，，， …，， 累加得， 即，显然该式对于也成立， 故． 故选：B 7. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积. 【详解】分别取，的中点，，连接，， 过点作的垂线，垂足为， 因为，,所以，所以， 根据对称性易得， 所以， 在中，，所以， ， 又， 所以. 故选：D． 8. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】 , 所以 原式 ， 故选C. 点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与差的公式. 9. 设函数（，）的最小正周期为，其图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象过点 B. 在上单调递减 C. 的一个对称中心是 D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【答案】D 【解析】 【分析】由周期求出，再由对称轴求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】函数的最小正周期是， 所以，则， 图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以当时，，则， 当时， ，故A错误； 由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故B错误； 因为， 所以不是的一个对称中心，故C错误； 因为，将的图象向左平移个单位长度得到： ，所以能得到的图象，故D正确. 故选：D. 10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（ ） A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是幂函数，且在上为增函数，得到，确定函数为奇函数，单调递增，故，得到答案. 【详解】函数是幂函数，则，解得或. 当时，，在上为减函数，排除； 当时，，在上为增函数，满足； ，函数为奇函数，故在上单调递增. ，故，，故. 故选：. 【点睛】本题考查了幂函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 11. 函数在区间上存在极值点，则整数 k的值为 A. ，0 B. ，1 C. D. ，0 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值即可． 【详解】函数，可得， 当和时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减． 若在上无极值点，则或或， ，，．时，在上无极值点， ，，时，在上存在极值点． 因为是整数，故或， 故选：． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题． 12. 已知函数满足，在区间[a，2b]上的最大值为，则b为 A. ln3 B. C. D. l 【答案】C 【解析】 【分析】函数图象结合单调性可解. 【详解】,函数在上单调递增， 所以, 所以在区间上的最大值为，解得 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 若复数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解. 【详解】, , 故答案为： 14. 若正数，满足，则的最小值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得. 【详解】正数，满足，， 当且仅当即且时取等号， 故的最小值为5. 故答案为：5 15. 定义在R的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正确的是_________（填上所有正确结论的序号） ①； ②函数值域为R； ③函数可能既不是奇函数也不是偶函数； ④函数可能不是单调函数； ⑤函数y= 的图象与直线y=有三个交点， 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用奇偶性单调性结合函数图象求解. 【详解】①当时所以成立，正确 ②函数的图像可能都在轴上方，值域不是R，故错误 ③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶，正确 ④函数可能是增函数，也可能是减函数，也可能不是单调函数，正确 ⑤函数的图像与直线有可能只有一个交点（原点），也可能有两个，也可能有三个交点，错误. 故答案为：①③④． 16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为，所以其比表面积的最小值为. 考点：几何体的外接球，基本不等式. 17. 已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案. 【详解】令， 当时，，； 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； …… 作出函数的部分图象如下， 因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共点个数为2， 由图可知，或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将函数的零点问题转化为与图象的交点问题，将分段求解析式画图，树形结合简化问题. 18. 在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，进一步化为，再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值． 【详解】由题意，，， 所以，， 又动点和分别在线段和上，且，，所以，解得， ， 当且仅当时，即时取等号，故的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 19. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求的值； （3）若为的中点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案. （2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案. （3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案. 【小问1详解】 ，由正弦定理，得 ， ，，， 【小问2详解】 ， ，， 【小问3详解】 中，由余弦定理，得， ， 中，由余弦定理，得， ， 联立，得，， 代入，解得， 的面积. 20. 已知等比数列是递增数列，且，. （1）求通项公式； （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式解出或，再由是递增数列，得出，即可得出答案； （2）若、、、…、、成等差数列，设其公差为，即可得出，，结合等差数列前项和得出，即可根据错位相减法得出，则，令，则数列为递减数列，即可结合已知列不等式得出答案. 【小问1详解】 设的公比为， 由，得：， 解得或， 因为是递增数列， 所以，则， 所以. 【小问2详解】 在和之间插入个数、、…、， 使、、、…、、成等差数列，设其公差为， 此数列首项为，末项为， 则，， 则 又, 则, 则， 则， 令，则数列为递减数列， 由对恒成立， 则当为偶数时，对恒成立，则； 当为奇数时，对恒成立，则，即， 综上实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2025届高三数学统练（1） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（ ） A. 241 B. 231 C. 213 D. 192 7. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 设函数（，）的最小正周期为，其图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象过点 B. 在上单调递减 C. 的一个对称中心是 D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（ ） A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断 11. 函数在区间上存在极值点，则整数 k的值为 A. ，0 B. ，1 C. D. ，0 12. 已知函数满足，在区间[a，2b]上的最大值为，则b为 A. ln3 B. C. D. l 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 若复数，则__________． 14. 若正数，满足，则的最小值为______. 15. 定义在R的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正确的是_________（填上所有正确结论的序号） ①； ②函数值域为R； ③函数可能既不是奇函数也不是偶函数； ④函数可能不是单调函数； ⑤函数y= 的图象与直线y=有三个交点， 16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为________． 17. 已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为______. 18. 在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为______. 三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 19. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求的值； （3）若为的中点，且，求的面积. 20. 已知等比数列是递增数列，且，. （1）求通项公式； （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $