第8章函数应用单元过关检测-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

2024-2025学年高一数学苏教版必修一单元过关检测 第8章 函数应用 一、选择题 1．下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( ) A. B. C. D. 2．若函数有两个零点，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 3．已知函数的零点为，的零点为，若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. 5．关于函数的零点，下列说法正确的是( ) A.是的一个零点 B.在区间内存在零点 C.只有2个零点 D.的零点个数与方程的解的个数不相等 6．若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 7．已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8．已知函数则函数的零点个数是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 二、多项选择题 9．声强级(单位：)由公式给出,其中I为声强(单位：),则下列结论中正确的是( ) A.女高音的声强级是75dB,普通女性的声强级为45dB,则女高音声强是普通女性声强的100倍 B.一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为,则人听觉的声强 级范围为 C.如果声强变为原来的2倍,对应声强级也变为原来的2倍 D.如果声强级增加10dB,则声强变为原来的10倍 10．氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则( )（参考数据：） A. B.经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后，样本中氚元素的含量为，则 11．某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）( ) A.当对折4次时，的最小值为64 B.当对折4次时，的最小值为32 C.一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次 D.一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次 三、填空题 12．对于函数，，设，.若存在，，使得，则称，互为“零点相邻函数”.若与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是____________. 13．已知函数若函数有5个零点，则实数m的取值范围为___________. 14．若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数a的值为___________. 四、解答题 15．为了做好流感预防工作，某学校要求全校各班级每天利用室外课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系为（a，b为常数），其图象经过点，，根据图中提供的信息，解决下面的问题. （1）求从药物释放开始，y与x的函数关系式. （2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时，才能保证对人身无害，若该校室外课间操时间为，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由. 16．某市某区大力开展民心工程，近几年来对全区的老房子进行“平改坡”（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年“平改坡”面积的百分比相等.若改造到原来面积的一半，所用时间需10年.已知到今年为止，“平改坡”剩余面积为原来的. （1）求每年“平改坡”的百分比. （2）问到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了多少年？（参考数据） 17．经济学中，函数的边际函数定义为，利润函数的边际利润函数定义为.某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数的边际利润函数. （2）利润函数与边际利润函数是否具有相等的最大值？ （3）你认为本题中边际利润函数取最大值的实际意义是什么？ 18．学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下： （1）函数的图象接近图示； （2）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； （3）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； （4）每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. （1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； （2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ （参考值：） 19．某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足关系式,其中,a为常数,已知销售单价为6元/千克时,每日可售出该商品220千克. （1）求a的值; （2）若该商品的进价为4元/千克,试确定销售单价x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出利润的最大值. 参考答案 1．答案：D 解析：当时，指数函数增长速度最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快. 2．答案：C 解析：由函数有两个零点，可知关于x的方程有两个不相等的实根.设，则，依题有关于t的方程有两个不相等的正实根，则解得，即实数a的取值范围为. 3．答案：D 解析：由题意可知，，，即.又，所以，则.又，则与均单调递增，所以由，可得.故选D. 4．答案：C 解析：可以把求函数，，的零点转化为求，，与的图象的交点的横坐标.在平面直角坐标系中分别画出，，与的图象，如图所示.由图象可知，，，所以. 5．答案：B 解析：函数零点是一个数值，而不是一个点，A错误；，，且的图象在R上连续，所以在区间内存在零点，B正确；，，，所以在区间内至少存在一个零点，且也是的零点，综上，至少有3个零点，C错误；的零点即方程的解，故两者个数相等，D错误. 6．答案：D 解析：由，得令作出函数及的图象，如图所示. 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，从而函数有3个零点.又对恒成立，即对恒成立，而，所以，所以. 7．答案：A 解析：因为，，所以，故，所以. 8．答案：C 解析：令，即，得或，则函数的零点，即方程和的根.函数的图象如图所示. 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点. 9．答案：BD 解析：设女高音声强为,普通女性声强为,则,所以①,, 所以②,则①+②得：,故女高音声强是普通女性声强的1000倍,A错误 , 因此人听觉的声强级范围为,B正确 由,当I变为2l,,C错误 设声强变为原来的k倍,则,解得,故选项D正确. 10．答案：CD 解析：由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD. 11．答案：AC 解析：令，则，则，即， 即当对折4次时，的最小值为64，故A正确，B错误； 当，时，， 所以该矩形纸最多能对折6次，故C正确，D错误， 故选：AC. 12．答案： 解析：因为，且在R上为增函数，所以只有唯一零点2.又，互为“零点相邻函数”，所以在上至少有一个零点.由，得.令，则，令.由，得.因为在上单调递增，所以当时，，所以 13．答案： 解析：若，则当时，可得，解得；当时，可得，则，解得.综上，x的值为或1.令，可得或，即或.由题意可知的图象与直线，共有5个交点.作出的图象，如图所示. 由图可得或解得，所以实数m的取值范围为. 14．答案：2或 解析：由题意，知有两个相等实根，所以，解得或. 15．答案：（1） （2）学校可以选用这种药物用于教室消毒 解析：（1）依题意，当时，设. 因为函数的图象经过点A，所以，解得. 又当时，，所以. 又图象过点B，则， 因此， 所以 （2）由（1）知，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时， 有，即，所以，解得. 因此至少需要后才能保证对人身无害，而室外课间操时间为，所以学校可以选用这种药物用于教室消毒. 16．答案：（1） （2）5年 解析：（1）设每年“平改坡”的百分比为x（）， 则，即，解得. 即每年“平改坡”的百分比为. （2）设到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了n年， 则，即，解得， 所以到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了5年. 17．答案：（1）（，） （2）不具有相等的最大值 （3）见解析 解析：（1）由题意得 （，）. 所以（，）. （2）， 或63时，. ， 时，， 与不具有相等的最大值. （3）边际利润函数当x取1时有最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大. 18．答案：（1） （2）29.25 解析：（1）对于模型①：由题意，有得. ， 当时，，不合题意， 对于模型②：的增长越来越快，图像越来越“陡峭”，不合题意. 对于模型③：由题意，有得， ， 该函数图像增长符合题设图像要求. 当时， ， 符合题意， 综上所述，最合适的模型是模型③，其解析式为. （2）由（1），令， 解得， 所以每天至少锻炼29.25分钟. 19．答案：（1） （2）当时,函数取得最大值,且最大值等于440. 解析：（1）因为.且时,. 所以解得.. （2）由（1）可知,该商品每日的销售量. 所以商场每日销售该商品所获得的利润： 因为为二次函数,且开口向上,对称轴为. 所以,当时,函数取得最大值,且最大值等于440. 所以当销售价格定为6元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大利润为440元. 学科网（北京）股份有限公司 $$