陕西省宝鸡市三迪中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年陕西省宝鸡市三迪中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.在四边形ABCD中，，下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程时，配方后正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在平行四边形ABCD中，，，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6.下列命题中，真命题是(    ) A. 顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B. 顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C. 顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D. 顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则m为(    ) A. 11 B. C. D. 22 8.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作交AD于点E，已知，的面积为5，则AE的长为(    ) A. 2 B. 3 C. D. 9.原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎""，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等如图，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接DE，FG，有下列结论：①，②，③，④FG的最小值为其中正确结论的序号为(    ) A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题：本题共6小题，共20分。 11.关于x的方程是一元二次方程，则______. 12.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且，则的度数为______. 13.a是方程的一个根，则代数式的值是______. 14.如图，将一张长方形纸片ABCD沿AC折起，重叠部分为，若，，则重叠部分的面积为______. 15.如图，在中，，且，，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为______. 16.一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m的木门，当羊舍的面积是时，所围的羊舍与墙平行的边长为______ 三、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 解方程： ； 18.本小题5分 如图，已知线段利用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的对角线．保留作图痕迹，不要求写作法 19.本小题5分 已知关于x的一元二次方程，若是这个方程的一个根，求m的值和另一根. 20.本小题5分 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接求证：四边形BCDE为菱形． 21.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值. 22.本小题8分 如图，在中，，，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 23.本小题8分 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得连接过点B作，交AE于点F，连接 求证：四边形AFBO是矩形； 若，，求OF的长. 24.本小题9分 阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如：解方程： 解：设，则原方程可化为： 解得：， 当时，，； 当时，， 原方程的解是：，，， 上述解方程的方法叫做“换元法”.请用“换元法”解决下列问题： 解方程：； 解方程：； 解方程： 25.本小题12分 感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点点E不与点A、B重合，连接DE，过点A作，交BC于点F，易证：不需要证明 探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点点E，F不与正方形的顶点重合，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为若E为AB中点，，，求GH的长． 应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、方程的未知数的最高次数是1次，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选： 一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 2.【答案】A  【解析】解：，， 四边形ABCD是平行四边形， 当时，四边形ABCD为矩形对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A正确，符合题意； 当时，无法确定四边形ABCD为矩形，故选项B错误，不符合题意； 当时，无法确定四边形ABCD为矩形，故选项C错误，不符合题意； 当时，四边形ABCD为菱形，但无法确定四边形ABCD为矩形，故选项D错误，不符合题意； 故选： 根据，，可知四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定方法和各个选项中的条件，即可判断哪个选项符合题意． 本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是明确矩形的判定方法． 3.【答案】C  【解析】解：， ， ， 故选： 先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，，， 将线段AB水平向右平得到线段EF， ， 四边形ECDF为平行四边形， 当时，▱ECDF为菱形， 此时 故选： 证得四边形ECDF为平行四边形，当时，▱ECDF为为菱形，此时 本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得四边形ECDF为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或 故选： 观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； 顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，故B是真命题，符合题意； 顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，故C是假命题，不符合题意； 顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，故D是假命题，不符合题意； 故选： 根据平行四边形，矩形，菱形的判定定理逐项判断即可． 本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形的判定定理． 7.【答案】D  【解析】解：设方程的两个实根分别为a，b， ，， ，b分别是一个菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为11， ，即， 故选： 根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根的和为10，两根积为m，根据菱形的面积得到两根乘积为22，即可求出m值． 本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得到两根和是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：如图，连接BE， 由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 故选： 连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案． 本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 9.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：依题意，得， 即 故选： 10.【答案】C  【解析】解：①连接BE，交FG于点O， ，， 四边形EFBG为矩形， ，， 由题意可知：， 在和中， ， ≌， ， ，故①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ≌， ， 由①知：， ， ， ， ， ， 即：， 故②正确； ③由②知： 即：故③正确； ④点E为AC上一动点， 当时，DE最小． 由①知：， 的最小值为，故④错误． 故选： ①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得；由≌可得，所以；②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得，则；由，则；由四边形ABCD为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点E为AC上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知，所以FG的最小值为 本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 11.【答案】1  【解析】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得： 故答案为： 根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是正方形， ，， ， ， 故答案为： 根据四边形ABCD是正方形，可得，，再根据，即可求出的度数． 本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质等，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 13.【答案】2021  【解析】解：是方程的解， ， 即， 故答案为： 先利用一元二次方程的解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 本题主要考查了求代数式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，整体思想的运用是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：长方形纸片ABCD按图中那样折叠， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 在中，，即， 解得， 重叠部分的面积， 故答案为： 根据折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据勾股定理列式计算即可． 本题考查了折叠的性质，掌握折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等是解题的关键，注意三角形的面积公式的应用． 15.【答案】  【解析】解：如图，连接OD， 在中，，且，， 由勾股定理得， ，， ， 四边形DMAN是矩形， ，， 当时，AD的值最小， 此时， ， 的最小值为， 故答案为： 由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，AD的值最小，再利用三角形面积求出AD，即可解答． 本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等． 16.【答案】16  【解析】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则所围的羊舍与墙垂直的边长为， 根据题意得：， 解得：， ， 不符合题意，舍去， ， 故答案是： 设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则所围的羊舍与墙垂直的边长为，根据矩形的面积公式结合羊舍的面积是，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由矩形的长小于等于18m，即可确定x的值，此题得解． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17.【答案】解：移项得， ， 则或， ，； ， ，，， 则， ， ，  【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可； 利用公式法解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 18.【答案】解：如图所示，四边形ABCD即为所求作的菱形；   【解析】作AC的垂直平分线，垂足为O，然后截取即可； 本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是是这里玩五种基本作图，属于中考常考题型． 19.【答案】解：把代入原方程解得， 即方程为：， 解得：，， 原方程的另一个根为  【解析】把代入原方程得出，求出m的值，把m的值代入原方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的应用，关键是求出m的值． 20.【答案】证明：，E为AD的中点， ， ， 四边形BCDE是平行四边形， ，， ， 四边形BCDE是菱形．  【解析】由，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明即可解决问题． 本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型． 21.【答案】证明：， 无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 解：由根与系数的关系，得，， ， ， 即， 解得：，， 的值为：1或  【解析】先计算，从而可得结论； 由根与系数的关系可得，，再代入，建立方程求解即可． 本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知以上知识是解题的关键． 22.【答案】解：如图， 过点Q作于E，则 ， 设经过t秒后的面积等于， 则，， 根据题意， ， 当时，，，不合题意舍去，取 当点Q到达C点时，此时， 答：经过2秒后的面积等于  【解析】作出辅助线，过点Q作于E，即可得出的面积为，由P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题． 23.【答案】证明：四边形ABCD是菱形， ，，， ， ， 四边形AEBD是平行四边形， ， 四边形AFBO是平行四边形． ， ， ， 平行四边形AFBO是矩形． 解：由知四边形AFBO是矩形， ，， 又，， 在中，， ，   【解析】证四边形ADBE是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； 由矩形的性质得，，所以又由，，由直角三角形性质得在中，，由直角三角形性质得，即可得出结论． 本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 24.【答案】解：设，则原方程可化为： 解得：， 当时，， ； 当时，， 原方程的解是：，，； 设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ； 当时，， ； 原方程的解是：，，，； 设，则原方程可化为， 整理得， ， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：和， 经检验和，都是原分式方程的解．  【解析】设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； 设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； 设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 25.【答案】探究： 解：分别过点A、D作，，分别交BC、AB于点N、M，DM、AN相交于点L，如图②所示： 四边形ABCD是正方形， ，，， 四边形ANHG是平行四边形，四边形DFEM是平行四边形， ，， ， ≌， ， ， ， 为AB中点， ， ， ， ； 应用： ，   【解析】感知： 证明：四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ≌， ； 探究： 解：分别过点A、D作，，分别交BC、AB于点N、M，DM、AN相交于点L，如图②所示： 四边形ABCD是正方形， ，，， 四边形ANHG是平行四边形，四边形DFEM是平行四边形， ，， ， ≌， ， ， ， 为AB中点， ， ， ， ； 应用： 解：， ， 阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， 阴影部分的面积为：， 空白部分的面积为：， 在和中，， ≌， ，， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 即， ，即， 的周长为， 故答案为：， 感知：由正方形的性质得出，，证得，由ASA证得≌，即可得出结论； 探究：分别过点A、D作，，分别交BC、AB于点N、M，由正方形的性质得出，，，推出四边形DMEF是平行四边形，，，证出，同理，四边形AGHN是平行四边形，，，证得，由ASA证得≌，得出，推出，由E为AB中点，得出，则，由勾股定理得出，即可得出结果； 应用：，由阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，由SAS证得≌，得出，，则，，则，，设，，则，，由勾股定理得出，，即，得出，即可得出结果． 本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$