广东省江门市蓬江区陈白沙中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年广东省江门市蓬江区陈白沙中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.将一元二次方程配方后所得的方程是(    ) A. B. C. D. 4.若关于x的一元二次方程的一个解是，则a的值为(    ) A. 1 B. C. D. 2 5.将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 6.抛物线与y轴交点的坐标是(    ) A. B. C. D. 7.在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是(    ) A. 2，5 B. 2， C. 2，1 D. 2， 8.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 9.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.方程的解是______. 12.若关于x的函数是二次函数，则m的值为______. 13.若抛物线的对称轴是直线，则常数______. 14.篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为______. 15.已知：m，n是方程的两根，则______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 用适当的方法解下列方程： 17.本小题7分 已知函数 指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______ 当x______时，y随x的增大而增大 怎样移动抛物线就可以得到抛物线 18.本小题7分 关于x的一元二次方程，其根的判别式的值为求m的值. 19.本小题9分 已知关于x的二次函数的图象与x轴交于两点，两点，且图象过点 求这个二次函数的解析式； 求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 20.本小题9分 某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 21.本小题9分 如图，要用篱笆虚线部分围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米． 设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为，矩形苗圃ABCD面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； 当x为何值时，所围矩形苗圃ABCD的面积为？ 22.本小题12分 观察下列方程及其解的特征： 的解为； 的解为，； 的解为，； … 解答下列问题： 请猜想：方程的解为______； 请猜想：关于x的方程______的解为，； 下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为 下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程 23.本小题12分 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． 求m的取值范围； 已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：，其中，在的条件下，若和的角平分线交于点I，根据以上信息，求的面积． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、含有两个未知数，不符合题意； B、为一元一次方程，不符合题意； C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； D、，含有两个未知数，不符合题意； 故选： 只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断． 本题主要考查了一元二次方程的定义，用到的知识点为：一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程，并且二次项系数不为 2.【答案】A  【解析】解：二次函数为顶点式，其顶点坐标为 故选： 根据二次函数的顶点式的特点，可直接写出顶点坐标． 本题考查了二次函数的性质，把二次函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：， ， ， 故选： 配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为1； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得，然后解关于a的方程即可． 【解答】 解：把代入方程得，解得 故选： 5.【答案】D  【解析】【分析】 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：，即； 再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为：，即 故选： 【点评】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：当时，， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故选： 抛物线与y轴相交时，横坐标为0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标． 本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．令，可到抛物线与y轴交点的纵坐标，令，可得到抛物线与x轴交点的横坐标． 7.【答案】D  【解析】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是2和， 故选： 根据单项式的系数和多项式的项的定义得出答案即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是、b、c为常数，，②找项的系数和多项式的项带着前面的符号． 8.【答案】D  【解析】解：二次函数的对称轴为y轴， 和时的函数值相等， ， 时，y随x的增大而增大， ， 故选： 先判断出函数的对称轴为y轴，再根据函数的对称性，和时的函数值相等，再根据时，y随x的增大而增大解答． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确利用二次函数的对称性和增减性求解更加简便是解题关键． 9.【答案】D  【解析】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为x，由题意得： 故选： 关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额，把相关数值代入即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的． 10.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下.根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象. 【解答】 解：一次函数和二次函数都经过y轴上的， 两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误； 故选 11.【答案】0或4  【解析】解：原方程可化为：， ， 解得或4， 故答案为：0或 此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得，即可求解． 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12.【答案】3  【解析】解：由题意可得， 解得：， 故答案为： 根据二次函数的定义求解即可． 本题考查二次函数的定义，熟练掌握其概念是解题的关键． 13.【答案】1  【解析】解：由题知， 因为抛物线的函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线 又因为抛物线的对称轴是直线， 所以 故答案为： 根据所给函数解析式，得出二次函数的对称轴为直线，再结合所给抛物线对称轴是直线即可求出m的值． 本题主要考查了二次函数的性质，能根据所给函数解析式得出抛物线的对称轴为直线是解题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，x个球队比赛总场数为，即可列方程． 【解答】 解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得： 15.【答案】  【解析】解：，n是方程的两根， ，，，， ，， ， 故答案为： 根据m，n是方程的两根，可以得到，，，，进而得到，，再代入所求式子计算即可． 本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确两根之和与两根之积与系数的关系． 16.【答案】解：， 或， 解得：或； ， 或， 解得：或  【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键． 利用提公因式法因式分解可得； 利用十字相乘法因式分解可得． 17.【答案】向下，直线，； ； 将抛物线向左平移一个单位长度就可以得到抛物线  【解析】解：函数， 该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：向下，直线，； 函数， 当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； 将抛物线向左平移一个单位长度就可以得到抛物线 根据题目中的函数解析式可以解答本题； 根据二次函数的性质可以解答本题； 根据平移的性质可以解答本题． 本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18.【答案】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， 解得：不合题意，舍去，  【解析】由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出m的值是解题的关键． 19.【答案】解：二次函数的图象交x轴于、， 设该二次函数的解析式为： 将，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 即 ， 所以这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 最值为4，为最大值．  【解析】根据与x轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式； 把中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 20.【答案】解：设每件童装应降价x元，则     ， 解得，， 因为扩大销售量，增加盈利，减少库存， 所以x只取 答：每件童装应降价20元．  【解析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程，解方程就可以求出应降价多少元． 考查了一元二次方程的应用，首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 21.【答案】解：设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为，则， ，； 根据题意，得：， 解得：或， 答：当或时，所围矩形苗圃ABCD的面积为  【解析】一边AB的长为，则另一边，根据长方形面积公式可得函数解析式； 根据得出关于x的方程，解方程即可得． 本题主要考查二次函数的应用，根据面积公式得出函数解析式是解题的关键． 22.【答案】，； 或； 方程二次项系数化为1， 得 配方得， ，即， 开方得， ， 解得， 经检验，，都是原方程的解．  【解析】解：由题意知：方程的解为，， 故答案为，； 由题意知：或， 故答案为或； 见答案． 【分析】 解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数． 此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律． 配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为1； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 23.【答案】解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 由题意知：，恰好是等腰的腰长， ， ，是关于x的一元二次方程的两实数根， ， 解得， ， 解得， ， 的周长为：； 由知：的三边长为3，3，4， ， ， 过I分别作，，，垂足分别为F，D，E， 是角平分线的交点， ， ， 解得，   【解析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键． 根据，构建不等式求解即可； 由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用，构建方程求解m值，即可得一元二次方程，解方程可求解，，进而可求解的周长； 由海伦公式可求解的面积，过I分别作，，，垂足分别为F，D，E，利用角平分线的性质可得，结合的面积可求解ID的长，再根据三角形的面积公式计算可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$