精品解析：吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

东北师大附中2024-2025学年上学期 高一年级期中考试数学试卷 本试卷共2页，19小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上并粘贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集和并集的运算得出结果即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 故选：D. 2. 已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案. 【详解】当“ ”时，根据幂函数性质知在上单调递增，则充分性成立； 反之，若“在上单调递增”则“”，必要性也成立， 故“”是“在上单调递增”的充分必要条件， 故选：C. 3. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ） A. 12倍 B. 18倍 C. 36倍 D. 48倍 【答案】C 【解析】 【分析】设湖泊原来的蓝藻数为，结合题意，由指数幂的计算可得； 【详解】设湖泊原来的蓝藻数为， 由题意可得， 所以， 所以经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍， 故选：C. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 5. 已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作差可得A错误，D正确；，举反例可得B错误，由不等式的性质可得C错误； 【详解】对于A，， 因为，所以，所以，故A错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，故D正确； 故选：D. 6. 已知函数，则方程的解的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理分段求解即可. 【详解】当时，，即，令函数， 函数与都是减函数，因此函数在上单调递减， 而，则函数在上有唯一零点； 当时，，即，令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，则函数在上有唯一零点， 所以方程的解的个数是2. 故选：C 7. 若命题“，恒成立”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法，将不等式转化为则，令， 根据对勾函数的性质求函数的最大值即可求解. 【详解】由， 则，则， 又因为，所以， 所以恒成立， 令，则， 令， 根据对勾函数的性质可知， 在单调递减，单调递增， 且， 所以， 根据命题“，恒成立”为假命题， 所以， 故选：A. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作变形，再配凑，然后结合基本不等式求解即可； 【详解】由变形为， 由可得，解得或（舍去）， ， 当且仅当即时取等号， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数（且）为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为减函数 C. 的值域为 D. 的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解A，再根据指数函数的单调性求解B，根据指数函数的性质求解选项C，D. 【详解】因为，所以恒成立，所以函数的定义域为， 又因为函数为奇函数，所以，解得， 此时， ， 则函数为奇函数，所以，A正确； 因为， 是增函数，则为减函数，且 则为增函数，则是增函数，B错误； 因为， 所以，则， 则，则， 所以的值域为，C错误，D正确； 故选：AD. 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是9 D. 的最小值是2 【答案】BC 【解析】 【分析】由基本不等式可得A错误，B正确；由乘“1”法结合接本不等式可得C正确；作代换再结合基本不等式可得D错误； 【详解】对于A，，所以，当且仅当，即时取等号，故A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，，当且仅当即时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当时即时取等号，但此时，不符合题意，故D错误； 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 为偶函数 D. ，的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据易得，即可判断A；根据函数的图象关于直线对称，结合平移变换可得函数的图象关于直线对称，进而得到，，即可判断BC；结合对称性即可判断D. 【详解】因为， 所以，故A正确； 又函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称， 则函数的图象关于直线对称， 所以，又， 所以，即函数为奇函数， 所以的图象也关于直线对称，故B正确，C错误； 由于为奇函数，定义域为，所以， 结合上述对称性，可得，， 因此对于，的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出幂函数的解析式，将代入,求得解析式，然后求解函数值即可． 【详解】设幂函数为， 幂函数的图象过点， 可得解得 则，故答案为2． 【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题． 13. 若函数为增函数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的表达式中二次函数的单调性，对勾函数的单调性以及分段函数的函数值间关系解不等式组即可； 【详解】①若要单调递增，则，解得； ②若要单调递增， 当时，由飘带函数的特性可知在恒增； 当时，单调递增； 当时，由对勾函数的特性可知在上单调递增， 则，所以； 所以若要单调递增，； ③考虑，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 设函数，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先画出函数的图象，再结合题意，令，可得关于的方程有两个不相等的实数根，一个根在上，一个根为0或一个根在上，一个根为1或一个根在上，一个根在上，分类求解即可. 【详解】如图，画出函数的图象： 关于的方程恰有三个不相等的实根， 令，则关于的方程有两个不相等的实数根， 一个根在上，一个根为0或一个根在上，一个根为1或一个根在上，一个根在上. 当一个根在上，一个根为0时， 则，即，此时方程为，解得或，符合题意； 当一个根在上，一个根为1时， 则，即，此时方程为，解得，不符合题意； 当一个根在上，一个根在上时， 设， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出函数的图象，令，转化问题为关于的方程有两个不相等的实数根，进而分类求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设不等式的解集为，关于的不等式的解集为． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分式不等式的解法求解即可； （2）由题意可得是的真子集，再结合含参数的一元二次不等式的解法分类讨论即可； 【小问1详解】 由题意可得， 解得，所以集合. 【小问2详解】 由可得， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以当时，，解得； 当，不符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数的定义域为，且，均有．当时，． （1）证明：为减函数； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，比较与的大小并证明． 【答案】（1）证明：，且， 令，则， 所以， 即， 则，所以函数为减函数. （2） （3）,证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据减函数的定义证明； （2）根据函数的单调性解不等式； （3）根据为减函数，以及即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以由，可得， 因为，均有， 所以， 所以， 又因为函数为减函数，且定义域为， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，， 所以， 所以，即， 又因为函数为减函数， 所以， 根据，均有， 可将化为， 即. 17. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费． （1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； （2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ （3）该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？ 【答案】（1）； （2）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元； （3）5年. 【解析】 【分析】（1）按、分类写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）结合二次函数的性质、基本不等式，按、分类，分别求出函数最大值后即可得解. （3）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解. 【小问1详解】 当时，年利润； 当时，； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； 当时，， 当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而， 所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元. 【小问3详解】 设最短用年后还清所有贷款，依题意，，解得， 所以企业最短用5年还清所有贷款. 18. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． （1）求函数和的解析式； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解； （2）利用换元思想，令，则可将原不等式化为恒成立，其中，再令，，分类讨论二次函数的单调性求最值即可求解. 【小问1详解】 由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得. 【小问2详解】 因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 19. 已知函数是定义在上的奇函数．当时，（为常数），． （1）当时，求函数的值域； （2）已知函数的图象关于点中心对称． ①设函数，，求证：存在非零常数，使得； ②求方程的所有实根的和． 【答案】（1） （2）①证明：因为函数的图象关于点中心对称，为奇函数， 所以，， 则，则， 那么， 即存在非零常数，使得. ② 【解析】 【分析】（1）代入，，得到，再由二次函数的性质及奇函数的性质求出当时，，最后根据复合函数单调性求解即可； （2）①根据题意可得，进而求证即可； ②结合对称性转化方程为，令，则，进而转化为，进而结合其函数图象求解即可. 【小问1详解】 由于函数为上奇函数，那么，且， 则，则，则， 那么，由，则， 而函数为奇函数，那么时，， 综上所述，当时，， 由复合函数单调性可知:则. 【小问2详解】 ①略 ②由（1）知，，则， 即， 由， 即， 整理得， 令，则， 由（1）知，函数，，为周期为2的函数，， 则， 所以函数为奇函数，且当时，， 则，等价为， 等价为函数和的交点问题， 而函数为奇函数，周期为2，且当时，， 所以函数和的交点情况如下， 当时，函数和有1011个交点， 当时，函数和有1个交点， 则作为对称位置，当时，函数和有1011个交点， 所以函数和的交点一共有2023个， 即方程有2023个实数根，且所有的实数根之和为0， 则方程的所有的实数根之和为， 即方程的所有实根的和为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是转化方程为，进而换元结合的函数性质求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中2024-2025学年上学期 高一年级期中考试数学试卷 本试卷共2页，19小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上并粘贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ） A. 12倍 B. 18倍 C. 36倍 D. 48倍 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则方程的解的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 若命题“，恒成立”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数（且）为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为减函数 C. 的值域为 D. 的值域为 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是9 D. 的最小值是2 11. 已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 为偶函数 D. ，的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知幂函数的图象过点，则______． 13. 若函数为增函数，则实数的取值范围为______． 14. 设函数，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设不等式的解集为，关于的不等式的解集为． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数的定义域为，且，均有．当时，． （1）证明：为减函数； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，比较与的大小并证明． 17. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费． （1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； （2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ （3）该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？ 18. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． （1）求函数和的解析式； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数是定义在上的奇函数．当时，（为常数），． （1）当时，求函数的值域； （2）已知函数的图象关于点中心对称． ①设函数，，求证：存在非零常数，使得； ②求方程的所有实根的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $