3.4 曲线与方程 教案-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.4 曲线与方程 教案 学习目标 1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系； 2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； 3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤会求曲线的方程. 学习重难点 学习重点：理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念 学习难点：掌握求曲线方程的一般步骤会求曲线的方程 新课学习 解析几何与欧氏几何的区別在于，它是用代数方法研究、解决有关几何图形的问题.其基本思路是先将几何图形及其性质用代数语言来描述，利用代数运算的方法加以解决，再将所得的结果翻译成几何语言. 反过来，对一些代数问题，也可以用几何模型加以解释，用几何方法研究解决. 前面我们已经用解析几何的方法研究了圆、椭圆、双曲线、抛物线等平面曲线，回顾一下，我们研究的基本方法是： 1.在平面上建立适当的直角坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标. 2.由于曲线通常可以看成是满足一定条件的点的轨迹（即曲线上任意一点都满足此条件，而所有满足此条件的点都在曲线上)，于是将曲线上的点满足的几何条件转换成该点的坐标满足的代数等式，得到该曲线的方程. 曲线方程的定义： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解， (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线. 3.确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质. 我们称这种研究几何的方法为坐标法.基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想. 例1 如图，在圆上任取一点P，过点P向x轴作垂线段PD，D为垂足.求线段PD的中点M的轨迹方程. 分析：求点M的轨迹方程，就是求点M的横、纵坐标所满足的方程.我们可设出点M的坐标，利用中点坐标公式表示出点P的坐标，再代入点P所在的圆的方程，即可求出点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则 ， 因为点在圆上，所以 把，代入上述方程，得 即所求轨迹方程为 点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为3的椭圆. 例2 点与定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹. 解：设点到直线l的距离为d，由题意得 ， 由此得 将上式化简，得 ， 即 所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为的椭圆.如图所示. 例3 如图，已知点A，B的坐标分別为，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是，求点P的轨迹方程. 分析：设点P的坐标为，那么直线AP，BP的斜率就可以用含x，y的式子表示，然后利用两直线的斜率之间的关系，建立x，y之间的关系式，从而求解. 解：设点P的坐标为，由点A，B的坐标可得直线AP，BP的斜率分別为 ，. 由已知得 化简得点P的轨迹方程为 . 例4 已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分別交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. （1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，AR与FQ平行吗？ （2）若的面积是的2倍，求AB的中点的轨迹方程. 解：（1）由题意知.如图，设:，:，则，得，，，，. 由A，B两点的坐标可得直线AB的方程为 由于在线段AB上，故 . （1） 设直线AR的斜率为，直线FQ的斜率为，利用(1)可得 ，， 所以，从而. （2）如上图，设直线AB与x轴相交于点，则， 因为，于是 ， 解得 (舍去)或.即点D的坐标为. 设AB的中点为. 当AB与x轴不垂直时，由可得 ， 而，所以 . （2） 当AB与x轴垂直时，由抛物线的对称性可知，点E与点D重合，此时E点坐标符合方程（2）. 所以，所求的轨迹方程为. 课堂巩固 1.已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支 2.一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 3.已知过点的动圆P与直线相切，则到直线的距离为的圆心P的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 5.设点，，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值，若点M的轨迹是离心率为2的双曲线（除去点A，B），则m的值为( ) A.15 B.3 C. D. 6.设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切，过圆心C的轨迹E上的一点作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N，则的周长为__________. 7.若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则点M的轨迹方程是__________. 课堂总结 3.4 曲线与方程 曲线方程的定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线. 答案以及解析 1.答案：D 解析：设动圆C的圆心，半径为r，圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为2，由题意可得所以，根据双曲线的定义知，点C的轨迹为以，为焦点的双曲线的左支.故选D. 2.答案：A 解析：设动圆半径为r，圆心为M，根据题意可知，，，，，，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为和，其中，，，，所以，故动圆圆心的轨迹方程为，故选A. 3.答案：C 解析：由题意可知，动圆圆心的轨迹为抛物线，其方程为.又圆心P到直线的距离为，所以点P在与直线平行的直线上.设点P所在直线的方程为，则，所以.故点P所在直线的方程为或.联立消去y并整理，得，所以即抛物线与直线相切，此时点P为切点.联立消去y并整理，得，则，即抛物线与直线相交，此时点P有2个.因此满足条件的点P的个数为3.故选C. 4.答案：A 解析：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A. 5.答案：B 解析：设点，则，即，即.因为点M的轨迹是离心率为2的双曲线，所以，且，，所以.由，得.故选B. 6.答案：10 解析：设动圆C的半径为r，若动圆C与圆相内切，与圆相外切，则，，若动圆C与圆相外切，与圆相内切，则，， ，点C的轨迹是以，为焦点，2为长轴长的双曲线.即，，.圆心C的轨迹E的方程为.依题意得直线l的方程为，恰好经过，所以N在线段上，所以，，所以，又，所以，所以的周长为. 7.答案： 解析：将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，所以动点到点的距离与它到直线的距离相等.由抛物线定义可知，动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以直线为准线，开口向右，设其方程为，则，解得，所以抛物线方程为，即点M的轨迹方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$