第3章 培优专题17：旋转或折叠中的面积计算&培优专题18：圆中的分类讨论-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

了同行学案学练测 九年级数学下BS 培优专题17：旋转或折叠中的面积计算 学 为 类型一：折叠中的图形面积 类型二：旋转中的图形面积 1.(河南中考)如图，把半径为2的⊙O沿弦 4.(济宁中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= AB,AC折叠，使AB和AC都经过圆心O, 90°，AC=BC=1,将Rt△ABC绕点A逆时 抽象能力 则阴影部分的面积为( 针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路 径为BD,则图中阴影部分的面积是() 运算 A B. c-n 1 6 3 能力 何直观 B.√3 C.2√3 D.4√3 空 间观 2.(济南中考)如图①，一扇形纸片的圆心角为 第4题图 第5题图 念 90°，半径为6.如图②，将这张扇形纸片折叠， 5.（十堰中考)如图，AB为半圆的直径，且AB= 使点A与点O恰好重合，折痕为CD,图中阴 6,将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转 影为重叠部分，则阴影部分的面积为( ) 到点C的位置，则图中阴影部分的面积 数据观 为 6.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC= 模型观念 0(A) 30°，BC=2,将Rt△ABC绕A点顺时针旋转 ① ② 90°得到Rt△ADE,求BC扫过的面积. 。 应用意 A.6x- 93 B.6π-9√3 C.1- n 意识 3.(德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按 如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与 圆心O重合，求图中阴影部分的面积 96 做神龙题得好成绩 第三章圆☑ 培优专题18：圆中的分类讨论 数 素 类型一：点与圆的位置关系的多样性引起的不唯 类型四：圆心与三角形的位置关系引起的不唯 一性 一性 1.已知点A到⊙O的最近距离和最远距离分别 7.已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB= 是3cm和9cm,则⊙O的半径为 cm. 5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB 2.已知⊙O的半径为5，弦AB=8,P为直线 的长 AB上一点，PA=2,求OP的长 类型二：圆心与两弦的位置关系引起的不唯一性 3.已知⊙O的直径是10cm,弦AB/∥CD,AB= 6cm,CD=8cm,则AB与CD之间的距离为 类型五：直线与圆相切的不唯一性 8.如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以 4.在半径为1的⊙O中，弦AB=√3，AC=√2， 求∠BAC的度数 点0为圆心，20B长为半径作⊙0，要使射 模 线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按 顺时针方向旋转( A B 0 识 类型三：点在圆弧上的位置引起的不唯一性 A.40°或80° B.50°或100° 5.已知弦AB的长等于半径，则AB所对的圆 C.50°或110° D.60°或120° 周角等于 9.如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC= 6.点A,B,C(不重合)在半径为2cm的⊙O 45°，半径为√2cm的⊙P的圆心在射线OA 上，若BC=2W3cm,求∠A的度数， 上，且与点O的距离为6cm.如果⊙P以 1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，则 s后⊙P与直线CD相切. D C 做神龙题得好成绩(97PB=-8(舍去)，则AP=2十6=8. 6.解：如图，⊙O及正六边形AEFBCD即为所求. ① ② 培优专题14：巧用三角形的中位线 7.A8.B9.C 求解圆的问题 10.10-2√511.22 1.C2.D3.B4.B5.1 12.解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x.易知 6.5[解析]如图，作直径DG,连接 ∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB= CG.DG为直径，∴.∠DCG=90°， .∠CDG+∠G=90°.，AC⊥BD, 72°，∴.AB=BG=AE=2.,∠AEG=∠BEA,∠EAG= ∠DAC+∠ADB=90°.：∠DAC ∠BA△ABG∽△BEA能-EAE=BG· =∠G,∴∠ADB=∠CDG,∴AB EB,∴.22=x(x+2),解得x=-1十√5或-1-√5（舍 CG,AB=CG.OF⊥CD,.DF =CF.,OD=OG,.OF为△DCG的中位线，.CG= 去)，∴.EG=√5-1. 20r=2X号-5，AB=-5. 13.解：(1)，五边形ABCDE是正五边形，.∠ABC= 7.4[解析]如图，延长ID到点M,使DM (5-2)×180°=108.(2)△AMN是正三角形，理由： 5 =ID,连接CM.,I是△ABC的内心， 连接ON,NF,如图，由题意可得FN=ON=OF, ∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB. ∴△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°，.∠NMA= ,∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI= 60°.同理可得∠ANM=60°，.∠MAN=60°，.△AMN ∠BCD+∠ICB,∠BCD=∠IAB, B 是正三角形.(3)连接OD,如图，：'∠AMN=60°， ∴∠DIC=∠DCI,.DI=DC=DM, D ∴∠ICM=90°，∴.CM=√IMP-IC= M ∠A0N=120.∠A0D-380X2=144,∠N0D 8..AI=2CD=10,..AI=IM..AE=EC,..IE =∠A0D-∠AON=144°-120°=24°.，360°÷24°= △ACM的中位线，∴IE=2CM=4 15,.n的值是15. 8.(1)证明：连接OD.AD=DC,AO=OB,.OD是 △ABC的中位线，OD/BC,OD=2BC.:DG⊥BC, ∴OD⊥HG.:OD是⊙O的半径，∴.直线HG是⊙O的 切线.(2)解：设⊙O的半径为x,则OH=x+3,BC= 2.:0D/BC,∠H0D=∠B,∴as∠H0D=号，即 8品与一号得-2BC-4,BH-27mB 14.解：(1)如图，连接BD.:四边形ABCD是⊙O的内接四 吾器-号即g号解得-兰0-C 边形，∠BAD+∠C=180°.∠C E 7 =120°，∠BAD=60°.AB= BG=4-146 AD,.△ABD是等边三角形， 55 .∠ABD=60°.四边形ABDE是 8圆内接正多边形 ⊙O的内接四边形，.∠AED十 1.D2.54°3.72°4.45 ∠ABD=180°，.∠AED=120° 5.解：如图，正方形ABCD即为所求， (2)∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°. :∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，∴.n =360° 30°=12. 培优专题15：正多边形的性质及其应用 1.A2.A3.A485.156.T7.15 8.解：如图所示. 8.解：如图，延长BO交CD于点F,连接OD.⊙O与 ∠MAN的边AN相切于点B,∴.OB⊥AB,∴.∠ABF= 90.∠A=0,∠AFB=0,BF-gAB-号X5E s56 .:OE1CD,DE=CE.在R△OEF中， 9弧长及扇形的面积 ∠EF0=60,i60-8器-复0F-20e OF 3 1.B2.20π3.4V2π4.B5.B6.A7.B 0B=50E50e+23oE-5 ,解得0E=2, 8.23-π ∴.OB=√3X2=√6，.OD=OB=√6.在Rt△DOE中， 9.B10.C11.D12.A DE=√OD2-OE=√(W6)2-(W2)2=2,∴.CD=2DE 3.灭[解析]如图，圆为心O,连接OA,OB,OC,0D, =4. 0 培优专题17：旋转或折叠中的面积计算 1.C2.A O 3.解：如图，连接OM交AB于点C,连接 :OA=OB=0D=5,∠B0C=2∠BAC=45°，：.BC的 OA,OB.由题意知OM⊥AB,且OC= 长为5-要 1 41 MC=2,在Rt△A0C中，OA=1, 14.解：AB=AC,∠BAC=50°，.∠ABC=∠ACB=65°. BD=CD=BC,△BDC为等边三角形.∴∠DBC= F2cos∠A0C=0C=1 OA-2AC-0A-OC- ∠DCB=60°.∴.∠DBE=∠DCF=55.BC=6,∴.BD =CD=6.l金=1e-5XmX6_:DE,DF的长 ,∠A0C=60°，AB=2AC=3,∠A0B=2∠A0C 3 180 61 度之和为1r+11x_1x =120°，则S号形ABM=S赌形0AB一S△A0B 120mX1-×5 360 6+6=3, 1 15.(1)证明：如图，连接OC,则OC⊥AB.CD=CE,∴∠AOC ×分=号-9，Se=5m-2Sw=方xX1- (∠AOC=∠BOC =∠BOC.在△AOC和△BOC中，3OC=OC 2(骨9)-吾 ∠OCA=∠OCB=90 4.A5.6π ∴.△AOC≌△BOC(ASA),∴.OA=OB.(2)解：由(1)可得 6.解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2, AC=BC=号AB=25,在R△A0C中，0C=2, AC=2√3，AB=4.,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转 90得到Rt△ADE,∴.△ABC的面积等于△ADE的面积， ZA0C=∠B0C=60,∴Sar=2BC.0C=2× 2 ∠CAB=∠DAE,AE=AC=2√3，AD=AB=4, 23X2=25,.S形a0E 60XxX2=名元 ∴.∠CAE=∠DAB=90°，.阴影部分的面积S=S扇形AD 360 3π，S阴影= 十S△ABC一S期形CAE一S△ADE=S扇形BAD一S扇形CAE =90π×42 S△xc-S期形E=2/3- 360 3π 90πX(2√3)2 360 培优专题18：圆中的分类讨论 1.6或3 2.解：如图①，当点P在⊙O内时，过点O作OC⊥AB于C, 培优专题16：在圆中构造直角三角形 解决问题的方法 则AC=BC=2AB=4,连接OB,则OC=VOB-BC 1.102.√7-13.√/134.B5.√26.857.2√/10 =√52-4=3.在Rt△OPC中，OP=√PC2+OC= 同行学案学练测·21· √(4-2)2+3=√13；如图②，当点P在⊙0外时，过点 7.解：当圆心O在△ABC内时，如图①.，OD⊥BC于点D, O作OC⊥AB于C,连接OB.同上可知AC=4,OC=3,在 .BD=CD.又，AB=AC,∴.A,O,D在同一直线上.在 Rt△OPC中，OP=√PC+OC=V√(4+2)2+32= Rt△OBD中，BD=√OB2-OD=√5-32=4(cm).在 3√5.综上可知OP的长为√13或35. Rt△ABD中，AB=√WAD2+BD2=√/(5+3)2+4= B B 45(cm);当圆心O在△ABC外时，如图②.同上可得BD =4cm.在Rt△ABD中，AB=√AD2+BD= √(5-3)2+4区=2√5(cm).综上，可知AB的长为 ① ② 4v√5cm或2√5cm. 3.7cm或1cm 4.解：当AB,AC在圆心O的同侧时，如图①，过点O作OD LAB于点D,连接QA,AD=2AB-, ,0A=1,由勾股 定理，得OD=7,∠04B=30,同理可得∠QAC=45, 1 ∠BAC=∠OAC-∠OAB=45°-30°=15；当AB,AC在 8.C 圆心O的异侧时，如图②.同理可得∠OAB=30°，∠OAC 9.4或8[解析]当点P在CD的左侧时，如图①，设⊙P与 =45°，∴.∠BAC=∠OAC+∠OAB=45°+30°=75°.综上 CD相切于点E,连接PE,则PE⊥CD.∠AOC=45°， 所述，∠BAC的度数为15°或75. ∠OPE=45°，∴.∠AOC=∠OPE,.PE=OE=√2， ∴.OP=√(W2)2+(W2)2=2(cm).这时⊙P运动时间为(6 一2)÷1=4(s);当点P在CD的右侧时，如图②，同上可求 得OP=2(cm),这时⊙P运动时间为(6+2)÷1=8(s).综 上可知，⊙P运动4s或8s后与直线CD相切 ① D 5.30°或150°[解析]①当圆周角所对的弧是劣弧时，如图， ∠ACB=号∠A0B=30,②当圆周角所对的弧是优流时， A PO 如图，易得∠ACB=150°.综上所述，弦AB所对的圆周角 等于30或150° ① ② 章末复习 1B2.A312或44C5.A6.6°75 8.(1)证明：AP是⊙O的切线，∴.∠EAM=90°，∴∠BAE 6.解：当点A在弦BC所对的优弧上时，如图①所示.连接 +∠MAB=90°，∠AEB+∠AMB=90°.又.AB=BM, OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D,则BD=√3cm.在 .∠MAB=∠AMB,∴.∠BAE=∠AEB,.AB=BE. Rt△OBD中，，OB=2cm,BD=√3cm,∴.sin∠BOD= (2)解：如图，连接BC.AC是⊙O的直径，∴∠ABC= BD 90°.在Rt△ABC中，AC=10,AB=6,.BC=8.,BE= OB =,∠BOD=60.又OB=OC,OD⊥BC, AB=BM,∴.EM=12.由(1)知∠BAE=∠AEB, ∴∠COD=60°，.∠BOC=120°..∠A= ∠BOC= 1 △ABC∽△EAM∠C=∠AME,部-%即9- 号×120°=60.当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图② AM=s又∠D=∠C,∠D=∠AMD, 8 所示，可得∠BOC=120°，∴.∠A=120°.因此，∠A的度数 为60°或120°. AD=AM=48 5 E ① 2 ·22·同行学案学练测 9A10.B11.2x12.18413.2 18.B 3π 19.(1)证明：.在△AME中，ME=3,AE=4,AM=5, 14.(1)证明：AE⊥DE,.∠AED=90°，.∠DEC+ .AMP=ME2+AE2,∴△AME是直角三角形， ∠AEB=90°.∠C=90°，∴.∠CDE+∠DEC=90°， ∴.∠AEM=90°.又MN∥BC,∴.∠ABC=∠AEM= .∠CDE=∠AEB..∠C=∠B,.△ECD∽△ABE. 90°，∴.AB⊥BC.AB为直径，.BC是⊙O的切线. (2)证明：如图，延长DE,AB交于点M,作OH⊥AD于 (2)解：如图，连接OM,设⊙O的半径是r.在Rt△OEM 点H.E为BC的中点，∴.CE=BE.在△DCE和 中，OE=AE-OA=4-r,ME=3,OM=r.,OM2= (∠C=∠EBM △MBE中，CE=BE ,∴.△DCE≌△MBE(ASA), ME+0Er=分+(4-r,解得-怎AB=27 ∠DEC=∠MEB .DE=EM.,AE⊥DE,.AE垂直平分DM,∴.AD= - 4 AM,∴，∠DAO=∠MAO.OH⊥AD,OG⊥AB,.OH =OG,∴.⊙O与AD相切.(3)解：如图，连接OF.在 R△ABE中，：BE=3,AB=3V3,an∠AEB=4能 BE 35=3,∠AEB=60,∴.△OEF是等边三角形， 3 ∠OAG=30°，.AE=2BE=6,AO=2OG.设半径为r, ∴.6-r=2r,∴r=2,∴.EF=2,FB=EB-EF=1,AG= 20.2√5-2 2W3,GB=AB-AG=√3..∠GOF=180°-∠EOF 第一章检测题 ∠AQc=r,Sas=2x1+2x6-0X4-39 1.A2.B3.C4.A 360 2 5.A[解析]如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD 即h1,△PQR底边OR上的高为PE即h2.在Rt△ADC 31 中，h1=AD=5×sin55°，在Rt△PER中，h2=PE=5× sin55°，.h1=h2,故选A 55° 1250 15.2w3- 162g-号 D C R E 6.A7.D 17.(1)证明：连接OC,,OA=OC,.∠OAC=∠OCA. 8.D[解析]如图，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于点 AC平分∠DAB,.∠DAC=∠OAC,∴.∠DAC= ∠OCA,.DA∥OC.CD⊥DA,.OC⊥CD,∴.CD是 F,过点E作EM⊥AC于点M.,斜坡DE的坡度（或坡 ⊙O的切线.(2)证明：，AB为⊙O的直径，∠ACB 比)i=1：2.4,DE=CD=78米，.设EF=x,则DF= =90°.AC平分∠DAB,.∠DAC=∠BAC.∠DAC 2.4x.在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2,则x2+ =∠PBC,∴.∠BAC=∠PBC.又·∠ACB=∠BCP, (2.4x)2=782,解得x=30,.EF=30米，DF=72米， ACBADCPc PC-C .CF=DF+DC=72+78=150(米)..EM⊥AC,AC⊥ CD,EF⊥CD,∴.四边形EFCM是矩形，.EM=CF= (3)解：过P作PE⊥AB于点E,由(2)可知，AC·PC= 150米，CM=EF=30米.在Rt△AEM中，，∠AEM= BC2.BC2=3FP·DC,∴AC·PC=3FP·DC.CD 43°，.AM=EM·tan43°≈150×0.93=139.5（米），.AC ⊥DA,∴∠ADC=90°.，AB为⊙O的直径，∴∠BCP= AM+CM=139.5+30=169.5(米)，.AB=AC-BC= 90°，∴.∠ADC=∠BCP.'∠DAC=∠CBP,∴.△ACD 169.5-144.5=25(米).故选D. O△BPC,S-.AC·PC=BP,DC,BP, A DC=3FP·DC,.BP=3FP.,AB为⊙O的直径， .∠AFB=90°，∴.FP⊥AD.AC平分∠DAB,PE⊥ AB,'FP-PE.SAARE 2AF·FP 2AF·FP D P△APB号AB·PE BP·A 1 9.D10.A 福鄙器 11.2212.40°13.3