精品解析：江西省抚州市南城县第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（自强班）

高二自强班数学月考试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知三种不同型号的产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，若样本中型号产品有件，则为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 4. 如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上.若球的体积为，圆柱的高为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 设各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 31 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A. B. C. D. 7. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题 9. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 是锐角三角形 D. 的最大内角是最小内角的倍 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则 D. 若在区间上单调递减，则或 三、填空题 12. 定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________ 13. 设，为双曲线：（，）的左、右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线的离心率为______. 14. 已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为______________. 四、解答题 15. 某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以或获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为 （1）三个年级参赛人数各为多少？ （2）在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率 （3）记最后一场比赛中甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望 16. 已知椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作倾斜角的直线，直线交椭圆于点，求面积. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，. （1）证明：平面； （2）若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 19. 我们称（）元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为. （1）求和的值； （2）当为正偶数时，求的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二自强班数学月考试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的运算求出最后结果即可. 【详解】由题意可得，，则. 故选：B. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 3. 已知三种不同型号的产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，若样本中型号产品有件，则为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定型号产品的抽样比，再根据频数，频率，样本容量的关系求. 【详解】因为三种不同型号的产品数量之比依次为， 且用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本， 所以型号产品被抽的抽样比为：， 因为型号产品有件，所以，解得. 故选：B. 4. 如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上.若球的体积为，圆柱的高为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作球的截面大圆，得圆柱、圆锥的轴截面，由此求得圆锥的底面半径和高． 【详解】过球心作截面，得圆柱、圆锥轴截面，如图，球半径为，则，， 圆柱的高，则，，， 圆锥体积为． 故选：D． 5. 设各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，，首先判断，由等比数列求和公式得到方程，求出，再由求和公式计算可得. 【详解】设等比数列的公比为，， 当时，，，则，所以. 所以，整理得， 由于且，所以， 则，所以，则，所以. 故选：D 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求. 【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线, 则两个切点都在直线上,设两个切点分别为 则两个曲线的导数分别为, 由导数的几何意义可知,则 且切点在各自曲线上,所以 则将代入可得 可得 由可得 代入中可知 所以， 所以. 故选：D. 7. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】由题易知直线恒过， 圆化为标准方程得， 即圆心为，半径， 圆心到距离， 所以在圆内， 则直线与圆交点弦最大值为直径即8， 最小时即为圆心到直线距离最大， 即时，此时， 所以的取值范围为. 故选：D 8. 若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“”和“向量的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】向量，由向量的夹角为钝角， 即有，解得且， 即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”； “向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”； 故“”是“且”的必要不充分条件， 即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件． 故选：B． 二、多选题 9. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 是锐角三角形 D. 的最大内角是最小内角的倍 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项. 【详解】对于A，由正弦定理可得，A对； 对于B，由余弦定理可得，，， 所以，，B错； 对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对； 对于D，由题意知，为最小角，则， 因为，则，则，D错. 故选：AC. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，当Q与点重合时，四点共面，即可判断A；根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断B；利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可判断C；易知经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】A：如图，在正方体中，连接． 因为N，P分别是的中点，所以． 又因为，所以． 所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确； B：连接，当Q是的中点时，因为，所以． 因为平面平面，所以平面，故B正确； C：连接，因为，则 ，故C正确； D：分别取的中点E，F，构造长方体， 则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球． 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误． 故选：ABC 11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则 D. 若在区间上单调递减，则或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心， 所以，且①，B选项正确. 则， 所以 ， 由于是奇数，所以是偶函数， A选项错误. C选项，， 将代入得： ， 整理得， 由于在区间上有且仅有条对称轴， 所以，解得，由于，所以， 对应，所以C选项正确. D选项，在区间上单调递减， ， 将代入得： ， 整理得， 则，解得，而，所以或， 时，，符合单调性， 时，，不符合单调性，所以舍去 所以，所以D选项错误. 故选：BC 三、填空题 12. 定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________ 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得结果. 【详解】当 当 当 当 和为 故答案为：18 13. 设，为双曲线：（，）的左、右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过解三角形知识得出，将其代入双曲线方程，结合离心率公式即可得解. 【详解】如图所示，，， 过点作轴，垂足为，则， 在中，，， 即有，， 故点的坐标为， 代入双曲线方程得，即为， 的离心率. 故答案为：. 14. 已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设关于直线的对称点为，求出，要使的值最大，转化为（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，利用该直线过两点可得答案. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，故， 则圆关于对称的圆的方程为， 要使的值最大， 则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线， 且该直线过两点，如图， 其最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以或获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为 （1）三个年级参赛人数各为多少？ （2）在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率 （3）记最后一场比赛中甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望 【答案】（1）来自高一，高二，高三年级的参赛人数分别为3人，4人和5人 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的等比例性质列式求解即可； （2）分别求得最后一场比赛甲获胜与其前2局获胜的概率，再利用条件概率公式即可得解； （3）依题意得到的所有可能取值，分别求其对应概率得到分布列，再计算数学期望即可得解. 【小问1详解】 三个年级的参赛人数分别为， 故来自高一，高二，高三年级的参赛人数分别为3人，4人和5人. 【小问2详解】 记甲在最后一场获胜为事件，其前两局获胜为事件， 则， ， 故. 【小问3详解】 依题意，的所有可能取值为. ；； ；. ∴的概率分布列为： 3 2 1 0 ∴. 16. 已知椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作倾斜角的直线，直线交椭圆于点，求面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组并求解即得. （2）求出直线的方程，与椭圆的方程联立，求出纵坐标差的绝对值即可计算面积. 【小问1详解】 依题意，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由直线过点且倾斜角为，得直线的方程为， 由消去并整理得，易知， 设，则， 于是， 所以面积为. . 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，. （1）证明：平面； （2）若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【答案】（1）如图，取的中点O，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又，平面，平面，， 所以平面. （2）不存在，理由如下： 因为，O为的中点，，所以， 过点O作交于点E，则由平面,平面,可得， 则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设与，都重直的向量为， 则得 令，则， 设直线与直线的距离为d， 则， 则不存在点M和N使得. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解 （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 我们称（）元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为. （1）求和的值； （2）当为正偶数时，求的通项公式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由定义用列举法求、即可； （2）按照含0个数为1，3，…，进行讨论，可得，结合、的展开式，即可得的通项公式. 【小问1详解】 范数为奇数的二元有序实数对有， 它们的范数依次为1，1，1，1， 所以，. 【小问2详解】 当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数， 则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为1，3，…，进行讨论： 的个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为； 的个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为； … 的个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为1； 所以， 因为　①， 　②， ①-②得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $