吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年上学期 东北师大附中（数学）科试卷 高（二）年级期中考试 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知两直线，若，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 长的最小值为 C. 四边形面积的最小值为2 D. 直线恒过定点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆与圆没有公共点，则的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 已知随机事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 平面内存在一条直线与直线成角 D. 将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是__. 13. 如图，在空间四边形中，，平面平面，且，则与平面所成角的正弦值是______． 14. 已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，圆的方程为，过点的直线与圆相切，点为圆上的动点． （1）求直线的方程； （2）求面积的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，平面与底面所成角为，四边形是梯形，． （1）若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离； （2）点是线段上的动点，上是否存在一点，使平面，若存在，试确定点位置，若不存在，请说明理由. 17. 班级组织象棋比赛，共有16人报名，现将16名同学随机分成4组且每组4人进行单循环比赛，规则如下：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，小组总分排名前两位的同学获奖．若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人获胜的概率均为．若甲、乙、丙、丁4位同学分到一组且赛程如下表．假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为．丁同学与任意一名同学比赛时胜、负、平的概率分别为．每场比赛结果相互独立． 第一轮 甲—乙 丙—丁 第二轮 甲—丙 乙—丁 第三轮 甲—丁 乙—丙 （1）求丁同学的总分为5分的概率； （2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学获奖的概率. 18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. （1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 19. 平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点． （1）若直线的斜率为，求弦的长； （2）已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，求直线交点的轨迹方程； （3）若的中点为，求面积的取值范围． 2024—2025学年上学期 东北师大附中（数学）科试卷 高（二）年级期中考试 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）或 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）, 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）；证明如下: 分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， AI 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $