精品解析：北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期数学统练4

2024-2025高三上数学统练4 一.选择题（共10小题） 1. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 6. 已知向量与向量的夹角为120°，，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：） A. 48个月 B. 52个月 C. 64个月 D. 120个月 10. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（ ） A. 当运动时，二面角的最小值为 B. 当运动时，三棱锥体积不变 C. 当运动时，存在点使得 D. 当运动时，二面角为定值 二.填空题（共5小题） 11. 函数的定义域是_____________． 12. 在中，，则的面积为___________. 13. 在等比数列中，，则公比_______；若，则n的最大值为_________． 14. 已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______． 15. 对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质. （1）下列函数中具有性质的有___________. ① ② ③，（） ④ （2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________. 三.解答题（共2小题） 16. 在中，，. （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，边上的高为2 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设实数使得对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025高三上数学统练4 一.选择题（共10小题） 1. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则和复数模的计算公式进行求解即可. 【详解】， 所以， 故选：D 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的交运算求结果. 【详解】由题设. 故选：A 3. 下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、正弦函数及简单幂函数的性质及奇偶性定义判断各项函数的单调性、奇偶性. 【详解】A：由在定义域R上递增，但，不满足； B：由在定义域R上递增，且，满足； C：由在定义域R上不为增函数，不满足； D：由在定义域R上递增，但，不满足. 故选：B 4. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求得，进而得到结果. 【详解】，，，，. 故选：C. 5. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定条件说明、推理判断AB；利用面面平行的判定说明判断C,利用线面平行的判定说明判断D. 【详解】对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误； 对于B，由，得存在过直线的平面，，由于， 则平面与平面必相交，令，于是， 显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此，B正确； 对于C，,,,或异面，C错误； 对于D，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立，D错误. 故选：B 6. 已知向量与向量的夹角为120°，，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， 故选：B 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形内角的性质，结合正切函数的性质及充分、必要性定义判断推出关系. 【详解】由题设，若，则；若，则或或正切值不存在； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求. 【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为， 设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为， ∴细沙的体积为. 细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为， 则， 得. ∴. 故选：A. 【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题 9. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：） A. 48个月 B. 52个月 C. 64个月 D. 120个月 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以， 这种垃圾完全分解，即当时，有，即， 解得. 故选：B 10. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（ ） A. 当运动时，二面角的最小值为 B. 当运动时，三棱锥体积不变 C. 当运动时，存在点使得 D. 当运动时，二面角为定值 【答案】C 【解析】 【分析】对A：建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断；对B：利用棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积，即可判断. 对C：由反证法判断；对D：平面即为平面，平面即为平面，从而得出二面角为定值. 【详解】对A：建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 因为在上，且，， 可设，则， 则， 设平面的法向量为， 又，所以，即， 取，则， 平面的法向量为，所以． 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，在上单调递减， 所以，故， 当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故A说法正确． 对B：因为，点A到平面的距离为， 所以体积为，即体积为定值，故B说法正确． 对C：若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故C说法错误． 对D：连接，平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D说法正确． 故选：C 二.填空题（共5小题） 11. 函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 所以该函数的定义域为， 故答案为： 12. 在中，，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】运用余弦定理求出，最后根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由余弦定理可知： 或（舍去）， 所以的面积为：, 故答案为： 13. 在等比数列中，，则公比_______；若，则n的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】首先求出数列的公比、，即可得到数列的通项公式，再根据通项公式对分奇偶讨论，即可得解； 【详解】解：因为，所以，所以，即，所以；所以当为偶数时，，当为奇数时， 要使，所以且为奇数即且为奇数，所以或 故答案为：， 14. 已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空：通过展开整理，带入数据计算即可；第二空：设，通过展开整理，带入数据然后配方求最值. 【详解】 ; 若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点， 设， ， 当时，取最小值，且为. 故答案为：；. 15. 对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质. （1）下列函数中具有性质的有___________. ① ② ③，（） ④ （2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________. 【答案】 ①. ①②④ ②. 或． 【解析】 【分析】（1）令 ，由，可判断；由sinx=有解，可判断是否具有性质P；令=，此方程无解，由此可判断；由两图象在有交点可判断； （2）问题转化为方程有根，令，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数的取值范围． 【详解】解：（1）在时， 有解，即函数具有性质P， 令 ，即， ∵，故方程有一个非0实根，故 具有性质P； 的图象与有交点， 故sinx=有解，故具有性质P； 令=，此方程无解，故，（）不具有性质P； 令，则由两图象在有交点，所以有根，所以具有性质P； 综上所述，具有性质P的函数有：①②④； （2）具有性质P，显然，方程有根， 令，则，令，解得， 当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以的值域[ ，+∞），∴， 解之可得：或． 故答案为：①②④；或． 【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大． 三.解答题（共2小题） 16. 在中，，. （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，边上的高为2 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 若选条件①，的面积为；若选择条件②：的面积为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得，即可求解； （2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得的长，结合题意，即可求解. 【小问1详解】 解：由中，，且， 可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：若选条件①：，， 因为，由正弦定理得， 又由余弦定理，可得， 因为，代入解得，所以， 所以存在且唯一确定，此时的面积为. 若选择条件②：， 由正弦定理且，可得， 又由余弦定理，可得， 解得， 所以， 所以存在且唯一确定，此时的面积为. 若选条件③：，边上的高为2 因为，可得， 由余弦定理，可得，解得， 此时存在但不唯一确定，不符合题意. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设实数使得对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2），结论成立 （3）的最大值为2. 【解析】 【分析】（1）求导：，利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程： （2）利用导数证明不等式，实质利用导数求对应函数最值：，令，只需证 （3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值，这较繁且难，本题由（2）知时在（0，1）上恒成立，只需证明当时，在（0，1）上不恒成立，这样就简单多了． 【小问1详解】 ，利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知时在（0，1）上恒成立 当时，令则 当时，，即当时，在（0，1）上不恒成立 k的最大值为2． 【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $