3.3.1 抛物线的标准方程 教案-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.3 抛物线 3.3.1 抛物线的标准方程 教案 学习目标 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程； 2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合. 学习重难点 学习重点：抛物线的定义、标准方程 学习难点：抛物线标准方程的推导 新课学习 在初中，我们将二次函数的图象称为抛物线.在重力作用下的平抛或斜抛物体（比如田径场上推出的铅球、篮球场上投出的篮球、水池里喷出的水柱），其运动的轨迹都是抛物线的一部分. 怎样通过几何性质来刻画抛物线呢？ 实验 任给一个定点F和一条直线l，其中.设计适当的方法或装置画到F和l距离相等的点的轨迹，并观察轨迹的形状. 如图，将一直尺固定在直线l上，取一个直角三角板，以它的一条直角边靠紧直尺的一边l.在另一条直角边上取定点A，设三角板的直角顶点为C.再取一条长度正好等于AC的细线，将这条细线的一端固定在三角板上的点A处，另一端用大头针固定在点F处.用铅笔将细线绷紧，使铅笔尖贴在三角板的边AC之上.让三角板沿着直尺滑动，则铅笔尖所在的点P就画出所要作的轨迹的一段. 观察画出的轨迹的形状，我们可以猜想它是抛物线.实质上，它是抛物线的一部分.另外，从本章开篇的“数学实验”中可以知道，用平面截圆锥面也可得到抛物线，它也是一种圆锥曲线. 为了验证上述猜想，我们先设法求出轨迹的方程. 已知定点F与一条定直线l，.动点P到F与l的距离相等.建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹方程. 如图，过点F作直线l的垂线，交l于点D.设.取FD的中点O为原点，以的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系. 点到点的距离， 点到直线l的距离. 因此，所求轨迹的方程为. 如果以O为原点、的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则可得轨迹方程为，即，这是以x为自变量、y为因变量的二次函数，在初中数学中就知道它的图象是抛物线.而的图象是将开口向上的抛物线绕顶点沿顺时针方向旋转得到的. 1.抛物线的定义： 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程： 从上述过程可以看到，对于任意，焦点为，准线方程为的抛物线方程为 这个方程称为抛物线的标准方程. 按其他方式建立直角坐标系，可以得出抛物线其他形式的方程.如果建立的坐标系满足条件“原点是焦点到准线的垂线段的中点，一条坐标轴垂直于准线”，所得的抛物线方程就称为标准方程.这样的标准方程及其图象有如下四种情况. 3.抛物线方程的四种形式： 由上表可以看出，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的.如不特別声明，p表示抛物线焦点到准线的距离，而且以后谈到抛物线的标准方程时，总是指上表中这四种形式之一. 例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)，其中. 解：（1）方程具有标准形式，其中，从而，. 于是，焦点在x轴的正半轴上，且坐标为，准线方程为. （2）方程可化为，具有标准形式，其中，从而， 于是，焦点在y轴的正半轴上，且坐标为，准线方程为. 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点为； （2）准线方程为； （3）焦点在坐标轴上，经过点. 解：(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且， 即 . 因此，所求抛物线的标准方程为. （2）由准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且， 即 因此，所求抛物线的标准方程为. （3）若抛物线的焦点在x轴上，由于它过第三象限的点，可知抛物线开口向 （如图），因此可设其方程为 把点M的坐标代入，得到 解得.从而抛物线的方程为. 若抛物线的焦点在y轴上，由于它过第三象限的点，可知抛物线开口向下（如图），因此可设其方程为 把点M的坐标代入，得到 解得.从而抛物线的方程为. 因此，所求抛物线的标准方程为或. 课堂巩固 1.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是( ) A. B. C.或 D.或 2.已知抛物线上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和，则( ) A.2 B.2或4 C.1或2 D.1 3.若抛物线C的焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为( ) A. B. C. D. 4.已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为( ) A.4 B. C.2 D. 5.顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线过点，则该抛物线的方程是( ) A.或 B.或 C. D. 6.在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线恰好经过四个点，，，中的两个，则该抛物线的焦点坐标可以是__________. 7.过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线与C在第一象限内交于点A，点，若，则________. 新课总结 3.3.1 抛物线的标准方程 1.抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程：对于任意，焦点为，准线方程为的抛物线方程为，这个方程称为抛物线的标准方程. 答案以及解析 1.答案：D 解析：点在第二象限.当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为， 把的坐标代入解得，所以抛物线的标准方程为.当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为，把的坐标代入解得，所以抛物线的标准方程为.故选D. 2.答案：B 解析：因为抛物线上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以即代入抛物线方程可得，整理得， 解得或.故选B. 3.答案：A 解析：依题意可设C的标准方程为，因为C的焦点到准线的距离为3，所以，所以C的标准方程为.故选：A 4.答案：D 解析：因为A在抛物线上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦点坐标为，故所求距离为，故选：D. 5.答案：A 解析：当抛物线的焦点在x轴上时，因为抛物线过点，所以设抛物线的方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.当抛物线的焦点在y轴上时，因为抛物线过点，所以设抛物线的方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，即.综上，抛物线的方程为或. 6.答案：（答案不唯一） 解析：因为抛物线经过的点在第一象限，所以抛物线的方程为或.若抛物线的方程为，将点代入得，即，点在抛物线上，符合题意，所以抛物线的焦点坐标可以为.（注：答案不唯一，满足题目条件即可.） 7.答案：4 解析：由题意可知，令，则，故，由，得:，故答案为:4 学科网（北京）股份有限公司 $$