陕西省渭南市临渭区前进路初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年陕西省渭南市临渭区前进路中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是关于x的一元二次方程，则(    ) A. 2 B. 1 C. D. 2.在四边形ABCD中，，下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解下列方程，配方正确的是(    ) A. 可化为 B. 可化为 C. 可化为 D. 可化为 4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个相等的实数根 D. 没有实数根 5.已知是关于x的方程的一根，则C的值是(    ) A. 1 B. 2 C. 0 D. 6.菱形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则的周长为(    ) A. B. C. D. 3 7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(    ) A. B. C. D. 8.在矩形ABCD中，，，P是AD上的动点，于E，于F，则的值为(    ) A. B. 2 C. D. 1 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 9.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______. 10.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______. 11.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是______. 12.若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为______. 13.如图，在中，，且，，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为______. 14.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别在边DC、BC上，将、分别沿AE、AF折叠后，AB、AD重合于AG的位置，且点G恰好在EF连线上．若正方形边长为12，线段EF长为10，则CE的长为______. 15.如图所示，在中，，，，点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经______秒钟，能使的面积等于面积的 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 配方法解 公式法解 17.本小题8分 如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF， 求证：四边形ACFD是矩形； 若，，求四边形ABCE的面积. 18.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 如果方程的两个实数根为，，且，求m的值. 19.本小题8分 如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC边于点E、F， 求证：四边形AFCE是菱形； 若，，求EF的长. 20.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：方程有两个不相等的实数根； 若方程的一个根为，求k的值，并求出此时方程的另一根． 21.本小题8分 如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且，， 求证：四边形PMAN是正方形； 求证： 22.本小题8分 利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式的值总是负数，并求它的最大值. 23.本小题8分 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． ①若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？ ②当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 24.本小题8分 如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是、的平分线，且E、F分别在边BC、AD上， 求证：四边形AECF是菱形； 若，的面积等于，求平行线AB与DC间的距离. 25.本小题8分 如图，在矩形ABCD中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、设点P、Q运动的时间为t秒 当t为何值时，四边形ABQP是矩形； 当时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由； 直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值； 求整个运动当中，线段PQ扫过的面积是多少？ 26.本小题8分 如图，AC是正方形ABCD的对角线，，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒 当时，试求PE的长； 当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长； 在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：是关于x的一元二次方程， 且， 解得 故选： 根据一元二次方程的定义得到且，由此可以求得m的值． 本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2.【答案】C  【解析】解：A、，， 四边形ABCD是平行四边形， 由，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、，， 四边形ABCD是平行四边形， 由，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、， ， ， ， ，， 的长为AD与BC间的距离， ， ，， ， 四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意； D、， ，， ， ， ， 四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意； 故选： 由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、可化为，故选项错误； B、可化为，故选项错误； C、可化为，故选项错误； D、可化为，故选项正确． 故选： 利用完全平方公式的结构特点判断即可得到结果． 此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：， 方程没有实数根， 故选： 求出一元二次方程根的判别式；根据根的判别式即可判断根的情况． 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 5.【答案】D  【解析】解：根据题意知，满足关于x的方程得， 解得 故选： 将代入已知方程，列出关于C的新方程，通过解新方程来求C的值即可． 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及勾股定理的运用． 根据菱形的性质和等边三角形的判定方法，得三角形ABC是等边三角形．则，根据勾股定理求得AE的长，同理得到AF的长，根据已知可推出是等边三角形，从而得到其周长是 【解答】 解：连接AC， 四边形ABCD是菱形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为BC的中点， ，， 又，， ， 同理：， ，由对称性可知， ， 是等边三角形， ， 的周长为 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【解答】 解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意，得 菱形的边长 故选： 8.【答案】A  【解析】解：设， ，； ∽，故①； 同理可得∽，故②． ①+②得， 故选 根据∽；∽找出关系式解答． 此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可． 9.【答案】且  【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得且， 故答案为：且 当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 本题考查了一元二次方程为常数的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设每次降价的百分率为x， 由经过两次降价后每盒27元，得：， 解得：，舍去； 故答案为： 设每次降价的百分率为x，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 11.【答案】  【解析】解：两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，如图，作于点E，作于点F， ，，， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ，， ，， ， 同理：， ， 四边形ABCD是菱形， ， 故答案为： 首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案． 此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线． 12.【答案】  【解析】解：， ， 而， ， ， 故答案为： 根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，，则， 13.【答案】  【解析】解：如图，连接OD， 在中，，且，， 由勾股定理得， ，， ， 四边形DMAN是矩形， ，， 当时，AD的值最小， 此时， ， 的最小值为， 故答案为： 由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，AD的值最小，再利用三角形面积求出AD，即可解答． 本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等． 14.【答案】6或8  【解析】解：由图形折叠可得，， 正方形ABCD的边长为12， ， ， ， ， ， ， 在直角中， ， ， 解得，或8， 故答案为：6或 由图形折叠可得，，根据正方形的性质及线段的和差求出，在直角中，运用勾股定理求解即可． 本题主要考查了折叠问题、正方形的性质，解题的关键是找准线段的关系，利用勾股定理求解线段． 15.【答案】2或4  【解析】解：设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由题意，得 ， 解得：， 答：设经过2秒或4秒，的面积等于面积的 故答案是：2或 设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“使的面积等于面积的”，找到等量关系是解决问题的关键． 16.【答案】解：， ， ，即， ， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 或， ，； ， ， ， ， 或， ，  【解析】按要求的方法求解即可； 按题目要求的方法求解即可； 利用因式分解法求解即可； 利用因式分解法求解即可． 此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 17.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， ，， 为线段CD的中点， ， ≌， ， 四边形ACFD是平行四边形， ， 四边形ACFD是矩形； 解：，， ， 四边形ACFD是矩形， ，， ， ≌， 四边形ABCE的面积=平行四边形  【解析】证明≌，得，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； 根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由≌，可得四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD，进而可以解决问题． 本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 18.【答案】解：， 这里，，， ， 无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 设方程的两个实数根为，， 则， ，即， 整理，得 解得， 的值为或  【解析】先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； 先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可． 本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键． 19.【答案】证明：四边形ABCD是矩形， ， ， 是对角线AC的中点， ， 又， ≌， ， 又， 四边形AFCE是平行四边形， 又， ▱AFCE是菱形； 解：四边形ABCD是矩形， ， 在中， ，， ， 四边形AFCE是菱形， ，，， ， 令，则， 在中， ， ， 解得，即， ，   【解析】根据矩形的性质，利用ASA证明≌，得到，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得证； 勾股定理求出AC的长，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，再根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 20.【答案】证明：这里，，， ， 方程有两个不相等的实数根； 解：把代入方程得：4²， 解得：， 即方程为：， 设另一根为m，根据题意得：， 解得：  【解析】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证； 把代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根． 21.【答案】解： 证明：四边形ABCD是正方形， ，AC平分， ，， ，， 四边形PMAN是矩形， ， 四边形PMAN是正方形； 证明：四边形PMAN是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌，   【解析】由四边形ABCD是正方形，易得，AC平分，又由，，即可证得四边形PMAN是正方形； 由四边形PMAN是正方形，易证得≌，即可证得： 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的各种性质是证题的关键． 22.【答案】证明： ， ， ， 即无论x取何实数值，代数式的值总是负数， 当时，有最大值  【解析】先配方得到：，根据非负数的性质得到，，即可得到结论；并且时，有最大值 题考查了配方法的应用：对于求代数式的最值问题，先通过配方，把代数式变形成一个完全平方式加上一个数的形式，利用非负数的性质确定代数式的最值． 23.【答案】解：①根据题意得： 若降价6元，则多售出件， 则平均每天销售数量为：件， 答：若降价6元时，则平均每天销售数量为32件； ②设每件商品降价x元， 根据题意得： ， 化简得，， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，舍去， 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．  【解析】①根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，若降价6元”，列出平均每天销售的数量即可， ②设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 24.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， 、CF分别是、的平分线， ，， ， ， ， ， ， 四边形AECF是平行四边形， ， 四边形AECF是菱形； 解：连接AC， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的面积等于， ， ， 即， 由知四边形AECF是菱形， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 即， 由勾股定理得， 即平行线AB与DC间的距离是  【解析】根据平行四边形对角相等得到，再根据AE、CF分别是、的平分线，可得到，再根据平行四边形对边平行得到，于是有，得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形AECF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证； 连接AC，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得，结合已知得到是等边三角形，从而求出，，再证得，即可得到，根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离． 本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定． 25.【答案】解：在矩形ABCD中，，， ，， 由题意可得，，， 在矩形ABCD中，，， 当时，四边形ABQP为矩形， ， 解得：， 当时，四边形ABQP为矩形； 四边形AQCP为菱形；理由如下： ， ，， ，， ，， 四边形AQCP为平行四边形， 在中，， ， 平行四边形AQCP为菱形， 当时，四边形AQCP为菱形； 以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：或； 连接AC、BD，AC、BC相交于点E， 则整个运动当中，线段PQ扫过的面积是：的面积的面积，如图3所示： 的面积的面积矩形ABCD的面积， 整个运动当中，线段PQ扫过的面积矩形ABCD的面积  【解析】【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键． 由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可； 时，，，得出，，，，四边形AQCP为平行四边形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出结论； 分两种情况：求出正方形的边长为，则对角线PQ为，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可； 连接AC、BD，AC、BC相交于点E，线段PQ扫过的面积的面积的面积，即可得出结果． 【解答】见答案； 见答案； 正方形面积为96， 正方形的边长为：， ； 分两种情况： ①如图1所示：作于M， 则，，， 由勾股定理得：， ， ， 解得：； ②如图2所示： ，， ， ， 解得：； 综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：或； 见答案. 26.【答案】解：作于M，如图1所示： 则， 四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点， ，， ， ， 是对角线AC的中点， 是的中位线， ，， 当时，， ， ； 四边形PEQF是平行四边形， ，， 当点F恰好落在线段AB上时，， ， 为BC的中点， 是的中位线，， ， ， 动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C， ， ， ； 当▱PEQF为菱形时，，分四种情况： ①当时，作于M，于N，如图2所示： ，， ， 解得：舍去，或舍去； ②当时， 同①得：， 解得：舍去，或， ； ③当时，作于M，于N，如图3所示： ，， ， 解得：，或舍去， ； ④当时， 同③得：， 解得：舍去，或舍去； 综上所述：在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，t的值为或  【解析】作于M，由正方形的性质和已知条件得出，证出，得出EM是的中位线，由三角形中位线定理得出，当时，，求出，再由勾股定理求出PE即可； 由平行四边形的性质得出，，当点F恰好落在线段AB上时，得出，Q为BC的中点，得出EQ是的中位线，由三角形中位线定理得出，求出，，即可求出BF的长； 由菱形的性质得出，分四种情况：①当时，作于M，于N；②当时；③当时，作于M，于N；④当时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可． 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要通过作辅助线进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$