北京市第一○一中学2024-2025学年高三上学期数学统练四

试卷编号：11215　北京一零一中题库管理系统 Q9608 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四 班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿ 一、选择题共 10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合 M = {x | −3 < x < 1}, N = {x | −1 6 x < 4},则 M ∪ N = (　　　) (A) {x | −1 6 x < 1} (B) {x | x > −3} (C) {x | −3 < x < 4} (D) {x | x < 4} 2. 下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是 (　　　) (A) f (x) = sin x (B) f (x) = cos x (C) f (x) = √ x (D) f (x) = x3 3. 已知 a = 20.3, b = log0.3 2, c = 0.5 0.3,则 (　　　) (A) c > a > b (B) c > b > a (C) a > b > c (D) a > c > b 4. 在平面直角坐标系 xOy 中, 角 α 以 Ox 为始边, 点 P(−3, 4) 在角 α 终边上, 则错误的 是 (　　　) (A) sinα = 4 5 (B) cos 2α = 7 25 (C) sinα + cosα = 1 5 (D) tan α 2 = 2 5. 在平面直角坐标系 xOy中,已知 P(cos θ, sin θ), θ ∈ [0, π 2 ], A(1, 1),则 # – OA · # –OP的取值范围 是 (　　　) (A) [1, √ 2] (B) [0, 2] (C) [− √ 2, √ 2] (D) [ √ 2, 2] 6. 已知各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 S n, a1 = 1, lg an + lg an+1 = lg 2n, n ∈ N∗, 则 S 9 = (　　　) (A) 511 (B) 61 (C) 41 (D) 9 7. 已知 a, b是平面内两个非零向量,那么 “a ∥ b”是 “存在 λ , 0,使得 |a + λb| = |a| + |λb|” 的 (　　　) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 8. 假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 f 满足公式 f = 1 2 ρCS v2,其中 ρ是空气密 度, S 是该飞行器的迎风面积, v是该飞行器相对于空气的速度, C 是空气阻力系数 (其大 小取决于多种其他因素),反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率 P = f v. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四　第 1页（共 8页） 当 ρ, S 不变, v比原来提高 10%时,下列说法正确的是 (　　　) (A)若 C不变,则 P比原来提高不超过 30% (B)若 C不变,则 P比原来提高超过 40% (C)为使 P不变,则 C比原来降低不超过 30% (D)为使 P不变,则 C比原来降低超过 40% 9. 已知实数 a, b, c满足条件 a > b > c且 a+ b+ c = 0, abc > 0,则 1 a + 1 b + 1 c 的值 (　　　) (A)一定是正数 (B)一定是负数 (C)可能是 0 (D)正负不确定 10. 已知函数 f (x) =  x|x| − 1, x 6 1,log2 x + 1, x > 1, g(x) = x ln x,若关于 x的方程 ( f (x)−2)(g(x)−m) = 0 恰有 3个不同的实数根,则实数 m的取值范围是 (　　　) (A) (− 1 e , 0) (B) (− 1 e , 1) (C) (0,+∞) (D) (1,+∞) 二、填空题共 5小题。 11. 已知复数 z满足 |z| = 1, |z − i| = 1,则 z的虚部为＿＿＿＿＿ . 12. 在平面直角坐标系 xOy中, 角 α与角 β均以 Ox 为始边, 它们的终边关于原点对称. 若 α ∈ [ π 6 , π 3 ],则 cos β的最大值为＿＿＿＿＿ . 13. 使 lg a + lg b = lg(a + b)成立的一组 a, b的值为 a =＿＿＿＿＿ , b =＿＿＿＿＿ . 14. 已知在 Rt△AOB中, AO = 1, BO = 2, 如图, 动点 P是在 以 O 点为圆心, OB 为半径的扇形内运动 (含边界) 且 ∠BOC = 90◦; 设 # –OP = x # –OA + y # –OB, 则 x + y的取值范围 是＿＿＿＿＿ . 15. 目前发射人造天体,多采用多级火箭作为运载工具. 其做法是在前一级火箭燃料燃烧完 后,连同其壳体一起抛掉,让后一级火箭开始工作,使火箭系统加速到一定的速度时将人 造天体送入预定轨道. 现有材料科技条件下,对于一个 n级火箭,在第 n级火箭的燃料耗 尽时,火箭的速度可以近似表示为 v = 3 ln 10na1a2 · · · an (9 + a1)(9 + a2) · · · (9 + an) , 其中 ai = mp + n∑ j=i m j mp + n∑ j=i m j − mi (i = 1, 2, · · · , n). 注: mp 表示人造天体质量, m j 表示第 j ( j = 1, 2, · · · , n)级火箭结构和燃料的总质量. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四　第 2页（共 8页） 给出下列三个结论: ① a1a2 · · · an < 1;②当 n = 1时, v < 3 ln 10;③当 n = 2时,若 v = 12 ln 2,则 √ a1a2 > 6. 其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿ . 三、解答题共 6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16. 已知函数 f (x) = 2 √ 3 sin x cos x − cos 2x (x ∈ R). (1)求 f (x)的单调递增区间; (2)求 f (x)的最小正周期、函数图象的对称轴、对称中心; (3)设 x ∈ [0, π 3 ],求 f (x)的值域. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四　第 3页（共 8页） 17. 在各项均为正数的等比数列 {an}中, S n 为其前 n项和,且 a3 − a1 = 3, S 3 = 7. (1)求 an 和 S n; (2)设 bn = log2(S n + 1),记 Tn = b1 + b2 + · · · + bn,求 Tn. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四　第 4页（共 8页） 18. 设函数 f (x) = (x + 2) ln(x + 1) − ax,曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线斜率为 1. (1)求 a的值; (2)设函数 g(x) = f ′(x),求 g(x)的单调区间; (3)求证: x f (x) > 0. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四　第 5页（共 8页） 19. 在 △ABC中,角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且 cos C cos A = 2b − c a . (1)求角 A的大小; (2)若 a = 2 √ 3, b = 2, D为 BC边上的一点, ∠BAD = ∠CAD,求 △ABD的面积. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四　第 6页（共 8页） 20. 已知函数 f (x) = x + a ex . (1)求曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程; (2)求 f (x)在区间 [0, 1]上的最小值; (3)若 a > 0,当 x > 0时,求证: f (ln a − x) > f (ln a + x). 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四　第 7页（共 8页） 21. 已知 Am =  a1,1 a1,2 · · · a1,m a2,1 a2,2 · · · a2,m ... ... . . . ... am,1 am,2 · · · am,m  (m > 2)是 m2 个正整数组成的 m行 m列的数表,当 1 6 i < s 6 m, 1 6 j < t 6 m时,记 d(ai, j, as,t) = |ai, j − as, j| + |as, j − as,t|. 设 n ∈ N∗,若 Am 满 足如下两个性质: ① ai, j ∈ {1, 2, 3, · · · , n} (i = 1, 2, · · · ,m; j = 1, 2, · · · ,m); ②对任意 k ∈ {1, 2, 3, · · · , n},存在 i ∈ {1, 2, · · · ,m}, j ∈ {1, 2, · · · ,m},使得 ai, j = k, 则称 Am 为 Γn 数表. (1)判断 A3 =  1 2 3 2 3 1 3 1 2 是否为 Γ3 数表,并求 d(a1,1, a2,2) + d(a2,2, a3,3)的值; (2)若 Γ2数表 A4满足 d(ai, j, ai+1, j+1) = 1 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3),求 A4中各数之和的最小值; (3)证明: 对任意 Γ4 数表 A10,存在 1 6 i < s 6 10, 1 6 j < t 6 10,使得 d(ai, j, as,t) = 0. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四　第 8页（共 8页） 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案 1. (2024高考北京 1) C 2. (2024朝阳二模 2) D 3. (2024通州高一上期末 5) D 因为 a = 20.3 > 20 = 1,所以 a > 1; b = log0.3 2 < log0.3 1 = 0, b < 0; 0 < c = 0.5 0.3 < 0.50 = 1, 0 < c < 1. 所以 a > c > b. 4. (2023大兴高三上期中 6) B 由题意可知: sinα = 4√ (−3)2 + 42 = 4 5 , cosα = −3√ (−3)2 + 42 = − 3 5 , tanα = 4−3 = − 4 3 ,故 A正确;且 cos 2α = cos2 α − sin2 α = − 7 25 ,故 B错误; sinα + cosα = 4 5 + (− 3 5 ) = 1 5 ,故 C 正确; 因为 tanα = 2 tan α 2 1 − tan2 α 2 = − 4 3 ,整理得 2 tan2 α 2 − 3 tan α 2 − 2 = 0,解得 tan α 2 = 2 或 tan α 2 = − 1 2 ,且 2kπ + π 2 < α < 2kπ + π, k ∈ Z,则 kπ + π 4 < α 2 < kπ + π 2 , k ∈ Z,可 知 k为奇数时, α 2 为第三象限角; k为偶数时, α 2 为第一象限角,综上所述: tan α 2 > 0,即 tan α 2 = 2,故 D正确. 5. (2024西城高一下期末 6) A 6. (2024顺义一模 5) B 7. (2023海淀二模 9) C 8. (2024朝阳二模 8) C 9. B 因为 a > b > c且 a + b + c = 0, abc > 0,所以 a > 0, b < 0, c < 0, 且 a = −(b + c),所以 1 a + 1 b + 1 c = − 1 b + c + 1 b + 1 c ,因为 b < 0, c < 0,所以 b+c 6 −2 √ bc,所以− 1 b + c 6 1 2 √ bc , 又 1 b + 1 c 6 −2 √ 1 bc ,所以 − 1 b + c + 1 b + 1 c 6 1 2 √ bc − 2 √ 1 bc = − 3 2 √ bc < 0,故选 B. 10. (2024通州一模 10) A 11. 1 2 . 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案　第 1页（共 7页） 12. (2024高考北京 12) − 1 2 . 由题意 β = α + π + 2kπ, k ∈ Z,从而 cos β = cos(α + π + 2kπ) = − cosα,因为 α ∈ [ π 6 , π 3 ], 所以 cosα的取值范围是 [ 1 2 , √ 3 2 ], cos β的取值范围是 [− √ 3 2 ,− 1 2 ],当且仅当 α = π 3 ,即 β = 4π 3 + 2kπ, k ∈ Z时, cos β取得最大值,且最大值为 − 1 2 . 13. 2, 2 (答案不唯一). 14. [−2, 1]. 15. (2024丰台一模 15)②③. ①显然 ai > 1; ② v = 3 ln ( 10 a1 9 + a1 ) < 3 ln 10; ③ v = 3 ln ( 100 a1a2 (9 + a1)(9 + a2) ) = 12 ln 2, 解得 100a1a2 (9 + a1)(9 + a2) = 16, 即 7a1a2 − 12(a1 + a2) − 108 = 0;又 a1, a2 > 0,从而 a1 + a2 > 2 √ a1a2,令 √ a1a2 = t,则 7t2 − 24t − 108 > 0,解 得 t > 6或 t 6 − 18 7 (舍). 16. (1) f (x) = 2 √ 3 sin x cos x − cos 2x = √ 3 sin 2x − cos 2x = 2 sin(2x − π 6 ), 令 2kπ − π 2 6 2x − π 6 6 2kπ + π 2 , k ∈ Z,解得 kπ − π 6 6 x 6 kπ + π 3 , k ∈ Z, 所以函数的单调递增区间为 [kπ − π 6 , kπ + π 3 ] (k ∈ Z). (2) f (x)的最小正周期为 2π 2 = π. 令 2x − π 6 = kπ + π 2 , k ∈ Z得 x = kπ 2 + π 3 , k ∈ Z,故 f (x)的对称轴为 x = kπ 2 + π 3 , k ∈ Z. 令 2x − π 6 = kπ, k ∈ Z得 x = kπ 2 + π 12 , k ∈ Z,故 f (x)的对称中心为 ( kπ 2 + π 12 , 0) (k ∈ Z). (3)因为 0 6 x 6 π 3 ,所以 − π 6 6 2x − π 6 6 π 2 ,所以 − 1 2 6 sin(2x − π 6 ) 6 1, 所以 −1 6 2 sin(2x − π 6 ) 6 2,即 −1 6 f (x) 6 2,所以 f (x)在 [0, π 3 ]上的值域为 [−1, 2]. 17. (2023丰台高三上期中 17) (1)设等比数列 {an}的公比为 q (q > 0). 由已知得 a1q2 − a1 = 3, ① a1 + a1q + a1q2 = 7, ② 由① ÷②得 q 2 − 1 1 + q + q2 = 3 7 (a1 , 0),即 4q2 − 3q − 10 = 0. 解得 q = 2或 q = − 5 4 (舍). 代入①或②得 a1 = 1, 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案　第 2页（共 7页） 所以 an = 2n−1, S n = a1 · 1 − qn 1 − q = 2 n − 1. (2)由已知得 bn = log2 2 n = n, 所以 Tn = 1 + 2 + · · · + n = (1 + n)n 2 . 18. (2024平谷一模 20) (1)由题意得 f (x)的定义域为 (−1,+∞), f ′(x) = ln(x + 1) + x + 2 x + 1 − a, 因为 f ′(0) = 1. 所以 f ′(x) = ln 1 + 2 − a = 1,解得 a = 1. (2)因为 g(x) = f ′(x) = ln(x + 1) + x + 2 x + 1 − 1, g(x)的定义域为 (−1,+∞), g′(x) = 1 x + 1 − 1 (x + 1)2 = x (x + 1)2 , 令 g′(x) = 0,得 x = 0, g(x)与 g′(x)在区间 (0,+∞)上的情况如下: x (−1, 0) 0 (0,+∞) g′(x) − 0 + g(x) ↘ 极小值 ↗ 所以 g(x)在的单调递减区间为 (−1, 0),单调递增区间为 (0,+∞); (3)由 (2)得,在 x = 0时, g(x)取得最小值 1,所以 f ′(x) > 0恒成立, 所以 f (x)在 (−1,+∞)为增函数,又因为 f (0) = 0, 当 −1 < x < 0时, f (x) < 0,所以 x f (x) > 0; 当 x > 0时, f (x) > 0,所以 x f (x) > 0, 综上, x f (x) > 0. 19. (1)因为 cos C cos A = 2b − c a , 所以由正弦定理可得 cos C cos A = 2 sin B − sin C sin A , 即 sin A cos C = 2 cos A sin B − cos A sin C. 所以 sin A cos C + cos A sin C = 2 cos A sin B. 所以 sin(A +C) = 2 cos A sin B. 因为 sin(A +C) = sin(π − B) = sin B, 所以 sin B = 2 cos A sin B. 因为 B ∈ (0,π),所以 sin B , 0. 所以 cos A = 1 2 . 因为 A ∈ (0,π),所以 A = π 3 . 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案　第 3页（共 7页） (2)因为 ∠BAD = ∠CAD,所以 ∠BAD = ∠CAD = π 6 . 因为 a = 2 √ 3, b = 2, A = π 3 , 所以由余弦定理得 12 = 4 + c2 − 2 × 2 · c · 1 2 ,即 c2 − 2c − 8 = 0. 所以 c = 4. 因为 a2 + b2 = c2,所以 △ABC为直角三角形. 所以 B = π 6 . 所以 AD = BD = 2CD. 所以 S △ABD = 1 2 × AB × BD sin∠B = 1 2 × 4 × 4 √ 3 3 × 1 2 = 4 √ 3 3 . 所以 △ABD的面积是 4 √ 3 3 . 20. (2024昌平二模 20) (1)因为 f (x) = x + a ex , 所以 f ′(x) = 1 − a ex . 所以 f ′(0) = 1 − a, f (0) = a. 所以曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y = (1 − a)x + a. (2)由题知, f ′(x) = 1 − a ex = ex − a ex . ①当 a 6 0时, f ′(x) > 0在区间 [0, 1]上恒成立, 所以函数 f (x)在区间 [0, 1]上是增函数. 所以当 x = 0时, f (x)min = a. ②当 a > 0时,令 f ′(x) = 0,即 ex − a = 0, 所以 x = ln a. (A)当 ln a 6 0,即 0 < a 6 1时, f ′(x) > 0在区间 (0, 1)上恒成立, 所以函数 f (x)在区间 [0, 1]上是增函数. 所以当 x = 0时, f (x)min = a. (B)当 0 < ln a < 1,即 1 < a < e时, f ′(x)与 f (x)的情况如下: x (0, ln a) ln a (ln a, 1) f ′(x) − 0 + f (x) ↘ 极小值 ↗ 所以当 x = ln a时, f (x)min = ln a + 1. (C)当 ln a > 1,即 a > e时, f ′(x) < 0在区间 (0, 1)上恒成立, 所以函数 f (x)在区间 [0, 1]上是减函数. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案　第 4页（共 7页） 所以当 x = 1时, f (x)min = 1 + a e . 综上, f (x)min =  a, a 6 1, ln a + 1, 1 < a < e, 1 + a e , a > e. (3)方法一:设 g(x) = f (ln a − x) − f (ln a + x) = ln a − x + a eln a−x − (ln a + x + a eln a+x ) = −2x + ex − 1 ex , 所以 g′(x) = −2 + ex + 1 ex . 令 h(x) = −2 + ex + 1 ex ,则 h′(x) = ex − 1 ex . 因为 x > 0,所以 ex > 1, 0 < 1 ex < 1. 所以 h′(x) > 0,即 h(x)在 (0,+∞)上单调递增. 又因为 h(x) > h(0) = 0, 所以 g′(x) > 0. 所以 g(x)在 (0,+∞)上是单调递增. 所以 g(x) > g(0) = 0. 所以 g(x) = f (ln a − x) − f (ln a + x) > 0. 所以 f (ln a − x) > f (ln a + x). 方法二: 设 g(x) = f (ln a − x) − f (ln a + x) = ln a − x + a eln a−x − (ln a + x + a eln a+x ) = −2x + ex − 1 ex , 所以 g′(x) = −2 + ex + 1 ex . 因为 x > 0,所以 ex > 0, 1 ex > 0,且 ex , 1 ex , 所以 −2 + ex + 1 ex > 2 √ ex · 1 ex − 2 = 0. 所以 g′(x) > 0. 所以函数 g(x)在区间 (0,+∞)上是增函数. 所以 g(x)min > g(0) = 0. 所以 g(x) = f (ln a − x) − f (ln a + x) > 0. 所以 f (ln a − x) > f (ln a + x). 21. (2023朝阳高三上期中 21) 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案　第 5页（共 7页） (1) A3 =  1 2 3 2 3 1 3 1 2 是 Γ3 数表, d(a1,1, a2,2) + d(a2,2, a3,3) = 2 + 3 = 5. (2)由题可知 d(ai, j, ai+1, j+1) = |ai, j − ai+1, j| + |ai+1, j − ai+1, j+1| = 1 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). 当 ai+1, j = 1时,有 d(ai, j, ai+1, j+1) = (ai, j − 1) + (ai+1, j+1 − 1) = 1,所以 ai, j + ai+1, j+1 = 3. 当 ai+1, j = 2时,有 d(ai, j, ai+1, j+1) = (2 − ai, j) + (2 − ai+1, j+1) = 1,所以 ai, j + ai+1, j+1 = 3. 所以 ai, j + ai+1, j+1 = 3 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). 所以 a1,1 + a2,2 + a3,3 + a4,4 = 3 + 3 = 6, a1,3 + a2,4 = 3, a3,1 + a4,2 = 3. a1,2 + a2,3 + a3,4 = 3 + 1 = 4或 a1,2 + a2,3 + a3,4 = 3 + 2 = 5. a2,1 + a3,2 + a4,3 = 3 + 1 = 4或 a2,1 + a3,2 + a4,3 = 3 + 2 = 5. a1,4 = 1或 a1,4 = 2, a4,1 = 1或 a4,1 = 2. 故各数之和 > 6 + 3 + 3 + 4 + 4 + 1 + 1 = 22. 当 A4 =  1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2  时, 各数之和取得最小值 22. (例子不唯一) (3)由于 Γ4 数表 A10 中共 100个数字, 必然存在 k ∈ {1, 2, 3, 4},使得数表中 k的个数 T 满足 T > 25. 设第 i行中 k的个数为 ri (i = 1, 2, · · · , 10). 当 ri > 2时,将横向相邻两个 k用从左向右的有向线段连接, 则该行有 ri − 1条有向线段. 所以横向有向线段的起点总数 R = ∑ ri>2 (ri − 1) > 10∑ i=1 (ri − 1) = T − 10. 设第 j列中 k的个数为 c j ( j = 1, 2, · · · , 10). 当 c j > 2时,将纵向相邻两个 k用从上到下的有向线段连接, 则该列有 c j − 1条有向线段. 所以纵向有向线段的终点总数 C = ∑ c j>2 (c j − 1) > 10∑ j=1 (c j − 1) = T − 10. 所以 R +C > 2T − 20. 因为 T > 25,所以 R +C − T > 2T − 20 − T = T − 20 > 0. 所以必存在某个 k既是横向有向线段的起点,又是纵向有向线段的终点, 即存在 1 < u < v 6 10, 1 < p < q 6 10,使得 au,p = av,p = av,q = k, 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案　第 6页（共 7页） 所以 d(au,p, av,q) = |au,p − av,p| + |av,p − av,q| = 0. 北京一零一中 2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案　第 7页（共 7页）