精品解析：江西省抚州市临川区第七中学2022—2023学年下学期第三次月八年级数学试卷

2022~2023年度临川七中八年级下学期第三次月考 数学试卷 命题人：叶甜 一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，只有一个正确选项） 1. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另－项是这两个数（或式）的积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A，，不符合完全平方公式，故此选项错误； B，，不符合完全平方公式，故此选项错误； C，，符合完全平方公式，故此选项正确； D，，不符合完全平方公式，故此选项错误； 故选：C． 2. 下列各式：中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，是分式，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查分式，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型． 3. 已知，下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，原式错误，故此选项不符合题意； B．不等式的两边同时除以一个正数（），不等号的方向不变，即，原式正确，故此选项符合题意； C．不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，原式错误，故此选项不符合题意； D．不等式，例如，，则不一定成立，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（　　）     A. 50° B. 40° C. 30° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】∵∠BAC=115°， ∴∠B+∠C=65°， ∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线， ∴EA=EB，GA=GC， ∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C， ∴∠EAG=∠BAC-（∠EAB+∠GAC）=∠BAC-（∠B+∠C）=50°， 故选A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5. 某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，由题意可知等量关系为：原计划生产吨的时间实际生产吨的时间． 【详解】解：原计划生产吨的时间为天，实际生产吨的时间为天． 根据题意：所列方程为． 故选：C． 6. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 7. 若二次三项式是一个完全平方式，则的值等于____________． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的特征．利用完全平方公式是解答本题的关键．根据首末两项是x和6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和6积的2倍，故，求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6或． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是____________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的增根问题．先去分母，化成整式方程，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即增根， 把代入得， 解得， 故答案为：3． 9. 已知，，则的值等于____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值积积的乘方逆用法则，利用因式分解变形求代数式的值等知识，熟练进行因式分解，理解整体思想是解题关键．先根据得到，再将分解因式，整体代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：1． 10. 如图，，将沿方向平移得，， ，阴影部分面积为____． 【答案】10.5 【解析】 【分析】根据平移的性质，对应点间的距离等于平移的距离求出，再求出，然后根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， 由平移的性质，， ∴阴影部分的面积． 故答案为：10.5． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握性质并求出阴影部分的面积等于梯形的面积是本题的难点，也是解题的关键． 11. 若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）”，即可求解． 【详解】解：若不等式组的解集为， 则的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，理解并掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____． 【答案】（1，3）或（4，3）或（9，3） 【解析】 【分析】根据当OP=OD时，以及当OD=PD时，分别进行讨论得出P点的坐标． 【详解】解：过P作PM⊥OA于M， （1）当OP=OD时，如图1所示： OP=5，CO=3， 由勾股定理得：CP=4， ∴P（4，3）； （2）当OD=PD时， 如图2， PD=DO=5，PM=3， 由勾股定理得：MD=4， ∴CP= OM=5-4=1， ∴P（1，3）； 如图3所示： PD=DO=5，PM=3， 由勾股定理得：MD=4， ∴CP= OM =9， ∴P（9，3）； 综上，满足题意的点P的坐标为（1，3）、（4，3）、（9，3）， 故答案为：（1，3）或（4，3）或（9，3）． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13. （1）解不等式组 （2）因式分解 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，因式分解，掌握一元一次不等式组的解法步骤，提公因式法、公式法分解因式是正确解答的前提． （1）分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案； （2）利用平方差公式和完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为； （2） ． 14. 先化简再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算及求代数式的值，正确计算是解题的关键；先计算括号内的减法，再计算除法，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 15. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ； （2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 16. 如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：． 【答案】 解法一： 证明：延长、相交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 解法二： 证明：取的中点E，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】解法一：延长、相交于点，根据角平分线性质得到，证明，得到，再证明，得到，即可证明； 解法二：作的中点E，连接、，根据直角三角形得到性质就可以得出，由平分就可以得出，从而可以得出，，由，就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出，证，推出，从而得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17. （1）计算： （2）解方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查异分母分式加减法，解分式方程，灵活运算先利用“裂项法”对已知分式变形化简是解题的关键． （1）将原式变形为：计算即可； （2）将方程变形为：，整理后再解分式方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 方程两边同时乘以，得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为：． 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分．） 18. 抚州市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小明家去年10月份的水费是15元，而今年8月份的水费则是30元．已知小明家今年8月份的用水量比去年10月份的用水量多4.5立方米，求抚州市今年居民用水的价格是每立方米多少元？ 【答案】抚州市今年居民用水的价格为每立方米元 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设去年每立方米水费为元，由价格的调整可得出今年居民用水的价格为元/米，利用用水量等于应缴水费费用除以单价，结合小明家今年8月份的用水量比去年月份的用水量多米，即可得出关于x的分式方程，求解即可． 【详解】解：设去年每立方米水费为元，则今年居民用水的价格为元/米， 由题意，得， 解得， 经检验是分式方程的解，且符合题意； （元） 答：抚州市今年居民用水的价格为每立方米元． 19. 若关于x的方程： （1）有增根，求a的值； （2）无解，求a的值． 【答案】（1）或 （2）a的值为1或或8 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程两边同乘得：， 整理可得：， ∵原方程有增根， ∴， 即， 当时，， 当时，， ∴或时，方程有增根； 【小问2详解】 解：由（1）知：a取或8时，原方程无解， 当，方程无解， ∴时，原方程无解； 综上所述，a的值为1或或8时，原方程无解． 20. 已知：，求代数式的值，小华是这样解的： 解：， 即 ， 已知：若，且，求的值，小强是这样解的： 解：令则，，， ． 回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：令， ∴，，， ∴． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分．） 21. 观察下列等式：回答问题： ①； ②； ③，… （1）根据上面三个等式的信息，猜想　　　　　； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式； （3）验证你的结果． 【答案】（1） （2） （3） 解： ． 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，分式的化简，观察等式发现一般规律是解题关键． （1）根据已知等式完成猜想即可； （2）根据已知等式发现规律即可 （3）先通分，再结合完全平方公式化简验证即可． 【小问1详解】 解：根据上面三个等式的信息，猜想； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由已知等式可知，； 【小问3详解】 略 22. 为了方便乘客出行，深圳宝安国际机场安装了图1所示的平地电梯，如图2是其示意图，已知电梯的长度为200米，小刚和小明两人不乘电梯在地面匀速行走时，小刚每分钟行走的路程是小明的1.2倍，且1.5分钟后，小刚比小明多行走15米． （1）求两人在地面上每分钟各行走多少米？ （2）若两人同时从A点出发在平面电梯上行走，电梯向前行驶的同时两人仍保持原来在地面上匀速行走的速度在电梯上行走，当小刚到达B处时，小明还剩20米才到达B处． ①求电梯每分钟行驶多少米？ ②当小刚到达B处时，发现有一袋行李忘在了点A处，于是马上以每分钟a的速度从地面返回A处，拿了行李后立即乘平地电梯（同时按原来在地面上匀速行走的速度行走）去B处和小明汇合，要使小明到达B点后等待的时间不超过4分钟，求a的最小值． 【答案】（1）小明在地面上每分钟行走50米，小刚在地面上每分钟行走60米； （2）①电梯每分钟行驶40米；②a的最小值为90． 【解析】 【分析】（1）设小明在地面上每分钟行走x米，则小刚在地面上每分钟行走米，根据“1.5分钟后，小刚比小明多行走15米”列方程，求解即可； （2）①设电梯每分钟行驶y米，根据时间的等量关系列出分式方程即可求解；②分别求出小刚和小明乘平地电梯从A点到达B点所用的时间，然后根据“小明到达B点后等待的时间不超过4分钟”列不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设小明在地面上每分钟行走x米，则小刚在地面上每分钟行走米， 依题意得， 解得， 则， 答：小明在地面上每分钟行走50米，小刚在地面上每分钟行走60米； 【小问2详解】 ①设电梯每分钟行驶y米， 依题意得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：电梯每分钟行驶40米； ②小刚乘平地电梯从A点到达B点所用的时间为（分钟）， 小明乘平地电梯从A点到达B点所用的时间为（分钟）， 由题意得：， 解得：， 所以a的最小值为90． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意，找出合适的等量关系与不等关系，列出方程或不等式． 六、解答题（本题共12分．） 23. 【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值． 【答案】 （1）选择① 证明：，， ， 又， 选择② 证明：，， ， 又， ． （2）过点作于， ，， ，，三点共线，都在的垂直平分线上，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）选择①，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明；选择②，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明． （2）过点作于，先证明，，三点共线，都在的垂直平分线上，从而得出，，继而得出，则，即可得出结论． （3）延长交于E，由旋转得：，，，从而可得出，，由勾股定理，得，所以，所以当时，此时，再过点A作于D，作线段，交于O，使，从而求出， ，，由勾股定理，得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）延长交于E，如图， 由旋转得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵在中，，， ∴当时，此时， 过点A作于D， ∴，， 作线段，交于O，使， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题．灵活运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022~2023年度临川七中八年级下学期第三次月考 数学试卷 命题人：叶甜 一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，只有一个正确选项） 1. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式：中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知，下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（　　）     A. 50° B. 40° C. 30° D. 25° 5. 某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 7. 若二次三项式是一个完全平方式，则的值等于____________． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是____________． 9. 已知，，则的值等于____________． 10. 如图，，将沿方向平移得，， ，阴影部分面积为____． 11. 若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13. （1）解不等式组 （2）因式分解 14. 先化简再求值：，其中． 15. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 16. 如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：． 17. （1）计算： （2）解方程． 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分．） 18. 抚州市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小明家去年10月份的水费是15元，而今年8月份的水费则是30元．已知小明家今年8月份的用水量比去年10月份的用水量多4.5立方米，求抚州市今年居民用水的价格是每立方米多少元？ 19. 若关于x的方程： （1）有增根，求a的值； （2）无解，求a的值． 20. 已知：，求代数式的值，小华是这样解的： 解：， 即 ， 已知：若，且，求的值，小强是这样解的： 解：令则，，， ． 回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分．） 21. 观察下列等式：回答问题： ①； ②； ③，… （1）根据上面三个等式的信息，猜想　　　　　； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式； （3）验证你的结果． 22. 为了方便乘客出行，深圳宝安国际机场安装了图1所示的平地电梯，如图2是其示意图，已知电梯的长度为200米，小刚和小明两人不乘电梯在地面匀速行走时，小刚每分钟行走的路程是小明的1.2倍，且1.5分钟后，小刚比小明多行走15米． （1）求两人在地面上每分钟各行走多少米？ （2）若两人同时从A点出发在平面电梯上行走，电梯向前行驶的同时两人仍保持原来在地面上匀速行走的速度在电梯上行走，当小刚到达B处时，小明还剩20米才到达B处． ①求电梯每分钟行驶多少米？ ②当小刚到达B处时，发现有一袋行李忘在了点A处，于是马上以每分钟a的速度从地面返回A处，拿了行李后立即乘平地电梯（同时按原来在地面上匀速行走的速度行走）去B处和小明汇合，要使小明到达B点后等待的时间不超过4分钟，求a的最小值． 六、解答题（本题共12分．） 23. 【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $