7.5第2课时　三角形的外角及应用.课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

5　第2课时　三角形的外角 及应用 第七章 平行线的证明 第2课时　三角形的外角及应用 探究与应用 课堂小结与检测 第七章　平行线的证明 全品初中 探究　三角形的外角及其性质 [观察探索] △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为△ABC的外角,如图7-5-7,∠1是△ABC的∠ABC的外角.你能在图中画出△ABC的其他外角吗? 图7-5-7 解:能.如图,∠5是△ABC的∠2的外角,∠6是△ABC的∠3的外角. E F 6 5 探究与应用 [概括新知] 三角形的每个顶点处有　 　个外角,它们是对顶角,所以一 个三角形共有　　　个外角,通常每个顶点处取一个外角.  两 六 探究与应用 [思考验证] 在图7-5-7中,∠1与其他角有什么关系?能证明你的结论吗? 图7-5-7 解:∠1=∠2+∠3,∠1>∠2,∠1>∠3,∠1+∠4=180°. 证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理), ∴∠3+∠2=180°-∠4(等式的性质). ∵∠1与∠4互补,∴∠1+∠4=180°(互补的定义), 则∠1=180°-∠4(等式的性质), ∴∠1=∠2+∠3(等量代换),∴∠1>∠2,∠1>∠3. 探究与应用 [概括新知] (1)定理一:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的　　　　.  (2)定理二:三角形的一个外角　　　　任何一个和它不相 邻的内角.  和 大于 探究与应用 应用一　利用定理“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”证明平行线 例1 (教材典题)已知:如图7-5-8,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC. 求证:AD∥BC. 图7-5-8 探究与应用 证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C(已知), ∴∠C=∠EAC(等式的性质). ∵AD平分∠EAC(已知), ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 探究与应用 应用二　利用定理“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”求角的度数 例2 如图7-5-9,在△ABC中,∠A=38°,∠ABC=42°,BE平分∠ABC,∠E=19°. (1)求∠ECD的度数; 图7-5-9 解:∵∠ABC=42°,BE平分∠ABC, ∴∠EBC=∠ABE=21°. ∵∠ECD是△BCE的外角,∠E=19°, ∴∠ECD=∠E+∠EBC=40°. 探究与应用 (2)求证:CE平分∠ACD. 图7-5-9 证明:∵∠A=38°,∠ABC=42°,∠ACD是△ABC的外角, ∴∠ACD=∠ABC+∠A=80°. 由(1)得∠ECD=40°, ∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=40°, ∴∠ACE=∠ECD,∴CE平分∠ACD. 探究与应用 应用三　利用定理“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”证明角的不等式 例3 (教材典题)已知:如图7-5-10,P是△ABC内一点,连接PB, PC. 求证:∠BPC>∠A. 图7-5-10 探究与应用 证明:如图,延长BP,交AC于点D. ∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义), ∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义), ∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角). ∴∠BPC>∠A. D 探究与应用 学 方法 证明一个角大于另一个角的思路:找出与已知三角形有关的 外角,借助外角定理及不等式的传递性推出结论. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 数学问题 外角 三角形外角定理 发现 推理 验证 解决 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图7-5-11,下列角中是△ACD的外角的是(　　) A.∠EAD B.∠BAC C.∠ACB D.∠CAE C 图7-5-11 课堂小结与检测 2.图7-5-12①是一路灯的实物图,图②是该路灯的平面图的一部分,则图②中∠CBN的度数为 (　　) A.130° B.145° C.150° D.160° 图7-5-12 C 课堂小结与检测 3.如图7-5-13,△ABC的边AC的延长线上有一点D,F为边AB上一点,连接DF交BC于点E.若∠A=30°,∠D=40°,∠BED= 80°,求∠B的度数. 图7-5-13 解:∵∠A=30°,∠D=40°, ∴∠BFD=∠A+∠D=70°. 又∵∠BED=80°, ∴∠B=∠BED-∠BFD=10°. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$