第四章 图形的相似 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第四章 图形的相似 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，五线谱是由等距离、等长的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段等于1.5，则线段的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与一定相似的是（   ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，． 6．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（   ）      A． B． C．2 D．5 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，点E是边上一点，四边形是菱形，菱形的对角线分别交、于P、Q两点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数是（　）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比是，那么它们的对应中线之比是 ． 12．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，点G是重心，，如果，那么线段的长为 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么 ． 14．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是 ． 15．（上海市闵行区2024-2025学年九年级上学期数学期中试题）中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是 ．    16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，于D，若，，求的长． 18．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在中，． (1)在上求作点，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，求证 19．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知点D、F在边AC上，点在边AC上，且，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，． (1)联结，如果，求证：； (2)在（1）的条件下，如果，，那么________．（用含、的代数式表示） 21．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，是斜边上的高 (1)求证： (2)如果，，求的长． 22．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在中，，请用全等三角形的知识说明； （2）如图，在中，为三角形的角平分线，于点交于点，． ①求证：； ②若，，直接写出__________． 23．（2024九年级上·全国·专题练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 24．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【基础问题】如图1，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求长． 【拓展延伸】 （1）如图2，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则长为______________． （2）如图3，在四边形中，，交于点，，交于点，，，，则______________． 25．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在矩形中（），为线段上一点，将沿折叠得到，点恰好在线段上． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕，延长交线段于点．若，，求的长； (3)小丽同学用不同形状的矩形纸片（），按照题中（2）的方法折叠并延长，发现有些点不在线段上，若要使点落在线段上（不含端点），请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意设，，再代入化简即可． 【详解】解：， 设，， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据题意可知的三边，再分别求出各选项的三边，然后根据三边是否成比例得出答案． 【详解】根据勾股定理，可知，，． 根据勾股定理得A选项的三边为， ∴， 所以不与相似； 根据勾股定理得B选项的三边为， ∴， 所以与相似． 根据勾股定理得C选项的三边为， ∴， 所以不与相似； 根据勾股定理得D选项的三边为， ∴， 所以不与相似． 故选：B． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．由平行四边形的性质易证，，结合题意即得出，再根据相似三角形周长比等于相似比即得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． ∵，即， ∴， ∴与的周长比为． 故选C． 4．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，五线谱是由等距离、等长的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段等于1.5，则线段的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出线段的长． 【详解】解：如图，过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、， 由题意可知，， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与一定相似的是（   ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意可知是一个含30度的直角三角形，然后可进行排除选项． 【详解】解：∵的三边长为1、2、，且， ∴是一个直角三角形， 由选项可知：，所以只需满足即可； 故选D． 6．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．根据、，通过勾股定理计算得；结合，计算得，从而得到的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解： 是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， ∴与位似，点O为位似中心， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 8．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（   ）      A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理得，再由正方形的性质得由，得，推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点M，N分别是和的中点，若， ∴是的中位线， ∴， 四边形是边长为6的正方形，   ，， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明是解题的关键． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、相似矩形、相似三角形的性质及判定，找到关键线段的长运用三角形面积公式是解题的关键． 根据相似矩形设相似比，再运用相似三角形得出关键线段长，运用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：矩形矩形， 设矩形与矩形的相似比为，即， 设，， 则在矩形、矩形中，，， 矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，， ，， ，， ， ，， ， ， ， 故选：A． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，点E是边上一点，四边形是菱形，菱形的对角线分别交、于P、Q两点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数是（　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①由矩形的性质得，由菱形的性质得，即可判断；②由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断；③由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得由菱形的性质得，，即可判断；④由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由线段和差得，即可判断． 【详解】解：①四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 故此项正确； ②，四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 故此项错误； ③，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 故此项错误； ④四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，并能熟练利用性质进行线段比例式之间是转换是解题的关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比是，那么它们的对应中线之比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比. 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比是， ∴两个相似三角形的相似比是， ∴它们的对应中线之比是 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，点G是重心，，如果，那么线段的长为 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．先根据三角形重心性质得到，，再证明，然后利用相似比可计算的长． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴为中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积比，涉及相似三角形判定与性质的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理，并能熟练应用．先证明，再设，得出，然后结合，得出，因为、高相等，它们的面积的比，然后列式计算，即可作答． 【详解】解：， ∴ ∴， 设， 则， ∴， ∵， 即， ∵、高相等，它们的面积的比， ∴， 即， ∴（负值已舍去） ， ∴， 故答案为： 14．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 如图，记延长线的交点为，由题意知，，，则，依题意得，，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记延长线的交点为， 由题意知，，， ∴， ∵竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 15．（上海市闵行区2024-2025学年九年级上学期数学期中试题）中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查旋转的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.． 过作于，利用旋转的性质及勾股定理求得，再利用，得，过作交的延长线于，利用，得，故，即可求出即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于，    ∵将绕点旋转得到， ∴，，， ∵中，，，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， 过作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为 【答案】/ 【分析】利用勾股定理求得和的长，证明，得到，推出，得到，设，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，过点B作的垂线，垂足为点，如图， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 设，，， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或， 经检验或都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，于D，若，，求的长． 【答案】． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．由在中，根据同角的余角相等，可得，又由，可证得，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在中，． (1)在上求作点，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，求证 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用和尺规作图． （1）已知是直角三角形，要使，则也是直角三角形，因此我们需要作点，使得； （2）根据（1）的条件，证明，根据相似三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）当 ，时，． 如图1所示，过点C作，垂足为D，则点D就是所求作的点． （2）∵ , ， , ，                  , 19．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知点D、F在边AC上，点在边AC上，且，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质： （1）利用平行线分线段成比例的定理以及相似三角形判定及性质即可得证； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴且, ∴, ∴, ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，． (1)联结，如果，求证：； (2)在（1）的条件下，如果，，那么________．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定与性质，熟记相关结论是解题关键． （1）延长交于点，根据可得，结合，可推出，即可求证； （2）由可得，推出，得到，进而得；根据可得，根据即可求解； 【详解】（1）证明：延长交于点，如图所示： ∵， ∴， 即： ∵，． ∴， ∴， 即：， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，是斜边上的高 (1)求证： (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确找出相似三角形． （1）证明，书写比例式即可求证； （2）证明，书写比例式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 22．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在中，，请用全等三角形的知识说明； （2）如图，在中，为三角形的角平分线，于点交于点，． ①求证：； ②若，，直接写出__________． 【答案】（1）见详解；（2）①见详解；② 【分析】（1）过点作于点，利用“”证明，即可证明； （2）①首先证明，过点作交延长线于，，，可证明、为等腰三角形，进而可得，，，然后根据即可证明结论； ②首先证明，易得，结合题意可得，，，再证明，由相似三角形的性质可得，易，即可获得答案． 【详解】（1）证明：过点作于点，如下图， 则， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵平分，， ∵， ∴， ∴， 如下图，过点作交延长线于， 则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②在和中, ， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 23．（2024九年级上·全国·专题练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 24．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【基础问题】如图1，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求长． 【拓展延伸】 （1）如图2，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则长为______________． （2）如图3，在四边形中，，交于点，，交于点，，，，则______________． 【答案】基础问题：；（1）18；（2） 【分析】基础问题：先判断出，进而得出，再判断出，得出，得，得比例式代值即可得出结论； （1）根据等边三角形性质求出，，证明，得出比例式，求出即可； （2）根据已知条件证明，，都是底角相等的等腰三角形，可得，得比例式代值即可得出结论． 【详解】解：基础问题：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ∵，，， ， ； 拓展延伸（1）三角形是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ∴， ， ∵，， ， ， ； 故答案为：18； （2）∵， ，， ∵， ， ， ， ∴，，都是底角相等的等腰三角形， ∴， ， ∵，， ， （负值舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出相似三角形是解本题的关键． 25．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在矩形中（），为线段上一点，将沿折叠得到，点恰好在线段上． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕，延长交线段于点．若，，求的长； (3)小丽同学用不同形状的矩形纸片（），按照题中（2）的方法折叠并延长，发现有些点不在线段上，若要使点落在线段上（不含端点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）矩形的性质得到，折叠得到，进而推出四边形是正方形即可； （2）过点作，则四边形为矩形，得到，易得为等腰直角三角形，得到，根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出，进而求出，设，在中，利用勾股定理，求出的值，证明，推出，设，根据求出值，进而求出，再根据线段的和差关系求出的长即可； （3）令，，由题意得：，得到，利用勾股定理结合相似三角形的判定和性质，求出重合时，的值，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形； （2）解：过点作，则四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，，解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）令，，由题意得：， ， 由（2）得：， ， 当点与重合时： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用相似三角形的判定和性质进行求解，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$