河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年（上）南阳六校高二年级期中考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线C：的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ） A. 6.4m B. 6m C. 3.2m D. 3m 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 10. 在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（ ） A. 图形Ω为菱形 B. 图形Ω的面积为2 C. 若P为曲线C上的点，则 D. 曲线C与椭圆有四个公共点 11. 已知直线经过，两点，P为上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（ ） A. B. 的值可以为 C. 的最小值为 D. 直线一定过坐标原点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的焦距为4，则实数的值为_________． 13. 已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________． 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． （1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________； （2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． （1）求直线的方程； （2）求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 16. 在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知直线过点且与曲线交于两点，求的值. 17. 已知直线：． （1）若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； （2）P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 18. 已知双曲线：的离心率为，且经过点． （1）求的方程； （2）若上两点，关于点对称，求直线的方程； （3）过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 19. 已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1. （1）求C的方程. （2）过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方. ①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：； ②若A是的中点，且，求直线的方程. 2024—2025学年（上）南阳六校高二年级期中考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）-4 【17题答案】 【答案】（1）或； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）， 【19题答案】 【答案】（1）； （2）①证明：直线不垂直于轴，设其方程为，， AI    由消去得，， ，轴，， 的面积 ，解得， 而直线的倾斜角为钝角，则，由解得， 因此点，， 则，即， 所以. ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $