精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题人：孙乐 审题人：郭玲玲 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，则命题为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 8. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_____________. 13. 已知是一次函数，且，求的解析式________________． 14. 我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合A={x|2m<x<1﹣m}，集合B={x|1<x<3}. （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数,已知当时, (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象,并写出函数的单调递增区间. 17. 已知函数， （1）证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在的单调性，并求函数在的值域. 18. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 19. 若函数为幂函数，且在上单调递减. （1）求实数m的值； （2）若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题人：孙乐 审题人：郭玲玲 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解. 【详解】由，， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查了集合的交运算，属于基础题. 2. 若命题：，则命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可. 【详解】命题是一个存在性命题，说明存在使的正数， 则它的否定是：不存在使的正数， 即对任意的正数都不能成立， 由以上的分析，可得为：， 故选：C. 3. 设，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式即可. 【详解】由得，即，解得. 故选:D. 4. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用两函数的定义域与对应关系相同时是同一个函数，逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为， 两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，因为，显然与的对应关系不相同， 所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，因为，显然与的定义域与对应关系都相同， 所以两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，因为，显然与的对应关系不相同， 所以两函数不是同一个函数，故D错误. 故选：C. 5. 已知，，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求得，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】令， 则，解得，则， 因为，所以， 因为，所以， 则，即. 故选：B. 6. 已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解， 【详解】由题意可知恒成立． ①当时，恒成立； ②当时，，解得． 综上：． 故选：C 7. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得函数在上为增函数且，不等式可转化为，再解该不等式即可得解. 【详解】因为函数在上为增函数且，又函数为奇函数， 故，函数在上为增函数且， 所以不等式可转化为，即， 所以或，解不等式得解集为. 故选：C. 8. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，且，1是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得，，再分析选项，即可判断出它们的真假. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，且，1是方程的两个根， 由根与系数的关系可得：，解得，， 所以，，故A错误； 对于B，由，即，而，则，即， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，则， 而，则，解得， 即不等式的解集是，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解； 对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果； 对C：直接利用基本不等式即可求得结果； 对D：取特殊值，即可判断正误. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是,故C正确； 对D：因为，且，显然满足题意， 此时有，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.令求解判断；B.分别令，求解判断；C.令利用函数奇偶性定义判断；D.令求解判断. 【详解】令，得，A正确. 令，得，所以. 令，得，所以，B正确. 令，得，所以是奇函数，C错误. 令，得，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 已知是一次函数，且，求的解析式________________． 【答案】或 【解析】 【分析】设，得到，对照系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 14. 我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】解：联立，解得， 联立，解得或， 联立，解得或， 作出函数的图象如图： 由图可知，则的最小值为. 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合A={x|2m<x<1﹣m}，集合B={x|1<x<3}. （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知得，列不等式即可求m的取值范围； （2）讨论、两种情况，列不等式求m的取值范围； 【详解】（1）， ， ，得 （2）， ∴当时，则有，即； 当时，则有或，即； 综上所述，m的取值范围是：. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数,已知当时, (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象,并写出函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2），的单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性求对称区间的解析式，设，再解的解析式. （2）根据分段函数图像画法，画出函数图像，再由分段判断单调性. 【详解】（1）设，则 又函数是定义在R上的奇函数， 解析式是. （2）分段函数，分段画图像，如下图 当时，是二次函数，开口向下，对称轴，在上单调递增，在上单调递减； 当时，是二次函数，开口向上，对称轴， 在上单调递增，在上单调递减. 又 故函数的单调递增区间为. 【点睛】（1）利用奇偶性和对称性，求对称区间上的解析式，要设好. （2）分段函数图像需分段讨论函数的对称轴及单调区间等等. 17. 已知函数， （1）证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在的单调性，并求函数在的值域. 【答案】（1） 由知，，定义域关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. （2） 在上是减函数，证明如下： 设，且， 则， ，，， ， 即， 所以函数在上单调递减， 因为函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以当时，，又， 所以，故函数值域为. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的定义证明即可； （2）利用定义法证明函数单调性，再由单调性求值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； （2）年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. 【小问2详解】 设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 19. 若函数为幂函数，且在上单调递减. （1）求实数m的值； （2）若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 【答案】（1）1 （2）①，在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. ② 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）①根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； ②利用①的结论求解抽象不等式即得. 【小问1详解】 由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. 【小问2详解】 ①略 ②由①知，在区间单调递增， 又由可得：，解得解得，所以实数t的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $