甘肃省武威第二十三中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年甘肃省武威二十三中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若a是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.把方程化成一般式，则二次项系数a，一次项系数b，常数项c的值分别是(    ) A. 1，，10 B. 1，7， C. 1，，12 D. 1，3，2 3.将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为  (    ) A. B. C. D. 4.关于x的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人． A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 6.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 7.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 8.二次函数的图象如图所示，则下列结论 ①，②，③，④ 其中正确的有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 10.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致如图(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.二次函数的顶点坐标是______，______ 12.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则______. 13.关于x的方程是一元二次方程，则______. 14.若将方程化为，则______. 15.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米，求修建的路宽.设路宽为x m，可列方程______. 16.已知m是关于x的方程的一个根，则______. 17.已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为______. 18.设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为______. 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 19.已知关于x的方程，试按要求解答下列问题： 当该方程有一根为1时，试确定m的值； 当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围． 四、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题6分 用适当的方法解方程： ； 21.本小题6分 若m、n是方程的两个实数根，求的值. 22.本小题6分 已知二次函数的图象以为顶点，且过点 求该二次函数的表达式； 求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 23.本小题6分 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ 24.本小题8分 已知二次函数 用配方法将解析式化为的形式； 求这个函数图象与x轴的交点坐标. 25.本小题8分 如图，已知抛物线经过，两点． 求抛物线的解析式和顶点坐标； 点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 26.本小题8分 某商品店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件． 每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为240元？ 每件玩具的售价定为多少元时可是月销售利润最大？最大的月利润为多少元？ 27.本小题10分 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且 求抛物线的函数关系式； 求点A和顶点D的坐标； 若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求的最小值． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，若，方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； B.，若，方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； C.因为，所以肯定是一元二次方程，故本选项符合题意； D.，若，方程是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选： 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．将原方程展开化简即可得出. 【解答】 解：由方程，得 ， 、b、c的值分别是1、、 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题． 先把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到把点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式． 【解答】解：因为， 所以抛物线的顶点坐标为，把点向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的函数表达式为 故选 4.【答案】B  【解析】解： ， ，即， 方程有两个不相等的实数根． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得出方程有两个不相等的实数根． 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得 ，即， 解方程得，舍去 故选： 患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解． 本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的． 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了根据实际列函数关系式.需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为a，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为 【解答】 解：由题意得第二次降价后的价格是 则函数解析式是 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算、、1时的函数值，然后比较大小即可． 【解答】 解：当时，； 当时，； 当时，， 所以 故选 8.【答案】C  【解析】解：①该二次函数图象的开口方向向下， ； 故本选项错误； ②该图象的对称轴， ； 故本选项正确； ③该函数图象与y轴交于正半轴， ； 故本选项正确； ④该二次函数的图象与x轴有2个不相同的交点，依据根的判别式可知； 故本选项正确； 综上所述，正确的说法是：②③④，共有3个； 故选： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 9.【答案】C  【解析】解：根据题意设函数解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 函数解析式为， 故选： 待定系数法求解可得． 本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：对于A，由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； 对于B，由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； 对于C，由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； 对于D，由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选 根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 本题考查了一次函数和二次函数的图象． 11.【答案】2；  【解析】解： ， 二次函数的顶点坐标为 故答案为 先把进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标． 本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 12.【答案】2  【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为： 首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值即可． 此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 13.【答案】2  【解析】解：根据题意知， 解得：， 故答案为： 本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的概念，要特别注意二次项系数这一条件，当时，上面的方程就不是一元二次方程了． 14.【答案】3  【解析】解：在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 ， 配方，得 所以， 故答案为： 此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为1； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤： 形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． 形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方． 15.【答案】  【解析】解：设路宽为x m，那么余下耕地的长为，宽为， 根据面积可列出方程． 故答案为： 可以用平移的知识假设把路移动边上，那么余下耕地部分的长和宽可表示出来，设路宽为xm，根据面积可列出方程． 本题考查理解题意的能力，关键是余下耕地的长和宽表示出来，然后根据面积可列出方程． 16.【答案】6  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件. 根据m是关于x的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决. 【解答】 解：是关于x的方程的一个根， ， ， ， 故答案为 17.【答案】  【解析】解：由于函数对称轴为，而位于x轴上， 则设与x轴另一交点坐标为， 根据题意得：， 解得， 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 故答案是： 根据抛物线的对称性和为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标． 本题考查了抛物线与x轴的交点，要知道，抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称． 18.【答案】2  【解析】解：， ， ， 解得：或舍， 则， 这个直角三角形的斜边长为2， 故答案为： 将看做整体解方程得或舍，从而得出，即可得答案． 本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． 19.【答案】解：将代入方程得：， 解得：； 由方程有两个不相等的实数根，得到，且， 解得：且  【解析】将代入方程得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值； 由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围． 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 20.【答案】解：， ， 或， ，； ， ， ， 或， ，  【解析】因式分解法求解可得； 整理后因式分解法求解可得． 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 21.【答案】解：，n是方程的两实数根， 、，   【解析】由一元二次方程根与系数关系得、，再代入求值即可． 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 22.【答案】解：由顶点，可设二次函数关系式为 二次函数的图象过点， 点满足二次函数关系式， ， 解得 二次函数的关系式是； 令，则， 图象与y轴的交点坐标为  【解析】根据顶点，可设二次函数关系式为，然后代入B的坐标求得a的值，从而求得函数的解析式； 在二次函数的解析式中令，即可求得与y轴的交点的纵坐标，从而求得与y轴的交点坐标． 此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，抛物线与y轴的交点，以及坐标与图形性质，灵活运用待定系数法是解本题的关键． 23.【答案】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x米， 则平行于墙的一边的长为米， 由题意得， 化简得， 解得，， 当时，舍去， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为  【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，则可以得出平行于墙的一边的长为根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可． 本题考查一元二次方程的应用，以及矩形面积公式． 24.【答案】解：， ， ； 令，得， 解得，， 这条抛物线与x轴的交点坐标为，  【解析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可； 令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 25.【答案】解：把，代入， 得，解得， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为； ，， ， 设点P的坐标为， ， ， ， 当时，解得，，此时点P的坐标为或； 当时，方程没有实数解． 综上所述，此时点P的坐标为或  【解析】【分析】 把A，B两点的坐标分别代入，得，然后解方程组求出b，c的值，即可得出抛物线的解析式，配成顶点式即可得出抛物线的顶点坐标； 设点P的坐标为，利用三角形面积公式得到，然后分别解方程和，求出t的值，即可得到点P的坐标． 【点评】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的顶点坐标，三角形的面积等知识，运用待定系数法求出二次函数的解析式是解本题的关键． 26.【答案】解：设每件玩具的售价定为x元，月销售利润恰好为240元， 由题意得，， 解得：，或， 答：售价定为15元或17元时，利润为240元； 设每件玩具的售价定为x元时可是月销售利润最大，销售利润为y， 由题意得，， 即：， 定价为16元时，利润最大，最大利润为242元．  【解析】根据题意列方程即可得到结论； 把化成顶点式，求得当时，y有最大值，求出最大值即可． 本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程． 27.【答案】解：把代入中， 解得 抛物线的函数关系式是 当时， 解得，， ， 点A与点B关于对称轴对称，连接BC与对称轴的交点即为点 ， 当时，，   【解析】利用待定系数法确定函数关系式； 根据抛物线与x轴的交点坐标和抛物线顶点坐标公式解答； 因为点A与点B关于对称，所以连接BC，结合两点间的距离公式解答． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$