山东省枣庄市滕州市北辛街道北辛中学2024-2025学年上学期九年级期中测试数学试题

山东省枣庄市滕州市北辛中学中学2024-2025学年上学期 九年级期中模拟测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法不正确的是(    ) A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D. 正方形的对角线平分一组对角 3.地铁站有，两个入口，，，三个出口，则从入口进，出口出的概率是(    ) A. B. C. D. 4.关于的方程为常数的实数根的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个 5.定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 6.下列说法正确的是(    ) A. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形 C. 已知点为线段的黄金分割点，若，则 D. 中午用来乘凉的树影是中心投影 7.点把线段分成两部分，如果，那么的值为(    ) A. B. C. D. 8.小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形这个特殊的图形是(    ) A. 矩形 B. 三角形 C. 菱形 D. 正方形 9.如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点，分别在，上，若满足：：，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：；；；正确的有(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知、是一元二次方程的两个根，则的值为          ． 12.如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接若，，，则的最小值是__          ． 13.已知，是一元二次方程的两个根，则           ． 14.寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为          ． 15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高为          ． 16.如图，直线与坐标轴分别相交于点，，点在射线上，点在射线上，且，将沿直线翻折得到，连接若则的长为______． 三、计算题：本大题共1小题，共16分。 17.解下列方程：                                  ；直接开平方法    ；  配方法                              ；公式法   ．因式分解法 四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度． 画出绕原点顺时针旋转得到的，点的坐标是______； 以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为：，点的坐标是______； 的面积是______平方单位． 19.本小题分为了丰富学生在学校的课余生活，学校开展了合唱、手工、机器人编程、书法这四项活动依次用，，，表示，为了解学生对以上四项活动的喜好程度，学校随机抽取部分同学进行了“你最喜欢哪一项活动”的问卷调查，要求必选且只选一种并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图： 请补全条形统计图； 估计全校名学生中最喜欢手工活动的人数约为______人； 现从喜好机器人编程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档加入活动策划会，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率． 20.本小题分如图，已知点是▱的边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 若，求证：四边形为矩形； 在条件下，当再满足什么条件时，四边形为正方形． 21.本小题分已知：平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． 试说明：无论取何值方程总有两个实数根； 当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 22.本小题分如图，在四边形中，，为对角线的中点，过点作直线分别与四边形的边，交于，两点，连接，，使得平分． 求证：四边形为菱形； 当四边形是矩形时，若，，求的长． 23.本小题分某超市销售一种饮料，每瓶进价为元，当每瓶售价元时，日均销售量瓶经市场调查表明，每瓶售价每增加元，日均销售量减少瓶 当每瓶售价为元时，日均销售量为 瓶； 当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为元； 当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 24.本小题分 在矩形中，，，点是的中点，点是射线边上一动点，连接，交于点． 如图，连接，过点作交于点． 求证：∽； 求证：； 若，求的长； 如图，延长交的延长线于点，在点运动的过程中，交于点，使，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：对于选项A， 一组邻边相等的矩形是正方形， 该选项正确，不符合题意； 对于选项B， 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， 该选项不正确，符合题意； 对于选项C， 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴， 该选项正确，不符合题意； 对于选项D， 正方形的对角线平分一组对角， 该选项正确，不符合题意． 故选：． 本题考查了正方形的判定定理可对选项A，进行判断；根据正方形的轴对称性可对选项C进行判断；根据正方形的性质可对选项D进行判断． 此题主要考查了正方形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定方法和性质，理解正方形是轴对称图形且有条对称轴是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：列出表格如下： 入口 出口 由表可知，一共有种情况，从入口进，出口出的有种， 从入口进，出口出的概率， 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】根据题意可分当时和当时，然后利用一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：由关于的方程为常数可得： 当时，原方程为，故方程只有一个解， 当时，原方程为一元二次方程，则有： ， 该方程有两个不相等的实数根； 综上所述：该方程根的个数为个或个； 故选． 5.【答案】  【解析】【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， ， 方程有两个不相等的实数根； 故选B． 6.【答案】  【解析】解：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A不符合题意； 顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形，表述正确，故B符合题意； 如图，是的黄金分割点， 则，则， 或，则， ，故C不符合题意； 中午用来乘凉的树影是平行投影，故D不符合题意； 故选：． 本题根据菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义结合线段的黄金分割点有个，以及太阳光线是平行光线逐一分析判定即可． 本题考查的是菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义，平行投影的含义，熟记基础概念是解本题的关键． 7.【答案】  【解析】设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：据所得到图形的条边都是所剪直角三角形的斜边，并且相等，可得这个图形是菱形． 故选：． 由菱形的判定即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、剪纸问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 9.【答案】  【解析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】如图，设交于点， ：：， 可以假设，， 四边形是矩形， ， ∽， ，， ， ， ， 解得， ， 故选A． 10.【答案】  【解析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解． 【详解】解：在矩形中， ， ， ， 是边的中点， ， ， ，故正确； 如图，过作交于，   ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， 是的垂直平分线， ，故正确； 四边形是矩形， ，，， ，， ，故正确； ， ， ， ，且，， ，且， ， ， ， ， ， ，故错误． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了一元二次方程根的定义及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，． 根据一元二次方程根的定义得到，由根与系数的关系得到；然后代入求值即可． 【解答】 解：根据题意，得，． 则． 所以． 故答案是． 12.【答案】  【解析】【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出的最小值是解本题的关键． 连接，，，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当，，三点共线时，最小，进而得解． 【详解】连接，，，如图所示， 四边形是矩形，， ，， ， ， 是线段的中点，， ， ，， 四边形是矩形， ， 当，，三点共线时，最小， 此时，， 的最小值是． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：根据根与系数得，，， ． 故答案为：． 直接利用根与系数的关系求解． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 14.【答案】  【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，画树状图可得出所有等可能的结果数以及选择的两位老师中恰好有甲老师的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下 共有种等可能的结果，其中选择的两位老师中恰好有甲老师的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，丙甲，丁甲，共种， 选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 16.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查的是一次函数的图象上点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定和性质，菱形的性质和判定，分类讨论思想，翻折变换等有关知识，先求出，，然后利用勾股定理求出，第一种情况利用相似三角形的判定和性质求解即可；第二种情况当点在的延长线上时，如图，延长交轴于点，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定求出和，最后根据勾股定理可得结果． 【解答】 解：在中，令，得； 令，得，解得； ，． ，． 在中，根据勾股定理，得． 设交轴于点． ， ． ，． ． 由翻折的性质得． 四边形是菱形． ． ，∽． ，即． ，． ． 在中，根据勾股定理，得． 当点在的延长线上时，如图，延长交轴于点． ， ，． 由上种情况可知，四边形是菱形． ，． ． 又，， ． ，． ． 在中，根据勾股定理，得， 综上可得的长为或． 17.【答案】【小题】 解：，，，； 【小题】 ，，，，； 【小题】 ，，，， ，，； 【小题】 ，， ，，，．   【解析】 略  略  略  略 18.【答案】解：如图所示； ； 如图所示：； ；  ．  【解析】解：如图所示：； 故答案为：； 如图所示：； 故答案为：； ，，， ， 是等腰直角三角形， 的面积是：平方单位． 故答案为：． 利用旋转的性质得出旋转后图象进而得出答案； 利用位似图形的性质得出对应点位置即可； 利用等腰直角三角形的性质得出的面积． 此题主要考查了位似图形的性质以及旋转的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键． 19.【答案】解：抽取的学生人数为：人， 的人数为：人， 的人数为：人， 补全条形统计图如下： ； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好甲和丁被选到的结果有种， 恰好甲和丁被选到的概率为．  【解析】解：见答案； 估计全校名学生中最喜欢手工活动的人数约为人， 故答案为：； 见答案． 由的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题； 由全校学生人数乘以最喜欢手工活动的人数所占的比例即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好甲和丁被选到的结果有种，再由概率公式求解即可． 此题考查了用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】证明：在▱中，，， ， 为的中点， ， 在和中， ≌， ， ，即， 四边形是平行四边形； 证明：由知≌， ， ， ， ， ， ▱是矩形； 解：当为等腰三角形时，即时，四边形为正方形； 理由如下： 由可知四边形是矩形， ， 四边形为正方形邻边相等的矩形是正方形．  【解析】根据平行四边形的性质可得到，从而可得到，根据平行线的性质和对顶角的性质可得到两组角相等，已知点是的中点，从而可根据“”来判定≌，得到，从而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得证四边形是平行四边形； 根据全等三角形的对应边相等可证得，从而，由得，从而，得证▱是矩形； 矩形要想成为正方形，只需要一组邻边相等即可，由此可添加条件． 本题考查正方形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握基本知识点是解题关键． 21.【答案】证明：方程， ， 无论取何值方程总有两个实数根； 解：四边形是菱形，由临边相等可知关于的方程的两个实数根相等， ， ， 方程为， ， 即菱形的边长为．  【解析】利用根的判别式求出的符号进而得出答案； 利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案． 此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出的值是解题关键． 22.【答案】证明：，为对角线的中点，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形为平行四边形； 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形为菱形； 解：四边形是矩形， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得． 故D的长为．  【解析】根据全等三角形的性质得到，可得平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形； 根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到即可得到结论． 本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明≌． 23.【答案】【小题】 当每瓶售价为元时，每瓶售价增加元，日均销售量减少瓶，瓶 故答案为： 【小题】 设每瓶售价为元时，所得日均总利润为元，根据题意得：   解得：， 答：当每瓶的售价为元或元时，所得日均总利润为元 【小题】 设每瓶售价为元，日均总利润为元，根据题意得：   答：每瓶售价为元时利润最大，最大利润元．   【解析】  当每瓶售价为元时，每瓶售价增加元，日均销售量减少瓶，即可求解．   设每瓶售价为元，根据题意表示出每瓶利润，日销售量，根据等量关系列方程解答即可．   设每瓶售价为元，日均总利润为元，求出关于的函数表达式，配方即可求解． 24.【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ∽； 证明：由得：∽，， ， 点是的中点， ， ， ； 解：四边形是矩形， ， ， ， 又， ∽， ， ， ， ， 又， ∽， ， ， ； 解：如图， 作于， 四边形是矩形， ，， ，，∽，， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ．  【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 可证得，，从而得出∽； 根据∽得出，进一步得出结果； 可证得∽，从而，进而证明∽，从而，进一步得出结果； 作于，根据四边形是矩形可得出，，∽，进而求得，可证得∽，从而，进而得出，，，进而求得，根据，进一步得出结果． 第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$