2025年中考数学一轮复习讲义：专题十三：等腰三角形

初中一轮 知识串讲 图形与几何部分 专题十三：等腰三角形 专题十三：等腰三角形 1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 3．掌握线段垂直平分线的性质及判定． 考点1:等腰三角形的性质与判定 性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等 2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3.等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴 判定 1.有两条边相等的三角形的等腰三角形 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积公式 ，其中a是底边长，h是底边上的高 考点2:等边三角形的性质与判定 性质 1.三条边相等 2.三个内角相等，且每个内角都等于60° 3.边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形 2.三个角相等的三角形是等边三角形 3.有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式 ，其中a是等边三角形的边长，h是底边上的高 考点3:线段垂直平分线 （1）线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 命题点1：等腰三角形的性质和判定 1.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝ 12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）. A．25 B．22 C．19 D．18 2.若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　）. A．70° B．45° C．35° D．50° 3.△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 4.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 5.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（　　） A．15 B．18 C．20 D．22 6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为　 　． 7.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB． （2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 命题点2：等边三角形的性质和判定 8.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　）. A．20° B．25° C．30° D．35° 9.如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　）. A．80° B．70° C．60° D．50° 10.如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）. A．30° B．20° C．25° D．15° 11.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 12.如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（　　）. A． B． C． D． 13.如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（　　）. A． B． C．或 D．或 14.如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　）. A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 15.如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　）. A． B． C． D． 16.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝　 　°． 17.如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 　　． 18.如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为　　cm． 19.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　　． 20.如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 ． 21.如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是　 　． 22.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则： ①DB＝AE； ②∠AMC＝∠DNC； ③△MCE是等腰三角形； ④△MCN是等边三角形； ⑤∠AOD＝60°． 其中，正确的有 　　 ． 23.已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CDE的度数． 24.已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE 　　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 25.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． （1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 命题点3：线段垂直平分线 26.如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　）. A．AB，AC两边中线的交点处 B．AB，AC两边高线的交点处 C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处 D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处 27.如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 28.如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则BC长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 29.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 30.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是　 　度． 31．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为 　　． 32.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝　　． 33.如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？ 参考答案 1.【答案】C 【解答】解：由题意可得， MN垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∵△ABD的周长是AB+BD+AD， ∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC， ∵AB＝7，AC＝12， ∴AB+AC＝19， ∴△ABD的周长是19， 故选：C． 2.【答案】C 【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°， 故选：C． 3.【答案】D 【解答】解：由题意得解得 ∵a2+b2＝c2，且a＝b， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故选：D． 4.【答案】C 【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于2+2＜5，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为5+5+2＝12． 故选：C． 5.【答案】C 【解答】解：∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴ED＝EB， 同理可证得DF＝FC， ∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20， 即△AEF的周长为20， 故选：C． 6.【答案】． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD， ∵BE⊥CD， ∴∠BDC＝∠EDC＝90°， ∵CD＝CD， ∴△BDC≌△EDC（ASA）， ∴BC＝CE＝4，BD＝DE， 又∵∠A＝∠ABE， ∴AE＝BE， ∵AC＝7，BC＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝3， ∴BE＝AE＝3， ∴BD＝BE＝， 故答案为：． 7.【答案】（1）见解析； （2）CD＝ED，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB． （2）解：CD＝ED，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴CD＝BE， 由（1）得，∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∴CD＝ED． 8.【答案】C 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵BD是AC边上的高， ∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， 故选：C 9.【答案】A 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A+∠3+∠2＝180°， ∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 10.【答案】D 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是等边△ABC的一条中线， ∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°， 故选：D． 11.【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 12.【答案】A 【解答】解：如图：DG交AB于M，交AC于L，EF交AB于N，AC于K， ∵DG∥BC，边AB被DG、EF三等分， ∴△AML∽△ANK，△ABC∽△ANK， ∴BP＝，， ∴，， 设S△ABC＝9a， 则S△AML＝a，S△ANK＝4a， ∴S四边形MNKL＝4a﹣a＝3a， ∴未被覆盖的面积为：9a﹣3a＝6a，△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积， 故选：A． 13.【答案】D 【解答】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动 则CM＝2t，BM＝10﹣2t，BN＝2t， 当∠BMN＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BNM＝30°， ∴BN＝2BM，即2t＝2×（10﹣2t）， 解得：， 当∠BNM＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BMN＝30°， ∴BM＝2BN，即2×2t＝（10﹣2t）， 解得：， 综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形． 故选：D． 14.【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5， ∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°， ∴∠BED＝∠EFC， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EC＝1， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4． 故选：C． 15.【答案】C 【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD， ∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2， ∴△BOD是等边三角形， ∴OD＝OB＝1， ∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4， ∴OD2+OC2＝CD2， ∴∠DOC＝90°， ∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝， 故选：C． 16.【答案】30． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°； 故答案为30． 17.【答案】． 【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D， 则S△ABC＝S△ABP+S△ACP， 即AB•CD＝AB•PE+AC•PF， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， ∴CD＝PE+PF， ∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18.【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm， ∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形， ∴阴影部分的周长为3×4＝12cm， 故答案为12． 19.【答案】2． 【解答】解：过E点作EH⊥BF， 设DE＝x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∵BD＝4， ∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°， 在Rt△CHE中， ∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4， ∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴， ∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x， ∵EB＝EF， ∴△EBF是等腰三角形， ∵EH⊥BF，BF＝8， ∴BH＝FH＝4， ∴2+x＝4， ∴x＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 20.【答案】见试题解答内容 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵AE＝EF， ∴EF+FD＝AE+CD， ∴AE+CD＝DE＝AC， ∵AC＝4， ∴DE＝． 故答案为：2． 21.【答案】1+． 【解答】解：取AB中点D，连OD，DC， ∴OC≤OD+DC， 当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD， ∵△ABC为等边三角形，D为AB中点， ∴BD＝1，BC＝2， ∴CD＝＝， ∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点， ∴OD＝AB＝1， ∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+． 故答案为：1+． 22.【答案】①②④⑤． 【解答】解：△ACD和△BCE都是等边三角形， ∴AC＝AD＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°＝∠BCE＝∠CBE＝∠CEB， ∴∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB＝120°， 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，故①符合题意； ∴∠AOD＝∠ACD＝60°，故⑤符合题意； 在△ACM和△DCN中， ， △ACM≌△DCN（ASA）， ∴AM＝DN，CM＝CN，∠AMC＝∠DNC， ∴△MCN是等腰三角形；△MCN是等边三角形；故②④符合题意， 综上：①②④⑤都符合题意． 故答案为：①②④⑤． 23.【答案】30°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵D是边AC的中点， ∴， ∵DB＝DE， ∴∠E＝∠DBC， ∴∠E＝30°， ∵∠BCD＝60°， ∴∠CDE＝∠BCD﹣∠E＝30°． 24.【答案】（1）=；（2）=；（3）见试题解答内容 【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF，BE＝CF， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD， ∴∠DEB＝∠ECF， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF， 则AE＝DB； （3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形， 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE， ∵AB＝1，AE＝2， ∴BE＝1， ∵DB＝FC＝FB+BC＝2， 则CD＝BC+DB＝3． 故答案为：（1）＝；（2）＝ 25.【答案】（1）△BPQ是等边三角形； （2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形． 【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm， 当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm， ∵△ABC是边长为6cm的等边三角形， ∴AB＝6cm，∠B＝60°， ∴BP＝4cm， ∴BP＝BQ， ∴△BPQ是等边三角形； （2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t， 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°， ①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴BQ＝BP，即t＝， 解得：t＝2； ②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ， 即6﹣t＝t，解得：t＝4， 答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形． 26.【答案】D 【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等， ∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 27.【答案】C 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴BD+CD＝AC＝10． ∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8， 故选：C． 28.【答案】B 【解答】解：如图所示，连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠B＝∠EAB， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠C， ∴EA＝EC， ∴EC＝EB， ∴BC＝BE+CE＝2BE＝6， 故选：B． 29.【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝140°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°， ∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC， ∴∠BAE+∠FAC＝40°， ∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°， 故选：B． 30.【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线 ∴AE＝BE ∵∠C＝90°，∠A＝36° ∴∠EBA＝∠A＝36° ∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°． 31．【答案】． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D， ∴DB＝DA＝5， ∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4， 在Rt△ACD中，∵∠C＝90°， ∴AC＝＝＝3， ∴S△ABD＝×5×3＝． 故答案为：． 32.【答案】10°． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠EBA＝∠A＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°， 故答案为：10°． 33.【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为20cm， ∴AB+BC+AC＝20cm， ∵AC＝7cm， ∴AB+BC＝13cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴AB+BD＝DE+EC＝DC， ∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm ∴． 学科网（北京）股份有限公司 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