上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

七宝中学 2024 学年第一学期期中练习 高二数学 2024.10 一、填空题(本大题共有 12 题, 满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果. 1-6 题每个空格填对得 4 分, 7-12 题每个空格填对得 5 分, 否则一律得零分. 1. 直线 + + =x y1 : 3 2 01 与直线 + − =x y1 : 4 2 1 02 的夹角  的大小是 _____ . 2. 平行直线 − + =l x y: 3 4 1 01 与 − + =l x y: 6 8 1 02 之间的距离是_____ . 3. 若直线 1 的倾斜角  的取值范围是        2 3 , 2 ,则其斜率 k 的取值范围是 _____ . 4. 过抛物线 =y x42 的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线 1 与抛物线交于 A、B 两 点,则 | AB |=_____. 5. 若圆 + + − + = x y x y6 8 252 2 与 x 轴相切,则实数  的值是_____ . 6. 点 P 在焦点为 、F F ?1 2 的椭圆 + = 45 20 1 x y2 2 上,且 = FPF 901 2 ,则  =PF PF1 2 _____ . 7. 已知直线 + + + = + + + =l a x y a l x a y: 1 0, : 1 2 01 2 )()( ,若 l l/ /1 2 ,则实数 a 的值为 _____. 8. 已知 O 为坐标原点,若双曲线 − =   a b C : 1 a 0, b 0 x y 2 2 2 2 )( 的右支上存在两点 A B, ,使得 =AOB 60 ,则 C 的离心率的取值范围是_____ . 9. 直线 1 的方程为 + + − + − =  2 x 2 1 y 3 0)()()( ,当原点 O 到直线 1 的距离最大 时,实数  的值是_____ . 10. 等轴双曲线 = x y k ( k k0, 为常数) 在第一象限的焦点坐标是_____ . 11.若点 、F F  1 2 是椭圆 + = x y 4 3 1 2 2 的左、右焦点, P 为椭圆上一动点,点 A 的坐标 为 A 1,1)( ,则 1PAF 周长的最小值为 _____ . 12. 已知 F , F1 2 分别为双曲线 − =   a b 1 a 0, b 0 x y 2 2 2 2 )( 的左、右焦点,过 F2 的直线 1 与双曲线的右支交于 、B A? 两点 (其中 A 在第一象限), 1 2AF F 的内切圆半径为 1 1 2r , BF F 的内切圆半径为 r2 ,若 =r r21 2 ,则直线 1 的斜率为_____. 二、选择题 (本大题共有 4 题, 满分 18 分) 每题有且只有一个正确答案, 考生应将正确答 案写在答题纸的相应题号的空格上,13,14 题每个选对得 4 分,15,16 题每个选对得 5 分, 否则一律得零分. 13. 下列各组两个方程表示相同曲线的是（ ） A. = = x y x y , 1 B. = =y x y x, 2 C. = − =x y x y, 02 2 D. = =y x x y lg , 10 14. “ k 2,3)( ” 是 “方程 − − − = k 2 k 4 1 y x2 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆” 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在商场 A 正东 3 公里处新落成一家商场 B ,其占地面积是 A 面积的 3 2 ,研究表 明,在仅考虑 A 和 B 两家商场相互影响的情况下,其对周边住户的吸引程度 F 受其 面积 S , 及住户家离商场距离 d 的影响,满足关系: = d F kS 2 ,其中 k 是大于 0 的常数., 则相比于商场 A ,商场 B 对周边住户吸引力更强区域的形状为（ ） A.椭圆的内部 B. 双曲线右支的开口侧 C. 抛物线的开口侧 D. 圆的内部 16. 已知动圆 C 的方程为 − + − =  x cos y sin 2 2 )()( ,其中  为常数,   , 2 ) , 有下列两个命题: ① 存在   , 2 ) ,使圆 C 与圆 + + + = C : x cos y sin 11 2 2 )()( 相切; ②对任意   , 2 ) ,直线 + + = x y1: cos sin 1 0 上都存在点 P ,圆 C 上都存在两 点 A、 B ,使 ⊥PA PB .则（ ） A. ①②都为真命题 B. ①为真命题, ②为假命题 C. ①为假命题, ②为真命题 D. ①②都为假命题 三、解答题 (本大题共有 5 题, 满分 78 分) 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 17. (本题满分 14 分, 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分) 在 ABC 中,边 ,AB CD 上的高所在直线的方程分别为 2x 3y 1 0− + = 与 x y 0+ = , 点 A 的坐标为(1,2). (1)求边 BC 的高 AH 所在直线的一般式方程; (2)求边 BC 的中线 AM 所在直线的斜率. 18. (本题满分 14 分, 第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分) 若圆 C 过点 ( ) ( ) ( )O 0,0 ,A 4,0 ,B 2,2 , (1) 求圆 C 的一般方程; (2)求圆 C 关于直线 1: y 2x 3= + 对称的圆 C 的标准方程. 19. (本题满分 14 分, 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分) 如图, A 点是东西和南北走向两条相互垂直的道路 CD 和 MN 的交点, 假设一段铁路 从 A 点出发, 延曲线方向向东北无限延伸, 铁路上任意点 B 到 A 点正东 0.5 公里处的 一车站 F 与其到道路 MN 的距离之差均为 0.5 公里(道路与铁路的宽度均忽略不计). (1) 试建立合适的直角坐标系, 求铁路所在曲线 AB 的方程; (2)若在道路 CD 上位于 A 点正东 t 公里处有一仓库 T(t 为常数, t 0 ), B 为铁 路上任意一点,其到点 T 的距离为 BT d= ,求 d 的最小值,并求此时点 B 到道路 MN 的距离 (单位: 公里). 20. (本题满分 18 分, 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分) 如图,已知椭圆 ( ) 2 2 2 2 y x C : 1 a b 0 a b + =   的上、下焦点分别为 1 2F , F ,焦距为 2,离心 率为 2 2 ,称圆心 P 在椭圆 C 上运动,且半径为 2 2a b 3 + 的圆 P 是椭圆 C 的 “环 绕圆”. (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 记直线 1PF 与椭圆 C 的另一个交点为点 Q ,“环绕圆” P 的面积为 PS ,三角形 2PQF 的面积为 2PQFS ,试判断,是否存在点 P ,使 2 P PQF S S   = ,若存在,求满足条件的直 线 1PF 的条数, 若不存在, 请说明理由; (3) 若过原点 O 可作 “环绕圆” P 的两条切线,分别交椭圆 C 于 A?  B、 两点,直线 OA,OB 的斜率存在,记为 1 2,k k , 求 1 2k k 的取值范围. 21. (本题满分 18 分, 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分) 已知 ( ) ( )F p,0 , p 0 ,若点 N 到点 F 的距离和它到 y 轴的距离之比为常数 ( )0   ,记点 N 的轨迹为曲线  . (1) 若 p 2, 1= = ,求曲线  的方程; (2) 若 p 1= ,试根据  的不同取值,讨论曲线  的形状; (3)若 p 1, 2= = ,过点 F 且不与 x 轴垂直的直线 1 与  交于 ,A B 两点,若点 A 关于 x 轴的对称点为点 C ,求证: 直线 BC 恒过定点.