第6章幂函数、指数函数和对数函数单元过关检测-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

2024-2025学年高一数学苏教版必修一单元过关检测 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 一、选择题 1．下列函数既是幂函数,又在上单调递减的是( ) A. B. C. D. 2．已知函数在R上单调递增,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3．已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．已知函数 在上单调递增,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5．已知为幂函数,m为常数,且,则函数的图象经过的定点坐标为( ) A. B. C. D. 6．函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 7．若，，，则( ) A. B. C. D. 8．若函数的值域为R，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．设函数，且，则下列关系式不成立的是( ) A. B. C. D. 10．已知函数，，若，则下列结论可能成立的是( ) A. B. C. D. 11．已知函数，则下列说法正确的是( ) A.函数的图象关于点对称 B. C.函数在定义域上单调递增 D.若实数a，b满足，则 三、填空题 12．已知函数,则的单调递减区间为____________. 13．若函数为指数函数，则________. 14．已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________. 四、解答题 15．解下列不等式. （1）； （2）； （3）. 16．求函数的单调区间. 17．定义在D上的函数,若对任意,存在常数,都有成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.已知函数. （1）若是奇函数,判断函数是否为有界函数,并说明理由; （2）若在上是以为上界的函数,求m的取值范围. 18．已知函数为R上的奇函数.当时，(a，c为常数)，. （1）当时，求函数的值域： （2）若函数的图像关于点中心对称. ①设函数，，求证：函数为周期函数； ②若对任意恒成立，求的最大值. 19．设函数是定义域为的奇函数. （1）求的值; （2）若,求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围; （3）若函数的图象过点,是否存在正数,使函数在上的最大值为0,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 1．答案：D 解析：因为形如的函数为幂函数,显然A、C不符合定义,B、D符合幂函数定义; 又在上单调递减,在上单调递增,故D正确, 在上单调递增,在上单调递减,即C错误. 故选：D. 2．答案：B 解析：若,可知在内单调递增, 可知在内单调递增,可得对任意恒成立, 又因为在定义域内单调递增,可知在内单调递增, 由题意可得:,解得, 所以实数的取值范围是. 故选:B. 3．答案：A 解析：由于在上单调递增， 所以在上恒成立，即， 故选：A. 4．答案：B 解析：因为函数 在 上单调递增, 所以在上单调递增,所以. 且在恒大于0,所以或. 综上可知：. 故选：B. 5．答案：B 解析：因为幂函数的图象过定点,所以的图象经过定点. 6．答案：C 解析：由函数， 令，即，解得，即函数的定义域为， 令， 根据二次函数的性质，可得在单调递增，在上单调递减， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减， 即的递减区间为. 故选：C. 7．答案：D 解析：因为在定义域R上单调递增，且， 所以，即， 又因为在定义域R上单调递减，且， 所以，即， 所以. 故选：D. 8．答案：D 解析：函数的值域为R， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：D. 9．答案：ABC 解析：依题意，故可作出的图象如图所示： 由图可知，要使且成立，则有且，，故必有且.又，即，即，故D成立，C不成立；再由，结合指数函数的性质，知，，故A，B均不成立.故选ABC. 10．答案：ABD 解析：在同一平面直角坐标系中画出与的图象，如图所示.当时，，故A正确；当，时，若，则，故B正确；当时，，，，故C错误；当，时，若，则，故D正确. 11．答案：ABD 解析：，故，即的图象关于点对称，故，故A，B正确；的定义域为R，由于单调递减，且，而单调递增，所以为减函数，C错误；由，及为减函数，得，故，D正确. 12．答案： 解析：可由,复合而成, 由于函数在定义域内单调递增, 而函数在单调递增,在单调递减, 所以的单调递减区间为, 故答案为：. 13．答案：2 解析：因为函数为指数函数， 所以，解得. 故答案为：2. 14．答案：或 解析：复合函数可以看做，， 当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得； 当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得； 综上所述，或. 故答案为：或. 15．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）由题意可得，解得.所以原不等式的解集为. （2）因为，所以. 所以原不等式的解集为. （3）因为， 当时，函数在定义域内是增函数，所以总成立； 当时，函数在定义域内是减函数，由，得. 所以原不等式的解集为. 16．答案：单调递减区间是，单调递增区间为 解析：要使得有意义，则，即，解得， 所以，函数的定义域为， 令，则内层函数在上的增区间为，减区间为， 而外层函数在其定义域上为减函数， 所以，函数的单调递减区间是，单调递增区间为. 17．答案：（1）函数为有界函数 （2） 解析：（1）若是奇函数,则, 则, 所以恒成立, 所以是奇函数时,. 或者：由为奇函数,可得,则有,解得. 此时, 由,知,于是,则, 故时,, 所以,函数为有界函数. （2）若函数在上是以为上界的函数,则有在上恒成立. 故恒成立,即恒成立, 所以即 由题可知,不等式组在上恒成立. 因为在上单调递减,其最大值为; 又在上单调递减,其最小值为. 所以即,故m的取值范围是. 18．答案：（1）； （2）①证明见解析；② 解析：（1）由于函数为R上奇函数，那么，且， 则，则，则，； 那么，由，则， 而函数为奇函数，那么时，， 综上所述：当时，， 由复合函数单调性可知：则. （2）①由于，且， 由于，则， 那么， 则为R上周期为2的函数. ②由（1）可知，当时，，时，， 那么，时，； ，时，； 那么，，； 若要最大，仅需n最大，m最小， 从而考虑如下临界：由于，令， 则，此时； ，，； 当时，， ， 那么，， 令，（舍去）； 同理，时，， ， 那么，， 令，（舍去）； 从而，， 那么的最大值为. 19．答案：（1）; （2）; （3）不存在,理由见解析. 解析：（1）是定义域为R的奇函数 , ; （2）由（1）得, 由得又, 由得, 为奇函数,,, 为上的增函数, 对一切恒成立, 即对一切恒成立, 故,解得; （3）假设存在正数符合题意,由得 , 设,则, ,, 记, 函数在上的最大值为0, (i)若,则函数在有最小值为1, 对称轴,﹐不合题意; (ii)若,则函数在上恒成立,且最大值为1,最小值大于0, ①, 又此时, 又,故无意义, 所以应舍去; ②无解, 故不存在正数,使函数在上的最大值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$