精品解析：北京市丰台区外国语学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

初二年级数学学科 一、选择题 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 根据勾股定理逆定理即可判断A、D，根据三角形内角和定理即可判断B，C． 【详解】解：A、由设， ∴，而， ∴，故不是直角三角形，本选项符合题意； B、，得，故是直角三角形，本选项不符合题意； C、由设，由三角形内角和定理可得：， ∴， 解得：， ∴，故是直角三角形，本选项不符合题意； D、由得到，符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，本选项不符合题意；． 故选A． 3. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵体育中心到城镇中心的距离相等， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段，的垂直平分线上， ∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 5. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当为顶角时，底角为， 另外底角也可以为， 则它的底角是或， 故选：． 6. 如图，，，，点在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等，本题得出中是解题关键，再利用三角形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴   故选：C ． 7. 如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ）    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．如图，过作于，于，于，则，由的外角的平分线与相交于点P，可得，然后作答即可． 【详解】解：如图，过作于，于，于，则，     ∵的外角的平分线与相交于点P， ∴， ∴点P到的距离为3， 故选：B． 8. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定之边边角问题，边边角在某些情况下得到的图形是唯一的，而有些情况却有两种情况，解题关键是确定所得的图形是否只有一种画法，据此分别判断①②③即可． 【详解】解：如图，Q点位置有两个，故①错误； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故②正确； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故③正确；   故选：C ． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为__________． 【答案】360° 【解析】 【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 【详解】解：正六边形的外角和是． 故选：． 【点睛】本题正多边形和圆，考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关． 10. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特点，根据关于y轴对称的点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标相同反数，据此即可得到答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 11. 如图，在面积为的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和求三角形的面积，解题关键是运用转化和整体求解的思想．本题应将的面积转变为的面积再来求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，是边上的高， ∴，且， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故答案为： ． 12. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 13. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________. 【答案】6 【解析】 【详解】【分析】由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠ABC， BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得. 【详解】∵AB=AC， ∴∠C ＝∠ABC ， 又∵AD ⊥BC于 D 点， ∴ BD=DC=BC， 又 DE ⊥AB，BF ⊥AC， ∴∠BED=∠CFB=90°， ∴△BED∽△CFB， ∴DE：BF=BD：BC=1：2， ∴BF=2DE=2×3=6cm ， 故答案为6. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题的关键. 14. 如图，在中，，，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若，则___________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】如图，连接．根据线段垂直平分线的性质将的长度转化为的长度，所以在直角中，利用含30度角的直角三角形来求的长度． 【详解】解：如图，连接． 的垂直平分线交于， ， ， ． 又在中，，， ． 所以：BD=10 故答案是：10． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形和线段垂直平分线的性质，解题的关键是垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 15. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ，， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 16. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可． 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先求算术平方根、立方根、乘方和绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：化简得， ，得． 解得：． 将代入①，得． 解得． 所以原方程组的解为． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解决问题的关键． 先解不等式，得，再解不等式，得，由此可得原不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 20. 一个多边形的内角和比它的外角和的 倍少，求这个多边形的边数． 【答案】11 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数是n， 则（n-2）•180°=360°×5-180°， 解得n=11． 故答案为11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关． 21. 已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 【答案】 证明： 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，主要掌握全等三角形判定条件 “”，注意利用得到． 【详解】略 22. 尺规作图：已知，试在内确定一点，使点到，的距离相等，并且到，两点的距离也相等．要求保留作图痕迹，不用写出作法，并简要说明理由． 【答案】 如图所示，点即为所要求的点 理由：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【解析】 【分析】要使点P到OA和OB的距离相等，即只需要点P在∠AOB的角平分线上即可． 【详解】略 【点睛】本题考查角平分线的尺规作图方法，其中角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图方法需要牢牢掌握． 23. 如图，在中，，平分，为边上的高，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，由三角形角平分线可得，进而由三角形内角和定理可得，由根据三角形的高可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】略 26. 如图，，平分，点为中点，求证：． 【答案】 证明：延长，交于点， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长，交于点，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】略 27. 按要求完成下列证明： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且． 求证：DEBC． 证明：（已知）． ____．（垂直的定义） _____． （已知）． _________）． DEBC（_____）． 【答案】；；，同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析即得出答案． 【详解】解：证明：（已知）， （垂直的定义）， ， （已知）， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；，同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和数，将点称为点的“-关联点”，例如，点的“3-关联点”为． （1）若点是点的“1-关联点”，则点的坐标为 ； （2），的“-关联点”分别是点，，且点在轴上，的面积为1，求和的值； （3）点，，以为边在直线的下方作正方形，点，，的“-关联点”分别为，，，若与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），或， （3）或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了坐标与图形、一元一次不等式等知识点，掌握数形结合的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据定义即可求解； （2）根据定义得，，结合点在轴上得；由的面积等于即可求解； （3）根据题意作出正方形得到正方形的边界，根据定义得，，，结合与正方形的边有公共点即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是点的“1-关联点”， ∴点的坐标为 故答案为： 【小问2详解】 解：∵，的“-关联点”分别是点，， ∴， ∵点在轴上， ∴ ∴ ∵的面积为1， ∴， 即：， 解得：或 此时，或 【小问3详解】 解：由题意作出正方形，点，，，如图所示： 可知：， ∵点，，的“-关联点”分别为，，， ∴，，， ∵与正方形的边有公共点， ∴或， 解得：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科 一、选择题 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 5. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，，，，点在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ）    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为__________． 10. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为______． 11. 如图，在面积为的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是______． 12. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 13. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________. 14. 如图，在中，，，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若，则___________cm． 15. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 16. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组： 20. 一个多边形的内角和比它的外角和的 倍少，求这个多边形的边数． 21. 已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 22. 尺规作图：已知，试在内确定一点，使点到，的距离相等，并且到，两点的距离也相等．要求保留作图痕迹，不用写出作法，并简要说明理由． 23. 如图，在中，，平分，为边上的高，若，求的度数． 24. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 26. 如图，，平分，点为中点，求证：． 27. 按要求完成下列证明： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且． 求证：DEBC． 证明：（已知）． ____．（垂直的定义） _____． （已知）． _________）． DEBC（_____）． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和数，将点称为点的“-关联点”，例如，点的“3-关联点”为． （1）若点是点的“1-关联点”，则点的坐标为 ； （2），的“-关联点”分别是点，，且点在轴上，的面积为1，求和的值； （3）点，，以为边在直线的下方作正方形，点，，的“-关联点”分别为，，，若与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $