专题四二元一次方程与一次函数讲义2024-2025学年北师大 八年级数学上册

专题四 二元一次方程与一次函数 【知识点】 1. 二元一次方程与一次函数的关系 直线y= kx+b(k≠0)的表达式就是一个关于x，y的二元一次方程. 以二元一次方程y- kx=b的所有解为坐标的点组成的图象就是一次函数y= kx+b的图象. 2. 二元一次方程组与一次函数的关系 方程组 的解是函数y= kx+b与函数y= mx+n的交点的坐标. 3. 二元一次方程组与一次函数图象间的关系 若二元一次方程组有解，则对应的两个一次函数图象(直线) 有交点； 反之，若两个一次函数的图象(直线)有交点，则相对应的二元一次方程组有解； 若二元一次方程组无解，则对应的两个一次函数的图象 (直线) 无交点，即两直线平行； 若两个一次函数的图象(直线) 无交点，即两直线平行，则相对应的二元一次方程组无解. 即，关于x，y的方程组 的解与两条直线 的图象关系为： (1) 若 则两条直线l₁与l₂平行，它们没有交点，方程组无解； (2) 若 ，则两条直线l₁与l₂重合，方程组有无数个解； (3)若 则两条直线l₁与l₂必相交，方程组有唯一解. 题型1 二元一次方程与一次函数的关系 【例1】(1)下列四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程组x-2y=2的解的是( ) (2) 方程x+y=4的解有 个，以方程x+y=4的解为坐标的点组成的图形是 . 举一反三· 1.(1) 下列图象中，以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图象是( ) (2) 以方程 的解为坐标的所有点都在一次函数y= 的图象上. 题型2 二元一次方程组与一次函数的关系 【例2】如图所示，已知直线 与y轴交于点A，和直线( 交于点 根据以上信息解答下列问题： (1) 求a的值，并判断直线 是否也经过点 P，请说明理由； (2) 不解关于x，y的方程组 请你直接写出它的解. 举一反三。 2. 如图所示，直线 与直线 相交于点P(1, b). (1) 求b的值; (2) 不解关于x，y的方程组 请你直接写出它的解： (3) 直线 是否也经过点 P? 请说明理由. 题型3 二元一次方程组与一次函数图象的实际应用 【例3】甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶，为了确定汽车的位置，我们用数轴 Ox表示这条公路，原点O为0km路标(如图①所示)，并作如下约定： ①速度 v>0，表示汽车向数轴正方向行驶； 速度 v<0，表示汽车向数轴负方向行驶； 速度 v=0，表示汽车静止. ②汽车位置在数轴上的坐标s>0，表示汽车位于0km路标的右侧；汽车位置在数轴上的坐标s<0，表示汽车位于0km路标的左侧； 汽车位置在数轴上的坐标s=0，表示汽车恰好位于0km路标处. 遵照上述约定，将这两辆汽车在公路上匀速行驶的情况，以一次函数图象的形式画在了同一直角坐标系中，如图②所示. 请解答下列问题： (1) 就这两个一次函数图象所反映的两辆汽车在这条公路上行驶的状况填写如下的表格. 结 论 问项 车 别 行驶方向 速度的大小( km/h) 出发前的位置 甲车 乙车 (2) 甲乙两车能否相遇? 如能相遇，求相遇的时刻及在公路上的位置； 如不能相遇，请说明理由. 举一反三。 3. 如图所示，因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值. 为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水. 甲水库每个排灌闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q(万m³)与时间t(h)之间的函数关系. 求： (1) 线段BC的函数表达式： (2) 乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度： (3) 乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值? 题型4 直线平分面积问题 【例4】如图所示，两条直线分别为 直线 交于点A(6, 12), 点B在直线l₁上，其纵坐标为3. (1)求a, b的值; (2) 求点 B的坐标; (3) 求经过点 B且平分 面积的直线的解析式. 举一反三。 4. 如图所示，已知直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点. (1) 若 被直线 分成的两部分面积相等，求k的值： (2)是否存在直线. 分 所得的两部分的面积的比为1：5? 若存在，求k的值； 若不存在，请说明理由. 142 题型5 利用平行线转换面积 【例5】如图所示，直线. 分别交坐标轴于A，B两点，直线 分别交坐标轴于 C，D两点，点P为直线AB上的 一点. 若 求点 P的坐标. 举一反三。 5. 如图所示，直线AB 的解析式为 直线 BC的解析式为. ，点P为直线AB上的一动点，且 求点 P的坐标. 143 题型6 二元一次方程组与一次函数的综合应用 【例6】直线l: 上的一点A的横坐标为m, C(m, 3m), B(-2m, n). (1) 如图①所示, 当 时, 连接AB, AC. 若 求直线AB的解析式； (2) 如图②所示, 当 时, 在x轴、y轴上分别有两动点E, F. 若以点B, C, E, F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标： (3) 如图③所示，在(1)的条件下，直线l上点 A 左侧有一点D，且 连接AB, CD交于点P，求点 P的坐标. 举一反三。 6. 如图①所示，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点O是AB的中点，直线 过定点C，交x轴于点E. (1) 求正方形ABCD的边长; (2) 如图②所示, 当 时, 过点 C作CF⊥CE, 交AD于点F, 连接EF, BD相交于点H, BD交y轴于 G，求线段GH的长. (3) 如图③所示，在直线l上有一点 N， 连接AN, 点M为AN的中点, 连接BM, 求线段BM的长度的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$