第三章圆同步练 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

圆 【满分：120】 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，下列判断正确的是( ) A.与x轴相交 B.与y轴相切 C.点O在外 D.点在内 2.下列说法正确的是( ) A.平分弦的直径垂直于弦 B.圆是轴对称图形,任何一条直径都是圆的对称轴 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.等弧所对的弦必相等 3.如图,点,,,在上,是的一条弦,则( ). A. B. C. D. 4.有一题目：“已知和有相同的外心，，求.”两人的说法如下：甲：的度数是；乙：甲考虑的不全，的度数还应有一个不同的值.下列判断正确的是( ) A.甲和乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲和乙都错 5.如图，P为外一点，PA、PB分别切于点A、B，CD切于点E，分别交PA、PB于点C、D，若，则的周长为( ) A.8 B.6 C.12 D.10 6.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点同时从原点O出发,点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方向运动,点B以每秒1个单位长的速度沿y轴的正方向运动,设运动时间为t秒,以为直径作圆,圆心为点P.在运动的过程中有如下5个结论： ①的大小始终不变； ②始终经过原点O； ③半径的长是时间t的一次函数； ④圆心P的运动轨迹是一条抛物线； ⑤始终平行于直线. 其中正确的有( ) A.①②③④ B.①②⑤ C.②③⑤ D.①②③⑤ 7.如图，AB为的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是( ) A.9.6 B. C. D.10 8.在中，，，.点O为边AB上一点（不与A重合），是以点O为圆心、AO为半径的圆.当与三角形边的公共点个数为3时，OA的取值范围为( ) A.或 B.或 C. D.或 9.如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人,它的俯视示意图如图②所示,的直径为40cm,毛刷的一端固定在点M处,另一端为动点P,,毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A,B,且A,M,B三点在同一条直线上,则该毛刷能扫到区域的面积(阴影部分)是( ) A. B. C. D. 10.中，，是的外接圆，于点D，关于点D对称得到.若线段与有两个公共点，则满足的条件是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为_________. 12.如图，AC是的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是的内接正十边形的一边，若AB是的内接正n边形的一边，则____. 13.如图,与相切于点B,连接交于点E,过点B作交于点F,连接,若,则的度数为______. 14.如图,正六边形的边长为6,以顶点A为圆心,的长为半径画圆,则： (1)图中阴影部分的面积为______； (2)直线与圆A的位置关系是______. 15.如图，在中，，，D为上一点，E为上一点，若，则的最小值为______. 三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16.（8分）如图所示,以的顶点A为圆心,为半径作圆,分别交,于点E,F,延长交于G. (1)求证：； (2)若劣弧所对圆心角的度数为,求的度数. 17.（8分）作图题 如图,在中,已知. (1)尺规作图：画的外接圆(保留作图痕迹,不写画法) (2)连接,；若,,求的长. 18.（10分）如图,在中,半径,过OA的中点C作交于D、F两点,且,以O为圆心,OC为半径作,交OB于E点. (1)求的半径OA的长； (2)计算阴影部分的面积. 19.（10分）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看得到的平面图形如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看得到的平面图形如图2，其中，中间的正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，则图2中： （1）___________°； （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为___________.（结果保留根号） 20.（12分）关于x的一元二次方程,如果a、b、c满足且,那么我们把这样的方程称为“勾系方程”,请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. (2)如图,已知、是半径为5的的两条平行弦,,,且关于x的方程是“勾系方程”. ①求的度数, ②直接写出的长：_____________(用含a、b的式子表示). 21.（12分）课本改编 (1)如图1,四边形为的内接四边形,为的直径,则______度,______度. (2)如果的内接四边形的对角线不是的直径,如图2,求证：圆内接四边形的对角互补. 知识运用 (3)如图3,等腰三角形的腰是的直径,底边和另一条腰分别与交于点D,E,F是线段的中点,连接,求证：是的切线. 答案以及解析 1.答案：C 解析：圆心， 到x轴的距离是3，到y轴的距离是1， 的半径为2， 与x轴相离，与y轴相交，故选项A、B错误； 由， 则点O在外，故选项C正确； 设， ， 则点在上，故选项D错误； 故选：C. 2.答案：D 解析：A.平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,故该选项错误； B.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,故该选项错误； 平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,所以B选项错误； C.在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,故该选项错误； D.同弧或等弧所对的圆周角相等,故该选项正确； 故选：D. 3.答案：D 解析：连接CD, ∵,, ∴,, ∵, ∴, ∵, ∴, 故选：D. 4.答案：C 解析： 画出图形，当点D，C在的不同侧时， ， ； 当点D，在的同一侧时， ， 综上所述，的度数为或， 甲错乙对， 故选：C. 5.答案：C 解析：∵PA、PB分别切于点A、B，CD切于点E， ，，， ， 即的周长为12， 故选：C. 6.答案：D 解析：依题意,, ∴, ∴的大小始终不变,故①正确； 如图,连接, ∴, ∴始终经过原点O,故②正确 ∵ ∴半径的长是时间t的一次函数,故③正确； ∵ ∴圆心的运动轨迹是一条直线；故④不正确 ∵,, 设直线的解析式为, 则, 解得：, ∴直线的解析式为 ∴始终平行于直线,故⑤正确. 故选：D. 7.答案：A 解析：∵， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ∴，即：， ∴， ， . 故选：A. 8.答案：B 解析：如图所示，在圆心O从到的过程中，与三角形边的公共点个数为3，当圆心O恰好到达，时，与三角形边的公共点个数变为4，过点作于点D，则.在中，，，，，设，则，，即，得，经检验，是原分式方程的解，当时，与三角形边的公共点个数为3，当点O为AB的中点时，与三角形边的公共点个数为3，此时.综上，当或时，与三角形边的公共点个数为3. 9.答案：C 解析：如图,连接,,,由题意可知点M是点A,P,B所在圆的圆心. ∵A,M,B三点在同一条直线上, ∴是的直径, ∴. ∵的直径为40cm, ∴, ∵, ∴, ∴是等边三角形, ∴. ∴, ∴, ∴. 故选：C. 10.答案：C 解析：如图，当与切于点F时，此时线段与有且只有一个公共点， 连接，， 是的外接圆，于点D， 为直径，， ， 关于点D对称得到， ， ， ； 当从点B在中点时，由题意可知，，为等腰直角三角形， ， ； 此时，点E与点C重合，线段与有两个公共点， 此时当点B继续逆时针向点A运动时（不与A重合），线段与有且只有一个公共点， 综上，线段与有两个公共点时，满足的条件是. 故选：C. 11.答案： 解析：六边形是正六边形， ， ， 故答案为：. 12.答案：15 解析：连接OB，是的内接正六边形的一边， ， 是的内接正十边形的一边， ， ， 即，， 故答案为15. 13.答案：/25度 解析：连接, ∵与相切于点B, ∴, ∵,, ∴,,, ∵, ∴, ∴, 故答案为：. 14.答案：(1) (2)相切 解析：(1)∵六边形是正六边形, ∴,, ∴阴影部分的面积, 故答案为：. (2)连接, ∵六边形是正六边形, ∴,, ∴, ∴, ∴, ∵是圆A的半径, ∴是圆A的切线, ∴直线与圆A的位置关系是相切 故答案为：相切 15.答案： 解析：以的中点O为圆心，的长为半径作圆，连接，如图， ， 点D在上， 当CE最小时，即最小， 当时，最小，即CE最小， 设，则， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， CE的最小值为； 故答案为：. 16.答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)如图,连接, 为圆心, , , 四边形为平行四边形, , ,, , ； (2)∵劣弧所对圆心角的度数为, , , 四边形为平行四边形, , . 17.答案：(1)图见解析 (2) 解析：(1)如图所示,即为所求； (2)∵ ∴, ∵,,即, 解得：或(负值舍去). 18.答案：(1)⊙O的半径OA的长为2 (2)阴影部分的面积为 解析：(1)连接OD,如图, ∵,, ∴, ∵C为OA的中点, ∴. 在中,, ∴, ∴, ∴, ∴的半径OA的长为2； (2)∵, ∴, ∴, , , . 19.答案：（1）30 （2） 解析：（1）根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和为360°， 得. （2）设中间正六边形的中心为O，如图， 由题意得，，， 四边形ABFG为矩形，， 又，， ，. 在中，，， 则，由正六边形的结构特征知， ，， . 又，，. 20.答案：(1)证明见解析 (2)① ② 解析：(1)证明：关于x的一元二次方程是“勾系方程”, 且,, , , , 方程必有实数根； (2)①,理由如下： 作于E,延长交于F,连接,, , , ,, , , 是“勾系方程”, , ； , ； , , , , . ②如图所示,过点D作的垂线,垂足为G,则四边形是矩形, ∴, ∵,则 ∴ 故答案为：. 21.答案：(1)90,180 (2)证明见解析 (3)证明见解析 解析：(1)∵四边形为的内接四边形,为的直径, ∴度, ∵ ∴ 故答案为：90,180 (2)证明：如图,连接并延长,交于点E,连接, 由(1)可知,,, , , 即圆内接四边形的对角互补 (3)证明:连接,,如图所示. , , 四边形是圆内接四边形, , 是线段的中点, 是的半径, 是的切线. 学科网（北京）股份有限公司 $$