精品解析：上海市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试 数学试卷 一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】由题意知，，又，所以. 故答案为：． 2. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由指对互换、对数运算法则即可求解. 【详解】若，则. 故答案为：. 4. 不等式“”是不等式“”的__________条件. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】求出不等式的解集，借助集合的包含关系，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式的解集为，不等式，即，其解集为， 而真包含于， 所以不等式“”是不等式“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 5. 已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有______个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合的包含关系确定集合中一定含有的元素以及可能含有的元素，从而得到其个数． 【详解】因为集合，所以集合M中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素， 所以或或， 所以满足条件的M个数为3. 故答案为：3. 6. 已知，那么等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 7. 已知，，则用，表示______ 【答案】 【解析】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 8. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 9. 命题“，”为真命题.则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将全称量词命题为真转化为恒成立问题，利用一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【详解】因为“，”为真命题， 所以不等式在上恒成立， 当时，，显然成立， 当时，有，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生.碳14原子经过衰变转变为氨原子.由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年.（四舍五入到0.1万年） 【答案】 【解析】 【分析】设第n个半衰期结束时，碳14含为，则可求的通项，再结合对数的运算可求化石距今的年数. 【详解】设第n个半衰期结束时，碳14含为， 由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为， 第二个半衰期结束时，碳14含量为； 以此类推，为以首项，公比为的等比数列， 所以第n个半衰期结束时，碳14含量为， 令，解得 所以这块化石距今约为年，即约为万年. 故答案为：. 11. 已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______. 【答案】 【解析】 【分析】先由条件求出，，得到或，若，则，不合题意；若时，则，由中各元素的和为256，且得到，，从而求出集合. 【详解】由，且， 得到只可能，即或， 由知，当时，， 而，则，故舍去， 则，∴，且， ∴或， ①若时，，不合题意； ②若时，此时，， 因，从而， 又，则，当时，无整数解， 当时，，所以. 故答案为：. 12. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 14. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理得到，再代入根据对数运算法则计算即可. 【详解】即，因为解集为， 则根据韦达定理知，即，则. 故选：D. 15. 若，，则下列不等式中一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用绝对值三角不等式，结合不等式性质可解 【详解】运用绝对值三角不等式， 由于，，运用不等式性质得到. 故. 故选：D． 16. 定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ） A. 甲乙都是真命题 B. 只有甲是真命题 C. 只有乙是真命题 D. 甲乙都不是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断. 【详解】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知集合，．若，，求，的值． 【答案】 【解析】 【分析】 先由求出，从而得到，结合可得，从而可得的值. 【详解】解：∵，∴．∴．∵，，∴．由 【点睛】本题考查集合的交并运算，属于基础题. 18. 设关于的方程的两个实根分别是. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则关于的方程的两根为和，根据计算可得； （2）列出韦达定理，再利用换底公式将化为，再结合的范围计算可得. 【小问1详解】 因为，即， 设，则关于的方程的两根为和， 所以，解得； 【小问2详解】 由韦达定理，得， 所以 ， 因为且，所以或， 所以或， 所以的取值范围为. 19. 近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. （1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ （2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】（1）第3年 （2）第7年平均利润最大，为12万元 【解析】 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. 【小问2详解】 首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 20. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． （1）老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； （2）研究的最小值； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）模仿例题，结合提示证明，由此可求结论； （2）先证明，由此可求的最小值； （3）先证明，由此可求的最小值. 【小问1详解】 由，结合提示可得，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为； 【小问2详解】 由，， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为． 【小问3详解】 由，知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取到最小值，最小值为． 21. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试 数学试卷 一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 若，，则______. 2. 不等式的解集是__________． 3. 若，则__________. 4. 不等式“”是不等式“”的__________条件. 5. 已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有______个. 6. 已知，那么等于______. 7. 已知，，则用，表示______ 8. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是____________． 9. 命题“，”为真命题.则实数的取值范围是______. 10. 碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生.碳14原子经过衰变转变为氨原子.由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年.（四舍五入到0.1万年） 11. 已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______. 12. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 14. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. C. 12 D. 15. 若，，则下列不等式中一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 16. 定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ） A. 甲乙都是真命题 B. 只有甲是真命题 C. 只有乙是真命题 D. 甲乙都不是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知集合，．若，，求，的值． 18. 设关于的方程的两个实根分别是. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 19. 近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. （1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ （2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 20. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． （1）老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； （2）研究的最小值； （3）当时，求的最小值． 21. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $