陕西省2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷3

2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷3 一．选择题（共10小题） 1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝3x B． C． D． 2．某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（　　） A． B ． C． D． 3．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：OD＝2：5，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　） A．16 B．20 C．24 D．28 5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图，下列条件不能判定△ACD与△ABC相似的是（　　） A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B 8．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 9．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD＝10，点F为AD的中点，FE⊥BD于E，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A． B． C． D．2 二．填空题（共6小题） 11．若，那么的值为 　 　． 12．在反比例函数图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是 　 　． 13．不透明的箱子里装有除颜色外完全相同的黑白两种颜色的塑料球共50个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7，据此可以估计箱子里黑球个数约是 　 　个． 14．已知P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），且AB＝10cm，则BP长为 　 　（cm）． 15．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为 　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第二象限内，BC＝2AB，反比例函数的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 　 　． 三．解答题（共7小题） 17．解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0． 18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣3，2）． （1）用没有刻度的直尺作出△ABC关于点A的同向位似图形△A1B1C1，且位似比为1：2； （2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2． 19．为落实教育厅关于做好2023年初中学业水平体育与健康学科考试等有关事项的通知的要求，某学校针对男生选择较为集中的四个项目开展有针对性的强化训练：A．跳绳；B.1000米跑；C．引体向上；D．投掷实心球，全校共有100名男生选择了A项目，为了了解选择A项目男生的情况，从这100名男生中随机抽取了30名男生在操场进行测试将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）其中165≤x＜170这一组的数据为169，166，165，169，169，167，167，则这组数据的中位数是 　 　，众数是 　 　． （2）根据题中信息，该校男生共有 　 　人选择项目B，D项目扇形统计图的圆心角为 　 　度； （3）如果学校规定每名男生要选两门不同的项目，小东和小强在选项目中，若第一项目都选了项目C，请用画树状图或列表法计算出这两位同学第二项目同时选项目A或项目B的概率． 20．某店买进一批运动衣用了1000元，每件按10元卖出，假如全部卖出这批运动衣所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动衣所用的款，求这批运动衣有多少件？ 21．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．他们的身高分别是1.6m，1.8m（EB＝1.6m，FC＝1.8m），小明在距离树0.3m的B处（AB＝0.3m），看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC＝9.5m．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD． 22．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围． 23．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，连接AE，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）． （1）如图1，当点E在线段CD上时，若CE＝3，连接BG． ①求点G到AB的距离； ②请直接写出BG的长； （2）当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时（不与点D重合），求正方形AEFG的面积． 2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷3 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝3x B． C． D． 【考点】反比例函数的定义． 【分析】根据反比例函数的定义对题目中的四个选项进行逐一分析即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵函数y＝3x不符合反比例函数的定义， ∴该选项不符合题意； 对于选项B， ∵函数不符合反比例函数的定义， ∴该选项不符合题意； 对于选项C， ∵函数符合反比例函数的定义， ∴该选项符合题意； 对于选项D， ∵函数不符合反比例函数的定义， ∴该选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义，正确理解反比例函数的定义是解决问题的关键． 2．某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的左侧有一条纵向的实线，右侧有一条纵向的虚线． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 3．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线分析线段成比例定理，可得出＝，再结合各边的长度，即可得出的值． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴＝， 又∵AC＝3，CG＝2，GF＝4， ∴CF＝CG+GF＝2+4＝6， ∴＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 4．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：OD＝2：5，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　） A．16 B．20 C．24 D．28 【考点】位似变换． 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△AOB∽△DOE， ∴＝＝， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2：5， ∵△ABC的周长为8， ∴△DEF的周长为20， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【分析】首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，根据反比例函数和一次函数的性质从而确定答案． 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限， 当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 7．如图，下列条件不能判定△ACD与△ABC相似的是（　　） A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B 【考点】相似三角形的判定． 【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可做出判断． 【解答】解：由图可得：∠A＝∠A， ∴当或∠ADC＝∠ACB或∠ACD＝∠B时，△ACD与△ABC相似，也可以； A选项中角A不是成比例的两边的夹角． 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形判定条件是解决问题的关键． 8．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】根与系数的关系． 【分析】由题意知，x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，代入求解即可． 【解答】解：由题意知，x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， ∴x1x2+x1+x2＝1﹣3＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1和x2，则，． 9．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD＝10，点F为AD的中点，FE⊥BD于E，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】证△ABD是等边三角形，得∠ABD＝60°，AF＝AD＝5，∠ABF＝∠DBF＝30°，再由勾股定理得BF＝5，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接BF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵AB＝BD＝10， ∴AB＝AD＝BD＝10， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∵点F为AD的中点， ∴AF＝AD＝5，∠ABF＝∠DBF＝∠ABD＝30°， ∴BF＝＝＝5， ∵FE⊥BD， ∴∠BEF＝90°， ∴EF＝BF＝， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明△ABD为等边三角形是解题的关键． 10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A． B． C． D．2 【考点】矩形的性质． 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10， ∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5， ∵AD∥BC， ∴∠DHP＝∠FHC， 在△PDH与△CFH中， ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝5，CH＝PH， ∴AP＝AD﹣PD＝5， ∴PE＝＝＝， ∵点G是EC的中点， ∴GH＝EP＝， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．若，那么的值为 　4　． 【考点】比例的性质． 【分析】设a＝3k，b＝5k，代入求解即可． 【解答】解：∵＝， ∴可以假设a＝3k，b＝5k， ∴＝＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题． 12．在反比例函数图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是 　m＜　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】由题意可得：双曲线在第一，三象限，反比例系数大于0，据此可列出不等式，求解即可． 【解答】解：∵当x1＜0＜x2，y1＜y2， ∴反比例函数图象在第一，三象限， ∴1﹣3m＞0， 解得m＜． 故答案为：m＜． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 13．不透明的箱子里装有除颜色外完全相同的黑白两种颜色的塑料球共50个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7，据此可以估计箱子里黑球个数约是 　35　个． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】因为摸到黑球的频率在0.7附近波动，所以摸出黑球的概率为0.7，根据概率公式即可求解． 【解答】解：50×0.7＝35（个）， 故估计箱子里黑球个数约是35个． 故答案为：35． 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系． 14．已知P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），且AB＝10cm，则BP长为 　　（cm）． 【考点】黄金分割． 【分析】根据黄金比值为写计算，即可得到答案． 【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AB＝10cm， ∴AP＞BP， ∴BP＝AB﹣AP＝． 故答案为：． 【点评】此题考查了黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比 15．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为 　（5，5）　． 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标． 【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半， ∴端点C的坐标为（5，5）． 故答案为：（5，5）． 【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第二象限内，BC＝2AB，反比例函数的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 　﹣3　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质． 【分析】过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BE⊥OA于点E，设C点坐标为，A点坐标为（0，c），根据比例关系求出B点的坐标，最后根据k的几何意义和三角形的面积公式联立即可求出结果． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BE⊥OA于点E，设C点坐标为，A点坐标为（0，c）， ∵CD⊥OA，BE⊥OA， ∴CD∥BE， 又∵BC＝2AB， ∴， ∵∠BEA＝∠CDA＝90°，∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE～△ACD， ∴， ∵，A（0，c）， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， 解得k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，解题的关键是表示出点B的坐标． 三．解答题（共7小题） 17．解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， ， 解得：； （2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0， （x﹣3）（﹣3﹣x）＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣3． 【点评】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣3，2）． （1）用没有刻度的直尺作出△ABC关于点A的同向位似图形△A1B1C1，且位似比为1：2； （2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2． 【考点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转变换． 【分析】（1）找到位似中心，把原来的三角形三边作关于位似中心对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的图形； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点作相应连线的垂线，变化过程中旋转前后对应线段长度不变，即可得出对应的图形． 【解答】解：（1）将原来的三角形三边关于点A作对应的放大2倍即可得到对应的图形，所作图形如图1，△AB1C1即为所求； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点分别作OA、OB、OC的垂线且长度分别与之对应相等，即可得出对应的图形，如图2，△A2B2C2即为所求． ． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，理解位似图形和图形旋转的本质是解题的关键． 19．为落实教育厅关于做好2023年初中学业水平体育与健康学科考试等有关事项的通知的要求，某学校针对男生选择较为集中的四个项目开展有针对性的强化训练：A．跳绳；B.1000米跑；C．引体向上；D．投掷实心球，全校共有100名男生选择了A项目，为了了解选择A项目男生的情况，从这100名男生中随机抽取了30名男生在操场进行测试将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）其中165≤x＜170这一组的数据为169，166，165，169，169，167，167，则这组数据的中位数是 　167　，众数是 　169　． （2）根据题中信息，该校男生共有 　175　人选择项目B，D项目扇形统计图的圆心角为 　108　度； （3）如果学校规定每名男生要选两门不同的项目，小东和小强在选项目中，若第一项目都选了项目C，请用画树状图或列表法计算出这两位同学第二项目同时选项目A或项目B的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据选择A项目的人数和比例，求出全校男生人数，再将全校男生人数乘以选择B项目的比例即可求出该校共有多少男生选择B项目；先求出D项目所占百分比，再用此百分比乘以360°即可； （3）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两位同学第二项目同时选项目A或项目B的结果，利用等可能事件的概率公式求解即可． 【解答】解：（1）将165≤x＜170这一组的数据由小到大排列为：165，166，167，167，169，169，169， ∵处于中间的数据为167， ∴这组数据的中位数是167， ∵这组数据中169出现3次，是出现次数最多的， ∴这组数据的众数是169， 故答案为：167，169； （2）∵选择A项目100人，占百分比我20%， ∴总人数为：100÷20%＝500（人）， ∴选择B项目的人数为：500×35%＝175（人）， ∵选择D项目的百分比为：100%﹣20%﹣35%﹣15%＝30%， ∴扇形统计图中选择D项目的圆心角度数为：360°×30%＝108°， 故答案为：175，108°； （3）∵每名男生要选两门不同的项目，小东和小强在选项目中，若第一项目都选了项目C， ∴小东和小强在选项目中，第二项目只能从A，B，D中选， 画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，其中这两位同学第二项目同时选项目A或项目B的有2种可能结果， ∴P（这两位同学第二项目同时选项目A或项目B）＝． 【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，用列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，理解相关概念，掌握用列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 20．某店买进一批运动衣用了1000元，每件按10元卖出，假如全部卖出这批运动衣所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动衣所用的款，求这批运动衣有多少件？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】设这批运动衣有x件，则根据题中的关系，买进一批运动衣共用了1000元，则每件衣服为元，又每件按10元卖出，则利润为10x﹣1000，可以列出方程，从而解出其中x的值（负数舍去）． 【解答】解：设这批运动衣有x件，则 方程两边同乘以x则变形为 10x2﹣1000x﹣1000×11＝0 解得：x1＝110，x2＝﹣10（舍去） 答：这批运动衣有110件． 【点评】做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程． 21．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．他们的身高分别是1.6m，1.8m（EB＝1.6m，FC＝1.8m），小明在距离树0.3m的B处（AB＝0.3m），看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC＝9.5m．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD． 【考点】相似三角形的应用． 【分析】过E作EG⊥CF于G，延长GE交AD于H，则GH⊥AD，四边形CBEG、四边形AHEB是矩形，得AH＝BE＝CG＝1.6m，BC＝EG＝9.5﹣0.3＝9.2（m），AB＝HE＝0.3m，再证明△EFG∽△DEH，得＝，即可解决问题． 【解答】解：如图，过E作EG⊥CF于G，延长GE交AD于H， 则GH⊥AD，四边形CBEG、四边形AHEB是矩形， ∴AH＝BE＝CG＝1.6m，BC＝EG＝9.5﹣0.3＝9.2（m），AB＝HE＝0.3m， ∵∠FGE＝∠EHD＝∠FED＝90°， ∴∠EFG+∠FEG＝∠FEG+∠DEH＝90°， ∴∠GFE＝∠DEH， ∴△EFG∽△DEH， ∴＝， 即＝， 解得：DH＝13.8（m）， ∴AD＝DH+AH＝13.8+1.6＝15.4（米）， 答：树的高度AD为15.4米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用以及余角的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将（6，1）代入可求m的值，从而可得反比例函数的解析式． （2）求得B点的坐标，设直线AB交x轴于点C，由S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解． （3）根据点A，B的横坐标及图象求解． 【解答】解：（1）将（6，1）代入得1＝， 解得m＝6， ∴y2＝； （2）设直线AB交x轴于点C， 把B（a，﹣3）代入得，﹣3＝﹣2， 解得a＝﹣2， ∴B（﹣2，﹣3）， 将y＝0代入y1＝x﹣2得0＝x﹣2， 解得x＝4， ∴点C坐标为（4，0），即OC＝4， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•yA+OC•（﹣yB）＝OC（yA﹣yB）＝×（1+3）＝8． （3）∵﹣2＜x＜0或x＞6时，直线在曲线上方， y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． 23．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，连接AE，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）． （1）如图1，当点E在线段CD上时，若CE＝3，连接BG． ①求点G到AB的距离； ②请直接写出BG的长； （2）当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时（不与点D重合），求正方形AEFG的面积． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】（1）①过点G作GH⊥直线AB于H，则∠H＝90°，利用勾股定理可得AE＝＝＝，再证得△AED≌△AGH（AAS），可得：GH＝DE＝1，即点G到AB的距离1； ②利用勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况：当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，可得△DFM是等腰直角三角形，得出DM＝FM，再证得△AED≌△EFM（AAS），利用勾股定理可得：AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20，即正方形AEFG的面积为20；当点G在直线BD上时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，同理可求得答案． 【解答】解：（1）①如图1，过点G作GH⊥直线AB于H， 则∠H＝90°， ∵四边形ABCD是边长为4的正方形，CE＝3， ∴AD＝AB＝CD＝4，DE＝4﹣3＝1，∠D＝∠BAD＝90°， ∴AE＝＝＝， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AG＝AE，∠EAG＝90°， ∴∠EAD+∠DAG＝90°， ∵∠DAH＝180°﹣∠BAD＝90°， ∴∠GAH+∠DAG＝90°， ∴∠EAD＝∠GAH， 在△AED和△AGH中， ， ∴△AED≌△AGH（AAS）， ∴AH＝AD＝4，GH＝DE＝1， ∴点G到AB的距离1； ②在Rt△BGH中，BH＝AB+AH＝4+4＝8，GH＝1，∠H＝90°， ∴BG＝＝＝； （2）当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M， 则∠M＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°，∠ADE＝90°， ∴∠FDM＝∠BDC＝45°，∠AED+∠EAD＝90°， ∴△DFM是等腰直角三角形， ∴DM＝FM， ∵四边形AEFG是正方形， ∴EF＝AE，∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠FEM＝90°， ∴∠EAD＝∠FEM， 在△AED和△EFM中， ， ∴△AED≌△EFM（AAS）， ∴DE＝FM，AD＝EM， ∴DE＝DM＝FM， ∵DE+DM＝EM， ∴2DE＝AD＝4， ∴DE＝2， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20， ∴正方形AEFG的面积为20； 当点G在直线BD上时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，如图3， 同理可得：△AED≌△GAM（AAS）， ∴GM＝AD＝4，AM＝DE， ∵∠ADB＝∠MDG＝45°，∠M＝90°， ∴△DGM是等腰直角三角形， ∴DM＝GM， ∴DM＝AD＝4， ∴AM＝8， 在Rt△AGM中，AG2＝AM2+GM2＝82+42＝80， ∴正方形AEFG的面积为80； 综上所述，正方形AEFG的面积为20或80． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形面积等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/30 21:05:42；用户：常长守；邮箱：xyqd@xyh.com；学号：22184481 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$