北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高三上学期11月统练数学试题

试卷第1页 共 8 页 人大附中朝阳学校 2024～2025 学年度上学期高三年级统练试卷 数学试题 2024年 11 月 1日 出题人：金鑫 审题人：高爽 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 已知集合 ( )( ) | 3 1 0M x x x= + −  ，  | 2N x x=  ，则M N =（ ） A． ( 2,1]− B．[ 3,2)− C． ( 2,3]− D．[ 1,2)− 2. 下列函数既是奇函数，又在 (0, )+ 上单调递增的是（ ） A． 1 ( ) 1 f x x = − B． | |( ) 2 xf x = C． ( ) tanf x x= D． 1 ( ) 2f x x x = − 3. 若 | | 1,| | 2 , ( )a b a b a= = − ⊥ ，则向量 a 与b 的夹角为（ ） A．30 B．60 C．120 D．150 4. 设 nS 为等比数列  na 的前 n 项和，已知 3 4 2 32 2S a S a= − = −， ，则公比 q =（ ） A．2 B．-2 C． 1 2 D． 1 2 − 5. 下列命题中，真命题的是（ ） A．若a b ，则 1 1 a b  B．若 a b ，则 2 2a ab b  C．若0 a b c   ，则 log logc ca b D．若 2 2a b+ = ，则2 4 4 a b+  6. 设 , ,   是三个不同平面，且 ,l m   = = ，则“ //l m ”是“ / /  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. ( ) ( )22cosf x x b = + + 的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（ ） A． π , 1 2 b = = B． π , 1 2 b = = − C． π, 1b = = D． π, 1b = = − 8. 已知向量a，b 满足 3a b+ = ， 0a b = ，若 (1 ) ( )c a b  = + − R ，且 c a c b =  ，则 c 的最大值为（ ） A．3 B．2 C． 1 2 D． 3 2 9. 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一， 图 1 中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部 可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体 （图 2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ABCD．在 底面BCE 中，若 3, 120BE CE BEC= =  = ，则 该几何体的体积为（ ） A． 27 2 B． 27 3 2 C．27 D． 27 3 试卷第2页 共 8 页 10. 2024 年 1 月 17 日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射 3 小时后成功对接于空间站天和 核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体 追踪技术，设计了如下实验：目标 P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 7m 的 A， B两点各放置一个传感器，分别实时记录 A，B两点与物体 P的距离.科技小组的同学根据传 感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线 a，b所示. 1t 和 2t 分别是两个函数的 极小值点.曲线 a经过 ( ) ( )0 1 10, , ,r t r 和 ( )2 0,t r ，曲线 b经过 ( )2 2,t r .已知 21 1 2 1 2, 4m, 4srt r t r t= = = ， 并且从 0t = 时刻到 2=t t 时刻 P的运动轨迹与线段 AB相 交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线 AB所成夹角 的正弦值以及 P的速度大小分别为（ ） A． 6 13 , m / s 7 4 B． 6 13 , m / s 7 2 C． 2 3 5 , m / s 7 4 D． 2 3 5 , m / s 7 2 二、 填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.） 11. 复数 2＋i 1－2i = ；对应的点坐标为 ；虚部是 ；模 长为 ；共轭复数是 . 12. 已知角 x 在第二象限，且 4 sin 2 5 x   + = −    ， 则 tan 2x = . 13. 在 ABC 中， , ,a b c分别是角 , ,A B C 的对边，且 2a c b+ = ，则角 B 的取值范围为 ． 14. 设函数 ( ) 2 , 2 2 , 2x x a x f x a x  − +  =  −  （ 0a  且 1a  ）．给出下列四个结论： ①当 2a = 时，存在 t，方程 ( )f x t= 有唯一解； ②当 (0,1)a 时，存在 t，方程 ( )f x t= 有三个解； ③对任意实数a（ 0a  且 1a  ）， ( )f x 的值域为[0, )+ ； ④存在实数a，使得 ( )f x 在区间 ( ),a + 上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 ． 15. 已知数列 na 的前 n项和为 1, 1nS a = 且 ( ) 2 * 1 1, Nn na S n+ = +  ，给出下列四个结论：①长度分别 为 11, ,n na S+ 的三条线段可以构成一个直角三角形：② * 1N , 2nnn S −   ；③ * 2 1N , 2n n nn a a a+ +  +  ；④ * 1 1 π N , 2 cos 2 n n n n a a+ +  = .其中所有正确结论的序号是 . 试卷第3页 共 8 页 人大附中朝阳学校 2024～2025 学年度上学期高三年级统练试卷 数学答题纸 2024 年 11月 1日 姓名： 班级： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 85 分.） 16. （14 分（5+4+5））已知函数 2 2( ) sin 2sin cos cosf x x x x x= + − . （Ⅰ）求 ( )f x 的最小正周期； （Ⅱ）求不等式 ( ) 1f x  − 的解集； （Ⅲ）从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求 m的取值范围. ① ( )f x 在 (0, )m 有恰有两个极值点； ② ( )f x 在 (0, )m 单调递减； ③ ( )f x 在 (0, )m 恰好有两个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，0 分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分. 试卷第4页 共 8 页 17. （13 分（7+6））若△ ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组 这样的三个条件并解决下列问题： (Ⅰ)求边a的值； (Ⅱ)求△ ABC 的面积. 条件①： cos sina A b A= ； 条件②： 2b a= + ； 条件③： 1 sin 2 C = ； 条件④： 2 cos 10 3 12c C = − − . 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 试卷第5页 共 8 页 18. （14 分（4+5+5））如图，在三棱柱 1 1 1ABC A BC− 中， 1 2AC BC AB= = = ， 1AB ⊥平面 ABC ， 1AC AC⊥ ， D， E 分别是 AC ， 1 1B C 的中点． （Ⅰ）证明： 1 1AC BC⊥ （Ⅱ）证明： / /DE 平面 1 1AA B B； （Ⅲ）求DE 与平面 1 1BB C C 所成角的正弦值. A C1 A1 C B1 B D E 试卷第6页 共 8 页 19. （14 分（4+5+5））已知函数 ( ) lnaf x x x= ，其中 a为常数且 0a  . (Ⅰ)求曲线 ( )y f x= 在 1x = 处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数 ( )f x 的单调区间； (Ⅲ)当 1a = 时，若在点 0 0 0 1 ( , ( )) e M x f x x       处的切线 l分别与 x轴和 y轴于，A，B两点，O为坐 标原点，记 AOB的面积为 S，求 S的最小值. 试卷第7页 共 8 页 20. （15 分（4+5+6））已知 ( ) ( )2 1 eaxf x x x= − − 在 0x = 处的切线方程为 0x y b+ + = ． (Ⅰ)求实数 ,a b的值； (Ⅱ)证明： ( )f x 仅有一个极值点 0x ，且 ( )0 3 4 f x  − ． (Ⅲ)若 ( ) ( )1 ekxg x kx x= − − ，是否存在 k 使得 ( ) 1g x  − 恒成立，存在请求出 k 的取值范围，不存在 请说明理由． 试卷第8页 共 8 页 21. （15 分（4+5+6））已知有限数列 na ，从数列 na 中选取第 1i 项、第 2i 项、 、第 mi 项 （ 1 2 mi i i   ），顺次排列构成数列 kb ，其中 kk ib a= ，1 k m  ，则称新数列 kb 为 na 的长度为 m的子列．规定：数列 na 的任意一项都是 na 的长度为 1 的子列，若数列 na 的 每一子列的所有项的和都不相同，则称数列 na 为完全数列．设数列 na 满足 na n= ， 1 25,n n   N ． (Ⅰ)判断下面数列 na 的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16． (Ⅱ)数列 na 的子列 kb 长度为 m，且 kb 为完全数列，证明：m的最大值为 6； (Ⅲ)数列 na 的子列 kb 长度 5m = ，且 kb 为完全数列，求 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 b b b b b + + + + 的最大值．