精品解析：福建省部分优质高中2025届高三上学期10月联考数学试题

2024-2025学年第一学期福建省部分优质高中 高三10月联考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合N的元素，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意得， 故， 故选：D 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，写出复数的标准式，结合虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可知，则其虚部为. 故选：A. 3. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ） A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 4. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台体积公式计算即得. 【详解】根据题意，可得该圆台的体积为: . 故选：B. 5. 函数的值域为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 6. “学如逆水行舟，不进则退心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过参考数据：，（ ） A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 【答案】B 【解析】 【分析】依题意得，利用对数的运算性质即可求解. 【详解】经过天后，“进步”的是“落后”的比， 所以，两边取以10为底的对数得，解得. 要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过11天. 故选：B 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断. 【详解】方法一：因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选:D. 方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除； 又，所以排除A. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解. 【详解】由得，， 所以，，即. 所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件. 如下图是一个周期为得函数， 得不出， 所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件. 所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：，则（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的焦距为10 C. 的离心率为 D. 的长轴长是短轴长的5倍 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质即可逐一求解. 【详解】对于椭圆：，可得， 故椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为， 长轴长为，短轴长为，故AD错误，BC正确. 故选：BC 10. 设函数的最小正零点为，则（ ） A. 的图象过定点 B. 的最小正周期为 C. 是等比数列 D. 的前10项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接将定点代入判断A，利用三角函数的周期公式判断B，利用整体代入法求得的零点，进而求得，再利用等比数列的定义判断C，利用等比数列求和公式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，令，得，所以， 整理得，即的零点为， 而是的最小正零点，则，， 显然，，， 所以是，的等比数列，故C正确； 对于D，的前10项和为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等体积法可知三棱锥的体积与的体积相等，且为定值，A正确；建立空间直角坐标系利用空间向量证明可知不存在点，使平面平面，即B错误；利用线面角的向量求法可得出，可得C正确；易知平面截正方体所得截面为五边形，求得该平面图形的面积即可. 【详解】对于A，易得平面平面，所以到平面的距离为定值， 又的面积为定值，所以三棱锥， 即三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，所以. 设平面的一个法向量， 则，令，解得1， 所以平面的一个法向量. 又，设，则， 所以. 设平面的一个法向量， 则，令，解得， 所以平面的一个法向量. 若平面平面，则，设，即， 解得，又，不符合题意， 所以不存在点，使平面平面，故B错误； 对于C，易得平面的一个法向量为， 又，所以 因为， 所以，所以的最大值为，故C正确； 对于D，在上取一点，使得， 在上取一点，使得，连接， 则平面截正方体所得截面为五边形，如下图所示： 易得， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：在求解动点相关的线面角问题时，经常利用共线定理得出直线方向向量的坐标表示，在求出线面角正弦值的表达式即可求出其取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为_______；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由百分位数的概念求解即可；由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将数据从小到大排列为：1，1，2，3，3，5，6，8，共个数， 由于，所以这组数据的第60百分位数为：； 从这组数据中任意抽取2个数据，则样本空间为： ， 共个样本点， 则这2个数据相等的有共个，所以不相等的有个样本点， 所以这2个数据不相等的概率为. 故答案为：； 13. 已知，的展开式中的系数为80，则展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的公式，直接计算可得答案. 【详解】的系数为，易知， 所以的系数为. 故答案为： 14. 在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为_________． 【答案】##1：8 【解析】 【分析】先根据勾股定理逆定理得到，再根据直角三角形中线性质找出外接球的球心，再结合球的截面距离分析，要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，只需球心到截面的距离最大即可． 【详解】 由题意知，， 由勾股定理可知，， 所以， 取的中点，所以， 所以四面体的外接球在斜边的中点处， 四面体的外接球的半径， 根据题意可知，过点作球的截面，若要所得的截面圆中面积最小， 只需截面圆半径最小，设球到截面的距离，只需球心到截面的距离最大即可， 而当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即， 取的中点，易知为等腰三角形， ，所以， 所以截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，球的表面积为， 所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由已知，结合正弦定理边角互化，再根据余弦定理求得即可求解； （2）由三角形面积公式求得，根据及余弦定理得出，再由完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理得，，即， 由余弦定理得，， 又，所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以，即， 由，则，即， 所以，即． 16. 已知直三棱柱中中，为正三角形，E为AB的中点，二面角的大小为. （1）求证：平面； （2）求直线BC与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可. 【小问1详解】 连接交于，连接，显然是的中点， 因为E为AB的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 设的中点为，连接交于， 因为为正三角形，所以也是正三角形， 所以有，因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面平面，而平面平面， 所以平面， 因为三棱柱是直三棱柱， 所以侧面是矩形，因此平面， 于是建立如图所示的空间直角坐标系，设， 所以， 设平面的法向量为， ， 所以有， 因为平面， 所以设平面的法向量为， 因为二面角的大小为， 所以有（负值舍去）， 则， 设直线BC与平面所成角的正弦值为， 所以. 17. 贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． （1）求． （2）求． （3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）100 （2）0.3 （3）分布列见解析，1.4 【解析】 【分析】（1）由平均数的求法，直接求出的值； （2）由正态分布的对称性即可算出结果. （3）由数据得出个人获赠个数对应的概率，在得到两个人总共获赠可能个数及其对应的概率，从而得出分布列和数学期望. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 【小问3详解】 设1人获赠贵妃杏的个数为，则． 依题意可得的可能取值为， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 所以. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：不是函数的极值点； （3）设u，v为正数，证明：. 【答案】（1）在单调递增 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数分析单调性即可； （2）假设是的极值点得到，然后求导得到时在上单调递增，即可说明不是函数的极值点； （3）根据函数和的单调性得到，，整理得，，然后两不等式相加即可证明原不等式成立. 【小问1详解】 根据题意有. 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 所以，在单调递增. 【小问2详解】 设，则， 若是的极值点， 则，，. 设，则， 由（1）可知，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，单调递增， 所以不是函数的极值点. 【小问3详解】 当时，，当时，. 因为是增函数，且由（1）可知，单调递增，. 所以，即①， 另有， 即②， 所以①＋②有. 【点睛】方法点睛：导数证明不等式方法： （1）构造函数：转化为求函数的最值问题； （2）放缩法：可以通过函数不等式，切线不等式进行放缩； （3）隐零点法：当导数零点不可求时可先证明零点存在，再用此零点代入求函数最小值. 19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为. 【解析】 【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程； （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求； （3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程. 【详解】（1）由椭圆，知. 根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆. （2）设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设. 由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得. ∴，则，而. ∴，即. 综上，恒有. （3）是椭圆上的两个动点且，设，则. 直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论. 若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有. ∴，，且， 由，解得. 若直线的斜率都存在，设，则. 由，得，有；同理，得. 于是，. 由，可得. 因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上. ∴该定圆的方程为圆. 【点睛】关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期福建省部分优质高中 高三10月联考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ） A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15 4. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数值域为（ ） A. B. C. D. 6. “学如逆水行舟，不进则退心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过参考数据：，（ ） A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：，则（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的焦距为10 C. 的离心率为 D. 的长轴长是短轴长的5倍 10. 设函数最小正零点为，则（ ） A. 图象过定点 B. 的最小正周期为 C. 是等比数列 D. 的前10项和为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为_______；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为______． 13. 已知，的展开式中的系数为80，则展开式中的系数为______.（用数字作答） 14. 在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为，求． 16. 已知直三棱柱中中，为正三角形，E为AB中点，二面角的大小为. （1）求证：平面； （2）求直线BC与平面所成角的正弦值. 17. 贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． （1）求． （2）求． （3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：不是函数的极值点； （3）设u，v为正数，证明：. 19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$