河南省漯河市郾城第二实验中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年河南省漯河市郾城第二实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若关于x的方程是一元二次方程，则m的值不可能为(    ) A. 1 B. C. 0 D. 2 2.若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为(    ) A. B. 0 C. 2 D. 4 3.一元二次方程用配方法解方程，配方结果是(    ) A. B. C. D. 4.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. 且 C. 且 D. 5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 7.对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的.其中结论正确的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.如果抛物线的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于(    ) A. 8 B. 14 C. 8或14 D. 或 9.已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③；④ 其中正确的结论个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.函数和是常数，且在同一直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.方程的解是______. 12.若m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则______. 13.某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为y元，如果每次涨价的百分率都是x，那么y关于x的函数关系式为______. 14.已知二次函数，方程的两根分别为m，，方程的两根分别为p，，判断m，n，p，q的大小关系是______用“<”连接 15.如表记录了抛物线中两个变量x与y的5组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该抛物线有两个公共点，则k的取值范围是______. x … 1 3 … y … m 0 2 0 m … 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 解下列方程： ； ； ； 17.本小题8分 已知关于x的方程 求证：方程总有两个实数根； 若方程有一个不小于3的根，求实数k的取值范围. 18.本小题8分 已知二次函数 求函数图象的顶点坐标，与x轴和y轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； 根据图象直接回答：当x满足______时，；当时，y的范围是______. 19.本小题8分 如图，用长为22m的篱笆和一面墙墙的最大可用度为，围城中间有一道篱笆的矩形花圃.为了方便出入，在建造花圃篱笆时，在BC边上用其他材料做了宽1m的两扇小门. 设花圃的一边AB长为x m，请你用含有x的代数式表示另一边AD的长为______ 若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽. 在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到，请说明理由.猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 20.本小题8分 某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品． 求该商品平均每月的价格增长率； 因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每天的利润可达到4000元． 21.本小题8分 小明同学学习二次函数后，对函数进行了研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： 观察研究： ①方程的解为______； ②关于x的方程有四个实数根时，a的取值范围是______； 综合应用： 当函数的图象与直线有三个交点时，求出b的值； 延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 22.本小题8分 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系 求点P的坐标和a的值； 小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式. 23.本小题8分 如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点 求该抛物线的解析式； 当时二次函数的最大值与最小值的差为______； 已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：关于x的方程是一元二次方程， ， ， 的值不可能为 故选： 根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 本题考查了一元二次方程方程的定义，掌握一元二次方程方程的定义是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：将代入，得：， 故选 根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”，将代入可得答案． 本题考查一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解： ， 故选： 先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果． 本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：把原方程化为一般形式． 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】 解：根据题意得且， 解得且 故选 5.【答案】A  【解析】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得： ， 故选： 根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．理解题意列出方程是关键． 6.【答案】C  【解析】解：的图象的对称轴为直线，开口向下，离对称轴越远的点的纵坐标越小， 可知：点A离对称轴最远，点B离对称轴最近， ， 故选： 由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案． 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线，函数图象开口向上， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故①符合题意； 当时，y有最小值3，故②符合题意； 当时，即， ， ， 方程无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意； ， 图象是由抛物线向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意； 故选： 将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8.【答案】C  【解析】解：根据题意， 解得或 故选： 根据题意，知顶点的纵坐标是3或，列出方程求出解则可． 本题考查了求顶点的纵坐标公式，比较简单． 9.【答案】B  【解析】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， 由于抛物线的对称轴为直线，则；则，； ①正确， ③错误； 抛物线与x轴有2个交点， ，所以④错误； 时，， ，所以②正确． 故选： 由抛物线开口方向得到，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，由于抛物线的对称轴为直线，则；则；根据抛物线与x轴有2个交点得到；由于时，，于是有 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当 a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定，时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 10.【答案】C  【解析】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误．故选： 可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 11.【答案】，  【解析】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：， 利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键． 12.【答案】3  【解析】解：根据题意得，， 所以 故答案为： 根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 本题考查了根与系数的关系，熟知若，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由题意得：， 故答案为： 根据现在的价格等于原价乘以涨价的百分率的平方，即可得解． 本题考查了根据实际问题列函数关系式，正确找到等量关系了出函数关系式是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：二次函数的图象如右： 根据图可知， 故答案为： 画出二次函数的图象，结合图象即可判断出m，n，p，q的大小． 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是画出二次函数的图象，此题难度不大． 15.【答案】  【解析】解：由、可得抛物线对称轴， 又由、以及对称轴可得， 设抛物线交点式为， 即 ， ， ， 当时，； 当时，； 当时，最大值， 当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ， 故答案为： 根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与x轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论． 本题考查二次函数的应用，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键． 16.【答案】解：， ， ， 解得：，； 整理得， ，，， ， ， 解得：； 因式分解得， 或， 解得：，； ， ， 即， 或， 解得：  【解析】先移项，然后直接开平方法解方程，即可求解； 公式法解方程，即可求解； 因式分解法化为，即可求解； 因式分解法化为，即可求解． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17.【答案】证明： ， ，，， ， 方程总有两个实数根； ， ，，， ， ， ，， 方程有一个不小于3的根， ， 解得：  【解析】先求出根的判别式．.然后根据计算结果进行证明即可； 先利用公式法解一元二次方程，再根据方程有一个不小于3的根列出不等式，解不等式即可． 本题主要考查了一元二次方程利用根的判别式判断方程解的情况和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程根的情况和解一元一次不等式的一般步骤． 18.【答案】解：， 顶点坐标为， 对称轴为：直线， 当时，， 解得：或 它与x轴的交点坐标为和； 当时，， 它与y轴的交点坐标为； 如图所示： ，  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标，抛物线与坐标轴的交点，熟悉函数和方程的关系是解题的关键． 先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴；再令求出y的值，令求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； 根据中抛物线与y轴的交点及对称轴，由函数图象可得出结论． 【解答】 解：见答案； 当x满足时，；当时，y的范围是 故答案为； 19.【答案】  【解析】解： 故答案为：； 由题意得，， ， ， 解得或当时，， 不符合题意舍去，当时，，满足题意． 答：花圃长为9m，宽为 ①假设面积能够达到则可得方程，整理得，， ，方程无实数根．所以．面积不能达到 ②设花圃面积为，则， 因为，当时，S有最大值 答：花圃面积不能达到最大面积可做到 根据题目要求以及矩形的性质求解； 构建方程求解即可； 构建二次函数，利用二次函数的性质求解． 本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】解：设该商品平均每月的价格增长率为m， 依题意得，， 解得，舍， 答：该商品平均每月的价格增长率为； 依题意得，， 整理得， 解得，， 商家需尽快将这批商品售出， ， 答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．  【解析】设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 根据总利润=单价利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 本题考查一元二次方程的应用． 21.【答案】或或  【解析】解：观察探究： ①方程的解为为：或或； ②关于x的方程有四个实数根时，则a的取值范围是 故答案为：或或； 把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， 当函数的图象与直线有三个交点时，b的值为或； 将函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数的图象， 当时，自变量x的取值范围是或 根据图象即可求得； 求得直线经过点以及直线与函数相切时的b的值即可； 根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，根据图象即可得到结论． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． 22.【答案】解：在中，令得， 点P的坐标为； 把代入得：， 解得：， 的值是； ，， ， ， 在中，令得， 在中，令得舍去或， ， 选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．  【解析】在中，令可解得点P的坐标为；把代入得a的值是； 在中，令得，在中，令可得舍去或，由，即可得到答案． 本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征． 23.【答案】4  【解析】解：直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B， 令，得； 令，得：， 解得：， ，， 把点B的坐标代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； ， ，抛物线的开口向上， 时，y有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时二次函数的最大值为0，最小值为，差为， 故答案为：4； 如图，连接OM， 点M是抛物线上的一个动点，且横坐标为m， 点M的坐标为， 当时，，解得：，， 抛物线与x轴的两个交点坐标为，， 点M在第三象限内， ， ， 当时，S取得最大值 因此，S与m的函数表达式为：，，S的最大值为 利用一次函数求出点B的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； 先求二次函数的最小值，再求和时的函数值，从而确定二次函数的最大值，据此求解， 连接OM，用含m的代数式表示点M的坐标，根据割补法求面积即可． 本题主要考查二次函数的性质，二次函数的面积问题，二次函数与一次函数综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$